部分群の正規核

各 $xHx^{-1}$ は $G$ の部分群なので、それらの共通部分 $C:=\operatorname{Core}_G(H)$ も部分群である。また任意の $g\in G$ に対して
$$ gCg^{-1} =g\left(\bigcap_{x\in G}xHx^{-1}\right)g^{-1} =\bigcap_{x\in G}(gx)H(gx)^{-1}. $$
$x$ が $G$ 全体を動くとき $gx$ も $G$ 全体を動くため、右辺は $C$ に等しい。したがって $C\lhd G$ である。さらに $eHe^{-1}=H$ が共通部分の一項なので $C\subseteq H$ である。$\square$

$N\lhd G$ ならば、任意の $x\in G$ について $xNx^{-1}=N$ である。$N\subseteq H$ を共役すると
$$ N=xNx^{-1}\subseteq xHx^{-1} $$
を得る。これはすべての $x\in G$ について成り立つので、
$$ N\subseteq\bigcap_{x\in G}xHx^{-1} =\operatorname{Core}_G(H) $$
である。$\square$

$H\lhd G$ ならばすべての $x\in G$ について $xHx^{-1}=H$ なので、その共通部分も $H$ である。逆に $\operatorname{Core}_G(H)=H$ ならば、prop-core-normal により左辺は $G$ の正規部分群だから $H\lhd G$ である。$\square$

$g\in G$ が $\ker\rho_H$ に属することは、すべての $x\in G$ について
$$ g\cdot(xH)=xH $$
となることと同値である。剰余類の等号を変形すると
$$ gxH=xH \quad\Longleftrightarrow\quad x^{-1}gx\in H \quad\Longleftrightarrow\quad g\in xHx^{-1} $$
である。これがすべての $x\in G$ について成り立つための必要十分条件は
$$ g\in\bigcap_{x\in G}xHx^{-1} =\operatorname{Core}_G(H) $$
である。$\square$

作用が忠実であることは $\ker\rho_H=\{e\}$ と同値である。thm-core-coset-action により、これは $\operatorname{Core}_G(H)=\{e\}$、すなわち $H$ がcore-freeであることと同値である。$\square$

$G/H$ は $n$ 元集合なので、$\operatorname{Sym}(G/H)$ は $S_n$ と同型である。thm-core-coset-action と準同型定理により
$$ G/\operatorname{Core}_G(H) \cong\operatorname{im}\rho_H \le\operatorname{Sym}(G/H) \cong S_n $$
を得る。$H$ がcore-freeなら商の核は自明である。さらに $G$ が有限なら、Lagrangeの定理を部分群 $\operatorname{im}\rho_H\le S_n$ に適用して、その位数 $[G:\operatorname{Core}_G(H)]$ は $n!$ を割る。$\square$

位数2の各部分群は単位元と一つの互換だけからなるため、相異なる二つの部分群の共通部分は $\{e\}$ である。よって三つの共通部分も $\{e\}$ である。剰余類の個数は $[S_3:H]=3$ なので、剰余類作用は $S_3\to S_3$ という準同型を与える。核は正規核だから自明であり、位数6の群から位数6の群への単射準同型なので同型である。$\square$

直積群における共役は成分ごとに行われ、第2成分 $C_2$ は可換である。したがって
$$ \bigcap_{(x,c)\in S_3\times C_2} (x,c)H(x,c)^{-1} = \left(\bigcap_{x\in S_3}x\langle(1\,2)\rangle x^{-1}\right)\times C_2. $$
第1成分の共通部分は ex-core-s3 により $\{e\}$ なので、正規核は $\{e\}\times C_2$ である。$\square$

cor-core-symmetric-embedding により $G/\operatorname{Core}_G(H)$ は $S_n$ の部分群と同型なので、その位数 $[G:\operatorname{Core}_G(H)]$ は $n!$ 以下である。$\operatorname{Core}_G(H)\subseteq H$ なので、剰余類を細かく分ける数え上げにより $[G:\operatorname{Core}_G(H)]=[G:H]\,[H:\operatorname{Core}_G(H)]$ であり、$n$ の倍数である。$\square$

$K:=\operatorname{Core}_G(H)$、$k:=[H:K]$ とおく。cor-core-finite-index の証明の等式から $[G:K]=pk$ であり、cor-core-symmetric-embedding と Lagrangeの定理 により $pk$ は $p!$ を割る。よって $k$ は $(p-1)!$ を割る。一方 $k=\lvert H\rvert/\lvert K\rvert$ は $\lvert G\rvert$ を割るので、$k$ の素因数はすべて $p$ 以上である。$(p-1)!$ の素因数はすべて $p$ 未満なので、$k$ は素因数をもたず $k=1$、すなわち $H=K$ である。prop-core-normal により $H$ は正規部分群である。$\square$

$\operatorname{Core}_G(H)$ は $G$ の正規部分群で、$H\neq G$ に含まれるので $G$ と異なる。$G$ は単純なので $\operatorname{Core}_G(H)=\{e\}$ であり、cor-core-symmetric-embedding により $G$ は $S_n$ に単射に埋め込まれる。Lagrange の定理により $\lvert G\rvert$ は $\lvert S_n\rvert=n!$ を割る。$\square$

1：$x(H\cap K)x^{-1}=xHx^{-1}\cap xKx^{-1}$（共役 $y\mapsto xyx^{-1}$ は全単射なので共通部分を保つ）であり、$x$ について共通部分をとって並べ替えればよい。
2：左辺は $x\in G$ 全体についての共通部分、右辺は $x\in L$ についての共通部分であり、共通部分をとる範囲が狭いほど大きい。
3：$\operatorname{Core}_G(gHg^{-1})=\bigcap_{x\in G}(xg)H(xg)^{-1}$ で、$x$ が $G$ 全体を動くとき $xg$ も $G$ 全体を動くので、$\operatorname{Core}_G(H)$ に等しい。$\square$