モジュラー群

$\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ を $\pm I$ でない有限位数の元とし、$t:=a+d$ とおく。$\gamma^m=I$ なら $\gamma$ の固有値 $\lambda,\lambda^{-1}$ は 1 の $m$ 乗根で、$t=\lambda+\lambda^{-1}$ は絶対値 $2$ 以下の整数である。$t=\pm2$ なら $\lambda=\lambda^{-1}=\pm1$ となり、有限位数の複素行列は対角化可能なので（最小多項式 $x^m-1$ が重根をもたない）$\gamma=\pm I$ となって仮定に反する。よって $t\in\{-1,0,1\}$ である。$c=0$ なら $ad=1$ から $t=\pm2$ なので $c\neq0$ である。$\gamma\tau=\tau$ は $c\tau^2+(d-a)\tau-b=0$ と同値で、その判別式は $(d-a)^2+4bc=t^2-4<0$ なので、$\mathfrak{H}$ の中に根 $\tau_0$ がちょうど 1 つある。

基本領域 $\mathcal{F}$ への簡約（上半平面 の記事の定理「基本領域」の 1）により $\delta\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ で $\delta\tau_0\in\mathcal{F}$ となるものがある。$\delta\gamma\delta^{-1}$ は $\delta\tau_0$ を固定し $\pm I$ でないので、同定理の 3 により $\delta\tau_0\in\{i,\rho,\rho+1\}$ で、$\delta\gamma\delta^{-1}$ は $\langle S\rangle=\{\pm I,\pm S\}$、$\langle U\rangle=\{\pm I,\pm U,\pm U^2\}$、$\langle TS\rangle$ のいずれかに入る。$TS=TUT^{-1}$ なので $\langle TS\rangle=T\langle U\rangle T^{-1}$ である。よって $\gamma$ は $\pm S$、$\pm U$、$\pm U^2$ のいずれかと共役である。位数は $S$ が $4$、$U$ が $6$、$-U$ が $3$、$U^2$ が $3$、$-U^2$ が $6$ で、$-S$ は $4$ である。位数 $2$ の元はこの中になく、$\pm I$ のうち $-I$ だけである。$\square$

$\bar\gamma=\begin{pmatrix}\bar a&\bar b\\\bar c&\bar d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ をとり、代表の整数 $a,b,c,d$ を $1\le d\le N$ となるように選ぶ（とくに $d\neq0$）。$ad-bc\equiv1\pmod N$ なので $\gcd(c,d,N)=1$ である。

段 1．$d$ を割り切る素数のうち $c$ を割り切らないものすべての積を $t$ とし（なければ $t=1$）、$c':=c+tN$ とおく。$\gcd(c',d)=1$ を示す。素数 $p$ が $d$ を割り切るとする。$p\mid c$ なら、$p\nmid t$（$t$ の定め方）かつ $p\nmid N$（$\gcd(c,d,N)=1$）なので $p\nmid tN$、したがって $p\nmid c'$ である。$p\nmid c$ なら $p\mid t$ なので $p\mid tN$、したがって $p\nmid c'$ である。いずれにせよ $p\nmid c'$ で、$\gcd(c',d)=1$ である。$c'\equiv c\pmod N$ なので、$c$ を $c'$ に替えてよい。

段 2．$ad-bc=1-kN$（$k\in\mathbb{Z}$）と書く。$\gcd(c,d)=1$ なので、整数 $u,v$ で $ud-vc=k$ となるものがある（Bézoutの等式）。$\gamma:=\begin{pmatrix}a+uN&b+vN\\c&d\end{pmatrix}$ とおくと$$\det\gamma=ad-bc+N(ud-vc)=1-kN+kN=1$$であり、$\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$、$\pi_N(\gamma)=\bar\gamma$ である。最後の同型は準同型定理による。$\square$

$\pi_N$ は全射（thm-mod-reduction）で $\Gamma(N)=\ker\pi_N\subset\Gamma_1(N)\subset\Gamma_0(N)$ なので、各指数は $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ での像の指数に等しい。

個数．$J_2(N)$ を原始的なベクトルの個数とする。中国剰余定理により $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\cong\prod\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$（$p^k\,\|\,N$）で、原始的であることは各成分で原始的であることと同値である。$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ では、原始的でないのは $c,d$ がともに $p$ の倍数のときなので $J_2(p^k)=p^{2k}-p^{2k-2}=p^{2k}(1-p^{-2})$ である。よって $J_2(N)=N^2\prod_{p\mid N}(1-p^{-2})$ である。

推移性．原始的な $(c,d)$ について、$xc+yd+zN=1$ となる整数 $x,y,z$ をとると $\begin{pmatrix}y&-x\\c&d\end{pmatrix}$ の行列式は $yd+xc\equiv1$ で、$(0,1)$ にこの行列を右から掛けると $(c,d)$ になる。行列式 $1$ の行列は原始的なベクトルを原始的なベクトルに移す（逆行列で戻せる）ので、作用は原始的なベクトルの集合の上で推移的である。$(0,1)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=(c,d)$ なので、$(0,1)$ の固定部分群は $c=0$、$d=1$（したがって $a=1$）の行列の全体で、ちょうど $\pi_N(\Gamma_1(N))$ である。よって $[\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}):\Gamma_1(N)]=J_2(N)$。この固定部分群は $\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}$（$b\in\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$）の $N$ 個からなるので $\lvert\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\rvert=N\cdot J_2(N)$ である。

$\Gamma_0(N)$．単数 $\lambda\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ による掛け算は原始的なベクトルに自由に作用する（$\lambda(c,d)=(c,d)$ なら $\lambda=\lambda(xc+yd)=xc+yd=1$）。軌道の集合（射影直線の点）は $J_2(N)/\varphi(N)$ 個で、$\varphi(N)=N\prod(1-p^{-1})$（Euler関数）から $N\prod(1+p^{-1})$ 個である。$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ はこの集合にも推移的に作用し、$(0,1)$ の軌道 $\{(0,\lambda)\}$ を保つのは $c=0$ の行列、すなわち $\pi_N(\Gamma_0(N))$ である。$\square$