単射半径

1. $\mathbb R^n$ では $\exp_p(v)=p+v$ は $T_pM$ 全体から $\mathbb R^n$ への微分同相なので、$\mathrm{inj}(p)=\infty$ である。
2. 単位球面 $S^n$ では、正規座標 の例「単位球面の正規座標」により $\exp_p$ は $B_\pi(0)$ から $S^n\setminus\{-p\}$ への微分同相である。一方、$\{|v|=\pi\}$ の上で $\exp_p(v)=-p$ であり、共役点 の例「球面の共役点」のとおり $-p$ は $p$ に共役なので、prop-ir-upper-bounds の 1 から $\mathrm{inj}(p)\le\pi$ である。よって $\mathrm{inj}(p)=\pi$、半径 $R$ の球面では $\pi R$ である。
3. 双曲空間 $H^n$ は完備で単連結であり（双曲空間 の定義「Minkowski 空間と双曲空間」とその後の注意、定理「測地線と距離の公式」）、断面曲率は $-1$ である。Riemann幾何学 の定理「Cartan–Hadamard の定理」により $\exp_p\colon T_pH^n\to H^n$ は被覆写像で、$H^n$ が単連結なので全単射、したがって微分同相である。よって $\mathrm{inj}(p)=\infty$ である。同じ理由で、完備・単連結・断面曲率 $\le0$ の Riemann 多様体の単射半径は $\infty$ である。

$T^2=\mathbb R^2/\mathbb Z^2$ に Euclid の計量から誘導される計量を入れ、$\pi\colon\mathbb R^2\to T^2$ を射影とする。$\pi$ は局所等長なので、$p=\pi(\tilde p)$ について $\exp_p(v)=\pi(\tilde p+v)$（$v\in\mathbb R^2=T_pT^2$）である。どの点でも $\mathrm{inj}(p)=1/2$ である。
実際、$a\le1/2$ とし、$v,w\in B_a(0)$ が $\exp_pv=\exp_pw$ を満たせば $v-w\in\mathbb Z^2$ で $|v-w|< 2a\le1$ なので $v=w$ である。$\exp_p$ は局所微分同相で $B_a(0)$ の上で単射なので、その上で像への微分同相である。よって $\mathrm{inj}(p)\ge1/2$ である。逆に $t\mapsto\pi(\tilde p+te_1)$（$0\le t\le1$）は長さ $1$ の測地ループ（実は閉測地線）なので、prop-ir-upper-bounds の 2 から $\mathrm{inj}(p)\le1/2$ である。トーラスの断面曲率は $0$ なので共役点はなく（共役点 の定理「非正曲率なら共役点はない」）、単射半径を決めているのは cor-ir-realized の 2 の状況、すなわち $\pi(\tilde p\pm\frac12e_1)$ に向かう 2 本の最短測地線である。

上半平面 $U^2=\{x+iy\mid y>0\}$ に計量 $y^{-2}(dx^2+dy^2)$（双曲空間 の定理「上半空間モデルと球体モデル」、$a=1$、$n=2$）を入れ、平行移動 $\tau(z)=z+1$ の生成する群 $\langle\tau\rangle\cong\mathbb Z$ で割った $M=U^2/\langle\tau\rangle$ を考える。$\tau$ は等長写像で、$\langle\tau\rangle$ は自由かつ固有に作用するので、$M$ には射影 $\pi\colon U^2\to M$ が Riemann 被覆になる計量が入る（Lee18 Proposition 2.32、p. 25）。$U^2$ は完備なので $M$ も完備である（同 Corollary 6.24、p. 173）。
$p=\pi(x+iy)$ をとる。$U^2$ で $x+iy$ と $x+1+iy$ を結ぶ測地線の線分を $\pi$ で写すと、$p$ での測地ループになる（$\pi$ は局所等長なので測地線を測地線に写す）。その長さ $\ell(y)$ は 双曲空間 の系「上半空間の距離」により
$$ \cosh\ell(y)=1+\frac1{2y^2} $$
を満たし、$y\to\infty$ のとき $\ell(y)\to0$ である。prop-ir-upper-bounds の 2 から $\mathrm{inj}(p)\le\ell(y)/2$ なので、$\mathrm{inj}(M)=0$ である。$M$ は完備だが、尖点（$y\to\infty$ の側）に向かって単射半径が $0$ に近づく。

1 行目：$p\in D$ で $\mathcal E_p=D-p$（$p+tv$ が $t\in[0,1]$ で $D$ に入る $v$ の全体。$D$ は凸）なので、$B_a(0)\subset\mathcal E_p$ と $a\le1-|p|$ は同値で、そのとき $\exp_p(v)=p+v$ は微分同相である。よって $\mathrm{inj}(p)=1-|p|<\infty$ である。一方、$D$ の中の線分はつねに長さ最小なので、$t_{\mathrm{cut}}$ を同じ式で定めると $\gamma_v|_{[0,b]}$ は定義される限り長さ最小で、切断点は 1 つもなく、共役点もない。完備でないと、単射半径は測地線が「外へ出てしまう」ことでも制限される。
2 行目：ex-ir-cusp により $M$ は完備で連結だが $\mathrm{inj}(M)=0$ である。cor-ir-compact の正値性にはコンパクト性が要り、thm-ir-complete の逆は成り立たない。
3 行目：ex-ir-torus により $\mathrm{inj}=1/2$ である。トーラスは完備で平坦だが単連結でなく、$\exp_p$ は被覆写像ではあっても単射でない。
4 行目：ex-ir-model-spaces の (2) により $\mathrm{inj}=\pi$ である。$S^2$ は完備で単連結だが、断面曲率 $1$ のため距離 $\pi$ に共役点がある。