始位相

準開基 の記事の命題（準開基が生成する位相）とその証明を、この逆像族 $\mathcal S$ に適用する。
構成を確かめると、$\emptyset=\bigcup\emptyset$ と $X\in\mathcal B$ から $\emptyset,X\in\tau$ である。
$\tau$ は任意の合併について閉じている。
$B,C\in\mathcal B$ なら $B\cap C\in\mathcal B$ なので、分配律 $(\bigcup\mathcal A)\cap(\bigcup\mathcal C)=\bigcup_{(B,C)\in\mathcal A\times\mathcal C}(B\cap C)$ により $\tau$ は二つの元の共通部分についても閉じている。
したがって $\tau$ は位相であり、$\mathcal B$ はその開基である。
各 $f_i^{-1}(U)$ は $\mathcal B$ に属するので、各 $f_i:(X,\tau)\to(Y_i,\tau_i)$ は連続である。
$\sigma$ がすべての $f_i$ を連続にする別の位相なら、$\mathcal S\subset\sigma$ であり、有限共通部分と任意合併を取ることにより $\tau\subset\sigma$ となる。
よって $\tau$ は求める最小の位相であり、最小の位相は包含関係の反対称性により一意である。

$g$ が連続なら、各 $f_i$ が連続なので $f_i\circ g$ も連続である。
逆にすべての $f_i\circ g$ が連続なら、$U\in\tau_i$ に対して $g^{-1}(f_i^{-1}(U))=(f_i\circ g)^{-1}(U)$ は $Z$ で開である。
逆像は有限共通部分と任意合併を保つので、$\tau$ のどの開集合の逆像も開であり、$g$ は連続である。
空の共通部分 $X$ の逆像は $Z$ であり、この場合も開である。
これは準開基 の記事の命題（連続性の準開基による判定）とその証明の、この逆像族への適用でもある。

1 から 2 は前の定理である。2 を仮定し、$\tau$ を始位相とする。
まず $Z=(X,\tau')$、$g=\mathrm{id}_X$ とする。$g$ は連続なので、条件 2 により各 $f_i=f_i\circ\mathrm{id}_X$ は $\tau'$ に関して連続である。始位相の最小性から $\tau\subset\tau'$ である。
次に $Z=(X,\tau)$、$g=\mathrm{id}_X\colon(X,\tau)\to(X,\tau')$ とする。各 $f_i\circ g=f_i$ は $\tau$ に関して連続なので、条件 2 により $g$ は連続である。これは $\tau'$ の各開集合が $\tau$ の開集合であること、すなわち $\tau'\subset\tau$ を意味する。
二つの包含から $\tau'=\tau$ である。$\square$

$\tau$ を $(f_i)$ に関する始位相とし、$\tau$ が合成の族について前の定理の条件 2 を満たすことを示す。位相空間 $Z$ と写像 $g:Z\to X$ を取る。始位相への写像の連続性の定理を $X$ に使うと、$g$ が連続であることは、すべての $i$ について $f_i\circ g:Z\to Y_i$ が連続であることと同値である。同じ定理を $Y_i$ に使うと、$f_i\circ g$ が連続であることは、すべての $j\in J_i$ について $g_{i,j}\circ f_i\circ g$ が連続であることと同値である。二つを合わせると、$g$ が連続であることは、すべての $(i,j)$ について $(g_{i,j}\circ f_i)\circ g$ が連続であることと同値になる。普遍性による特徴づけの定理により、$\tau$ は合成の族に関する始位相である。$J_i=\emptyset$ の場合も、$Y_i$ の位相は $\{\emptyset,Y_i\}$ であり、上の議論はそのまま通る。$\square$

相対位相は包含写像 $j:A\to\prod_iY_i$ に関する始位相であり（例「部分集合の包含写像」）、直積位相は射影の族に関する始位相である（例「射影族」）。推移性の定理を $f=j$、$g_i=\pi_i$ に使うと、$A$ の相対位相は $(\pi_i\circ j)_i=(\pi_i|_A)_i$ に関する始位相である。$\square$

$x_\lambda\to x$ とし、$i\in I$ と $f_i(x)$ を含む開集合 $U\subset Y_i$ を取る。$f_i^{-1}(U)$ は $x$ を含む開集合なので、ある $\lambda_0$ があって $\lambda\geq\lambda_0$ なら $x_\lambda\in f_i^{-1}(U)$、すなわち $f_i(x_\lambda)\in U$ である。よって $f_i(x_\lambda)\to f_i(x)$ である。
逆に、すべての $i$ で $f_i(x_\lambda)\to f_i(x)$ とし、$W$ を $x$ を含む開集合とする。逆像からの構成の命題により、$x\in B\subset W$ となる開基の元
$$ B=f_{i_1}^{-1}(U_1)\cap\cdots\cap f_{i_k}^{-1}(U_k) $$
がある（$k=0$ なら $B=X$）。各 $m=1,\ldots,k$ について $f_{i_m}(x)\in U_m$ なので、ある $\lambda_m$ があって $\lambda\geq\lambda_m$ なら $f_{i_m}(x_\lambda)\in U_m$ となる。$\Lambda$ は有向集合なので、$\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ のすべて以上の $\lambda_0\in\Lambda$ がある（$k=0$ なら $\Lambda$ の任意の元を取る）。$\lambda\geq\lambda_0$ なら $x_\lambda\in B\subset W$ である。よって $x_\lambda\to x$ である。$\square$

1. 対偶を示す。相異なる $x,y$ で、すべての $i$ について $f_i(x)=f_i(y)$ となるものがあるとする。準開基の元 $f_i^{-1}(U)$ は $x,y$ をともに含むか、ともに含まないかのどちらかである。この性質は有限共通部分と任意合併で保たれるので、$\tau$ のどの開集合も $x,y$ の両方を含むか両方を含まない。したがって $(X,\tau)$ は $T_0$ でない。
2. $x\neq y$ とし、$f_i(x)\neq f_i(y)$ となる $i$ を取る。$Y_i$ は Hausdorff なので、$f_i(x)\in U$、$f_i(y)\in V$、$U\cap V=\emptyset$ となる開集合がある。$f_i^{-1}(U)$ と $f_i^{-1}(V)$ は $x,y$ をそれぞれ含む開集合で、$f_i^{-1}(U)\cap f_i^{-1}(V)=f_i^{-1}(U\cap V)=\emptyset$ である。$\square$

直積位相は射影の族 $(\pi_i)$ に関する始位相なので、推移性の定理を単一の写像 $e$ と族 $(\pi_i)$ に使うと、$e$ に関する始位相は $(\pi_i\circ e)=(f_i)$ に関する始位相に等しい。単一写像の例により、それは $\{e^{-1}(W)\}$ である。
写像族が点を分離するなら、$x\neq y$ に対して $f_i(x)\neq f_i(y)$ となる $i$ があり、$e(x)\neq e(y)$ である。よって $e$ は $X$ から $e(X)$ への全単射である。$e(X)$ の相対位相の開集合は $W\cap e(X)$ の形であり、$e$ が単射だから
$$ e\bigl(e^{-1}(W)\bigr)=W\cap e(X),\qquad e^{-1}\bigl(W\cap e(X)\bigr)=e^{-1}(W) $$
である。したがって全単射 $e:X\to e(X)$ は $X$ の開集合全体と $e(X)$ の開集合全体を互いに写し合い、同相写像である。$\square$