無限ほうき

1：$B_n$ はコンパクト空間 $[0,1]\times K$ の連続像なのでコンパクトである。$B_n$ の各点は $a_n$ を端点とする線分の上にあるので、$B_n$ は弧状連結である。
2：$X$ は有界なので、閉集合であることを示せばよい。$X$ の点列 $z_j$ が $z\in\mathbb{R}^2$ に収束するとする。ある $B_n$ が $z_j$ を無限個含めば、$B_n$ は閉なので $z\in B_n\subset X$ である。そうでなければ、$z_j\in B_{n_j}$ で $n_j\to\infty$ となる部分列がとれ、$B_{n_j}\subset[0,2^{1-n_j}]\times[0,2^{-n_j}]$ なので $z=p\in X$ である。よって $X$ は閉でありコンパクトである。
弧状連結性：$x$ 軸上の線分 $[0,1]\times\{0\}=\{p\}\cup\bigcup_nL_{n,\infty}$ は $X$ に含まれる。$X$ の各点は、ある $a_n$ と線分で結べるので、この線分を経由して $p$ と結べる。$\square$

閉であること：$S_{n,k}$ の $\mathbb{R}^2$ での閉包は $L_{n,k}=S_{n,k}\cup\{a_n\}$ なので、$S_{n,k}$ は $X\setminus\{a_n\}$ の閉集合である。
開であること：$X\setminus S_{n,k}$ が $\mathbb{R}^2$ の閉集合であることを示す。
$$ X\setminus S_{n,k}=\Bigl(\{p\}\cup\bigcup_{m\ne n}B_m\Bigr)\cup\beta_n\bigl([0,1]\times(K\setminus\{1/k\})\bigr) $$
である（毛どうしは $a_n$ でだけ交わるので、$B_n$ のほかの毛は $S_{n,k}$ と交わらない。$B_{n-1}$ と $B_{n+1}$ が $B_n$ と共有する点は $a_n$ と $a_{n+1}$ で、どちらも $S_{n,k}$ に入らない）。$1/k$ は $K$ の孤立点なので $K\setminus\{1/k\}$ は閉、したがってコンパクトであり、第 2 項はコンパクトである。第 1 項は prf-ib-basic の 2 と同じ議論で閉である。よって $X\setminus S_{n,k}$ は閉であり、$S_{n,k}$ は $X$ の開集合、とくに $X\setminus\{a_n\}$ の開集合である。$\square$

1：$N\ge1$ について $C_N:=\{p\}\cup\bigcup_{n>N}B_n$ とおく。
$C_N$ は連結である。各 $B_n$ は連結で、$B_n$ と $B_{n+1}$ は点 $a_{n+1}$ を共有するので、$D:=\bigcup_{n>N}B_n$ は連結である。$a_n\to p$ なので $p$ は $D$ の閉包に属し、$D\subset C_N\subset\overline D$ から $C_N$ は連結である（連結空間 の命題「連結な集合の閉包も連結」）。
$C_N$ は $p$ の近傍である。$n\le N$ の $B_n$ の点は $x$ 座標が $2^{-N}$ 以上なので、$X$ の開集合 $W_N:=X\cap\bigl((-1,2^{-N})\times\mathbb{R}\bigr)$ は $C_N$ に含まれ、$p\in W_N$ である。
$C_N\subset[0,2^{-N}]\times[0,2^{-N-1}]$ なので、$p$ の任意の近傍 $U$ に対し、$N$ を大きくとれば $C_N\subset U$ となる。よって $X$ は $p$ で連結 im kleinen である。
2：$V$ を $p$ を含む $X$ の連結な開集合とする。$a_m\to p$ なので、ある $m$ で $a_m\in V$ である。$m\ge2$ のとき $a_{m-1}\in V$ を示す。$V$ は $a_m$ の開近傍で $b_{m-1,k}\to a_m$ なので、ある $k$ で $b_{m-1,k}\in V$ である。$a_{m-1}\notin V$ と仮定すると $V\subset X\setminus\{a_{m-1}\}$ であり、lem-ib-bristle により $V\cap S_{m-1,k}$ は $V$ の開かつ閉集合である。これは $b_{m-1,k}$ を含むので空でなく、$p\notin S_{m-1,k}$ なので $V$ 全体でもない。これは $V$ の連結性に反する。よって $a_{m-1}\in V$ である。これを繰り返して $a_m,a_{m-1},\dots,a_1\in V$ を得る。
とくに、$p$ の近傍 $U:=X\cap\bigl((-1,1)\times\mathbb{R}\bigr)$ は $a_1=(1,0)$ を含まないので、$p\in V\subset U$ となる連結な開集合 $V$ はない。よって $X$ は $p$ で局所連結でない。$\square$

1：$z\in S_{n,k}$ なら、lem-ib-bristle により $S_{n,k}$ は $X$ の開集合である（その証明で $X\setminus S_{n,k}$ が閉であることを示した）。$S_{n,k}$ は半開線分 $(a_n,b_{n,k}]$ と同相で、その点は連結な開区間（端の $b_{n,k}$ では半開区間）からなる基本近傍系をもつ。$z=a_1$ なら、$0< r<1/2$ について $X\cap B(a_1,r)=B_1\cap B(a_1,r)$ である（$n\ge2$ の $B_n$ は $x\le1/2$ の範囲にある）。$B_1$ は $a_1$ を端点とする線分の和なので、これは $a_1$ を中心に星形であり、連結な開集合である。
2：thm-ib-main である。
3：$z=(x,0)$、$0< x<1$ とし、$2^{-n}\le x<2^{1-n}$ となる $n$ をとる。すなわち $z\in L_{n,\infty}$、$z\ne a_n$ である。$0< r<2^{1-n}-x$ とし、$U:=X\cap B(z,r)$ とおく。$U$ は $a_n$ を含まない。$C$ を $U$ に含まれる $z$ の近傍とし、$C$ が連結でないことを示す。$k\to\infty$ のとき毛 $L_{n,k}$ は極限の毛 $L_{n,\infty}$ に一様に近づく（$\beta_n$ は一様連続）ので、$C$ は $z$ の近くで、ある $k$ について $S_{n,k}$ の点を含む。$C\subset X\setminus\{a_n\}$ なので、lem-ib-bristle により $C\cap S_{n,k}$ は $C$ の空でない開かつ閉集合であり、$z\notin S_{n,k}$ なので $C$ と異なる。よって $C$ は連結でない。$\square$