Brauerの誘導定理

1：$x\in G$ について、定義の 1 つ目の式で $\theta_A(y^{-1}xy)\ne0$ となるのは $y^{-1}xy$ が $A$ を生成するときで、そのとき値は $\lvert A\rvert$ なので、$(\operatorname{Ind}_A^G\theta_A)(x)=\#\{y\in G\mid y^{-1}xy\ \text{が}\ A\ \text{を生成する}\}$ である。各 $y\in G$ について $y^{-1}xy$ が生成する巡回部分群はちょうど一つなので、$A$ について和をとると $\lvert G\rvert$ になる。

2：$\lvert A\rvert$ についての帰納法による。1 を群 $A$ 自身に当てはめると、$A$ の部分群はすべて巡回群なので、$\theta_A=\lvert A\rvert-\sum_{B\subsetneq A}\operatorname{Ind}_B^A\theta_B$ である。帰納法の仮定により $\theta_B\in R(B)$ なので右辺の和は $R(A)$ に属し、$\lvert A\rvert$ は自明指標の $\lvert A\rvert$ 倍なので $R(A)$ に属する。$\square$

$\mathcal{A}/\mathbb{Z}$ は有限生成で、ねじれをもたない（$m\ge1$ と $a\in\mathcal{A}$ について $ma\in\mathbb{Z}$ なら $a\in\mathcal{A}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$）。有限生成でねじれのないアーベル群は自由なので（単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理）、その基底の代表 $\alpha_1,\dots,\alpha_s\in\mathcal{A}$ をとると、$1,\alpha_1,\dots,\alpha_s$ は $\mathcal{A}$ の $\mathbb{Z}$ 基底である。$\mathcal{A}V_p$ の元は、各係数をこの基底で展開して $f=v_0+\sum_{j\ge1}\alpha_jv_j$（$v_j\in V_p$）と書ける。$v_j=\sum_in_{ji}\chi_i$（$n_{ji}\in\mathbb{Z}$）とする。$f\in R(G)$ なら、既約指標は $\mathbb{C}$ 上一次独立なので、各 $i$ について $n_{0i}+\sum_{j\ge1}\alpha_jn_{ji}$ は整数 $m_i$ に等しい。$1,\alpha_1,\dots,\alpha_s$ は $\mathbb{Z}$ 上一次独立なので $n_{ji}=0$（$j\ge1$）である。よって $f=v_0\in V_p$ である。逆の包含は明らかである。$\square$

$f=\lvert G\rvert u$（$u$ は整数値の類関数）と書く。lem-br-theta の 1 と lem-br-ideal により $f=\sum_A\operatorname{Ind}_A^G(\theta_A\cdot\operatorname{Res}^G_Au)$ である。$\eta_A:=\theta_A\cdot\operatorname{Res}^G_Au$ の値は $\lvert A\rvert$ の倍数の整数なので、$A$ の 1 次元の指標 $\lambda$ について $\langle\eta_A,\lambda\rangle=\frac{1}{\lvert A\rvert}\sum_x\eta_A(x)\overline{\lambda(x)}\in\mathcal{A}$ であり、$\eta_A=\sum_\lambda\langle\eta_A,\lambda\rangle\lambda\in\mathcal{A}R(A)$ である。巡回群 $A$ は $p$ 初等群なので、$f\in\mathcal{A}V_p$ である。$\square$

$\varphi$ を $\langle x\rangle$ に制限すると、$\mathcal{A}R(\langle x\rangle)$ の元なので $\varphi(y)=\sum_ia_i\lambda_i(y)$（$a_i\in\mathcal{A}$、$\lambda_i$ は $\langle x\rangle$ の 1 次元の指標）と書ける。$q$ を $x_u$ の位数以上の $p$ の冪にとると $x_u^q=1$ なので $x^q=x_r^q$ である。可換環 $\mathcal{A}/p\mathcal{A}$ では二項係数 $\binom{p}{k}$（$0< k< p$）が $0$ なので $(a+b)^p=a^p+b^p$ であり、これを繰り返して $\varphi(x)^q\equiv\sum_ia_i^q\lambda_i(x)^q=\sum_ia_i^q\lambda_i(x_r)^q\equiv\varphi(x_r)^q\pmod{p\mathcal{A}}$ を得る（$\lambda_i(x)^q=\lambda_i(x^q)=\lambda_i(x_r^q)$）。両辺は整数で、$p\mathcal{A}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$（$m=pa$、$a\in\mathcal{A}$ なら $a=m/p\in\mathcal{A}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$）なので、$\varphi(x)^q\equiv\varphi(x_r)^q\pmod p$ である。Fermatの小定理 により整数 $m$ について $m^q\equiv m\pmod p$ なので、$\varphi(x)\equiv\varphi(x_r)\pmod p$ である。$\square$

$x$ を $p$ 正則元、$C:=\langle x\rangle$（位数 $c$）、$Z(x)$ を $x$ の中心化群、$P$ を $Z(x)$ の Sylow $p$ 部分群（位数 $p^a$）とする（Sylowの定理）。$P$ の元は $x$ と可換で、$C\cap P=\{e\}$（位数が互いに素）なので、$H:=CP\cong C\times P$ は $p$ 初等部分群である。$C$ 上の関数 $\psi_C$ を $\psi_C(x)=c$、$\psi_C(y)=0$（$y\ne x$）とすると、巡回群 $C$ に 指標(表現論) の定理「第二直交関係」を当てて $\psi_C=\sum_\lambda\lambda(x^{-1})\lambda\in\mathcal{A}R(C)$ である（$\lambda$ は $C$ の 1 次元の指標）。$H$ 上の関数 $\psi_H(yz):=\psi_C(y)$（$y\in C$、$z\in P$）は、$\psi_C$ を射影 $H\to C$ と合成したもので、$\mathcal{A}R(H)$ に属する。$\psi^{(x)}:=\operatorname{Ind}_H^G\psi_H\in\mathcal{A}V_p$ は、定義の 2 つ目の式から整数値である。

$s$ を $p$ 正則元とする。$y^{-1}sy\in H$ なら、それは $H=C\times P$ の $p$ 正則元なので $C$ に属し、$\psi_H(y^{-1}sy)\ne0$ は $y^{-1}sy=x$ と同値である。よって $s$ が $x$ と共役でなければ $\psi^{(x)}(s)=0$ である。また $\psi^{(x)}(x)=\frac{1}{\lvert H\rvert}\sum_{y\in Z(x)}c=\lvert Z(x)\rvert/p^a$ は、$p^a$ が $\lvert Z(x)\rvert$ を割る最大の $p$ の冪なので、$p$ で割れない。

$p$ 正則元の共役類の代表 $x_1,\dots,x_k$ をとり、$\psi:=\sum_j\psi^{(x_j)}$ とおく。$\psi(x_j)=\psi^{(x_j)}(x_j)\not\equiv0\pmod p$ である。任意の $x\in G$ について $x_r$ はある $x_j$ と共役で、lem-br-congruence により $\psi(x)\equiv\psi(x_r)=\psi(x_j)\not\equiv0\pmod p$ である。$\square$

初等群の部分群と剰余群は初等群である。実際、$H=C\times P$（$C$ は位数が $p$ と素な巡回群、$P$ は $p$ 群）の部分群 $K$ の元 $k=(c,z)$ について、$m\equiv1\pmod{\operatorname{ord}c}$、$m\equiv0\pmod{\operatorname{ord}z}$ となる $m$ をとると $k^m=(c,e)$ なので、$(c,e)$、$(e,z)\in K$ であり、$K=(K\cap C)\times(K\cap P)$ である。全射準同型の像は $C$ と $P$ の像の積で、両者は可換で位数が互いに素なので直積である。

$\lvert H\rvert$ についての帰納法で示す。$(\rho,V)$ を既約表現、$N:=\ker\rho$ とする。$N\ne\{e\}$ なら、$V$ は初等群 $H/N$ の既約表現で、帰納法の仮定により $H/N$ の部分群 $\bar K$ と、$V$ の中の $\bar K$ 不変な 1 次元部分空間 $W$ について $V=\bigoplus_{\bar t}\bar tW$（$\bar t$ は $(H/N)/\bar K$ の代表）となる（誘導表現 の定理「誘導表現の特徴づけ」）。$\bar K$ の逆像 $K$ と $\bar t$ の持ち上げ $t$ について $tW=\bar tW$ で、$t$ は $H/K$ の代表系をなすので、同じ定理から $V\cong\operatorname{Ind}_K^HW$ である。

$\rho$ が忠実なとき、$H$ が可換なら $\dim V=1$ である（既約表現 の系「中心はスカラーで作用する」）。$H$ が可換でないとする。$C$ は $H$ の中心に含まれるので $P$ は可換でなく、$P/Z(P)$ は自明でない $p$ 群だから中心は自明でない（群の中心 の定理「有限 $p$-群の中心は自明でない」）。$xZ(P)$ が $P/Z(P)$ の中心の自明でない元となる $x\in P$ をとると、$x\notin Z(P)$ であり、$y\in P$ について $yxy^{-1}\in xZ(P)$ である。よって $A:=C\times\langle Z(P),x\rangle$ は $H$ の可換な正規部分群で、$x\in A$ は $H$ の中心に入らない。$\rho(x)$ がスカラーなら $\rho(xyx^{-1}y^{-1})=1$ が全 $y$ で成り立ち、忠実性から $x$ が中心に入ってしまうので、$\rho(x)$ はスカラーでない。したがって二分法の (b) が成り立ち、$V\cong\operatorname{Ind}_T^HU$（$T\subsetneq H$、$U$ は $T$ の既約表現）である。$T$ は初等群なので帰納法の仮定により $U\cong\operatorname{Ind}_K^T\lambda$（$\lambda$ は 1 次元）であり、推移律（誘導表現 の命題「推移律と直和」の 1）から $V\cong\operatorname{Ind}_K^H\lambda$ である。$\square$