跡

1：$A+B$ と $cA$ の $(i,i)$ 成分は $a_{ii}+b_{ii}$ と $ca_{ii}$ なので、和をとればよい。2：転置しても対角成分は変わらない。4：対角成分はすべて $1$ である。3 は 正方行列 の記事の定理「跡の循環性と交換子」の 1 である（$A$ が $m\times n$、$B$ が $n\times m$ の長方行列でも成り立つ）。$\square$

$v,v'$ を $V$ の 2 つの基底とする。相似(行列) の記事の定理「相似と基底の取り替え」の 1 により、$M_{v'}(T)=P^{-1}M_v(T)P$ となる正則行列 $P$ がある。prop-tr-basic の 3 により $\operatorname{tr}M_{v'}(T)=\operatorname{tr}M_v(T)$ である。$\square$

$v_1,\dots,v_n$ を $V$ の基底、$v_1^*,\dots,v_n^*$ をその双対基底（$v_i^*(v_j)=\delta_{ij}$）とする。線形変換 $T$ の表現行列の $(i,j)$ 成分は $v_i^*(T(v_j))$ である。
1：$T=\varphi\otimes v$ なら $v_i^*(T(v_j))=\varphi(v_j)\,v_i^*(v)$ なので
$$ \operatorname{tr}T=\sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\,v_i^*(v)=\varphi\Bigl(\sum_{i=1}^nv_i^*(v)\,v_i\Bigr)=\varphi(v) $$
である。最後の等号は $v=\sum_iv_i^*(v)\,v_i$（座標による展開）による。
2：$v_j^*\otimes v_i$ は $v_j\mapsto v_i$、他の基底ベクトル $\mapsto0$ という線形変換で、表現行列は行列単位 $E_{ij}$ である。任意の $T$ の表現行列 $(a_{ij})$ は $\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}$ と書けるので、$T=\sum_{i,j}a_{ij}\,v_j^*\otimes v_i$ である。線形汎関数は張る集合の上の値で決まるので、条件を満たすものは高々 1 つであり、1 により跡がそれである。$\square$

行列単位の積は $E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ である。これから、$i\ne j$ について
$$ [E_{ii},E_{ij}]=E_{ij}-0=E_{ij},\qquad [E_{ij},E_{ji}]=E_{ii}-E_{jj} $$
が成り立つ。
1：交換子の跡は $0$ で、跡は線形なので、交換子で張られる部分空間 $C$ は $\mathfrak{sl}_n(K)$ に含まれる。逆向きを示す。$A=(a_{ij})$ の跡が $0$ なら $a_{nn}=-\sum_{i< n}a_{ii}$ なので
$$ A=\sum_{i\ne j}a_{ij}E_{ij}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}(E_{ii}-E_{nn}) $$
と書ける。上の計算により右辺の各項は交換子の定数倍なので、$A\in C$ である。よって $C=\mathfrak{sl}_n(K)$ である。次元は、跡 $\operatorname{tr}\colon M_n(K)\to K$ が $\operatorname{tr}E_{11}=1$ より全射なので、次元定理から $n^2-1$ である。
2：$f(AB)=f(BA)$ から、$f$ はすべての交換子で $0$ になり、1 により $\mathfrak{sl}_n(K)$ の上で $0$ である。任意の $A$ について $A-(\operatorname{tr}A)E_{11}$ は跡が $0$ なので、
$$ f(A)=f\bigl(A-(\operatorname{tr}A)E_{11}\bigr)+(\operatorname{tr}A)f(E_{11})=c\operatorname{tr}A $$
である。$\square$

商ベクトル空間 の記事の命題「誘導写像と区分上三角行列」により、$W$ の基底を延長した $V$ の基底に関する $T$ の表現行列は $\begin{pmatrix}A&B\\O&C\end{pmatrix}$ の形で、$A$ は $T|_W$ の、$C$ は $\overline{T}$ の表現行列である。この行列の対角成分は $A$ の対角成分と $C$ の対角成分を並べたものなので、跡は $\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}C$ である。thm-tr-well-defined により結論を得る。$\square$

固有多項式が分解するなら、$A$ は対角成分が $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ の上三角行列 $T$ と相似である（三角化 の記事の定理「三角化可能性の判定」）。分解しない場合は、分解する拡大体 $L$ をとり $M_n(L)$ の中で同じことを行う（同じ記事の系「対角成分と固有値」の 3）。prop-tr-basic の 3 により $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}T=\sum_i\lambda_i$ である。冪零行列の固有多項式は $x^n$ なので（冪零行列 の記事の定理「冪零行列の特徴づけ」）、跡は $0$ である。$\square$

$f_i$ の $Z_i$、$B_i$ への制限をそれぞれ $f_i|_{Z_i}$、$f_i|_{B_i}$ と書く。
$\partial_i$ は $C_i/Z_i$ から $B_{i-1}$ への同型 $\bar\partial_i$ を誘導し（商ベクトル空間 の記事の系「線形写像の準同型定理」）、$\partial_if_i=f_{i-1}\partial_i$ から、$C_i/Z_i$ 上の誘導写像 $\overline{f_i}$ について $\bar\partial_i\circ\overline{f_i}=f_{i-1}|_{B_{i-1}}\circ\bar\partial_i$ である。同型で移り合う線形変換は、基底を同型で移せば同じ表現行列をもつので、跡が等しい。よって $\operatorname{tr}\overline{f_i}=\operatorname{tr}(f_{i-1}|_{B_{i-1}})$ である。
thm-tr-additive を $Z_i\subset C_i$ と $B_i\subset Z_i$ に当てはめると
$$ \operatorname{tr}f_i=\operatorname{tr}(f_i|_{Z_i})+\operatorname{tr}(f_{i-1}|_{B_{i-1}}),\qquad \operatorname{tr}(f_i|_{Z_i})=\operatorname{tr}(f_i|_{B_i})+\operatorname{tr}H_i(f) $$
を得る（$B_{-1}=0$ の項は $0$ とする）。2 式から
$$ \operatorname{tr}f_i=\operatorname{tr}H_i(f)+\beta_i+\beta_{i-1},\qquad \beta_i:=\operatorname{tr}(f_i|_{B_i}) $$
である。$(-1)^i$ を掛けて $i=0,\dots,m$ で足すと、$\beta_i$ は $(-1)^i\beta_i$ と $(-1)^{i+1}\beta_i$ の 2 回現れて打ち消し合い、$\beta_{-1}=\beta_m=0$ なので主張を得る。$\square$

要点：$V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ と分け、$P$ は像の上で恒等写像、核の上で $0$ になる。

1：$I+M$ の $(i,j)$ 成分は $\delta_{ij}+m_{ij}$ なので、行列式 の Leibniz の公式から
$$ \det(I+M)=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}\sigma\prod_{i=1}^n\bigl(\delta_{i\sigma(i)}+m_{i\sigma(i)}\bigr) $$
である。$\sigma\ne\mathrm{id}$ なら $\sigma(i)\ne i$ となる $i$ が少なくとも 2 個あり、その因子は $m_{i\sigma(i)}$ だけなので、積を展開した各項は $M$ の成分を 2 個以上含む。$\sigma=\mathrm{id}$ の項 $\prod_i(1+m_{ii})$ を展開すると $1+\sum_im_{ii}$ と、成分を 2 個以上含む項の和になる。これで前半を得る。$M=tA$ とすれば、成分を 2 個以上含む項は $t^2$ で割り切れる。
2：$h\ne0$ を $t+h\in J$ となるようにとり、$B(h):=X(t)^{-1}\dfrac{X(t+h)-X(t)}{h}$ とおく。$X(t+h)=X(t)\bigl(I+hB(h)\bigr)$ なので、積の行列式の公式と 1 から
$$ \frac{\det X(t+h)-\det X(t)}{h}=\det X(t)\cdot\frac{\det\bigl(I+hB(h)\bigr)-1}{h}=\det X(t)\Bigl(\operatorname{tr}B(h)+\frac{R\bigl(hB(h)\bigr)}{h}\Bigr) $$
である。$h\to0$ で $B(h)\to X(t)^{-1}X'(t)$ なので、$0$ に近い $h$ では $B(h)$ の成分の絶対値は定数 $c$ で抑えられる。$R(hB(h))$ の各項は $hB(h)$ の成分を 2 個以上含むので絶対値が $(c\lvert h\rvert)^2$ 以下（$c\lvert h\rvert\le1$ のとき）であり、項の個数は $h$ によらないから、$R(hB(h))/h\to0$ である。よって極限は $\det X(t)\operatorname{tr}\bigl(X(t)^{-1}X'(t)\bigr)$ である。$\square$

要点：$\phi(t)=\det e^{tA}$ は Jacobi の公式から $\phi'=\phi\operatorname{tr}A$、$\phi(0)=1$ を満たす。