二重数

同義語：双対数二重数環双対数環dual numberdual numbers

概要

前提知識: 可換環, 多項式環, 剰余環, 冪零元

二重数（dual number）とは、$a+b\varepsilon$（$a,b$ は実数など）の形の数で、新しい記号 $\varepsilon$ が $\varepsilon\ne0$、$\varepsilon^2=0$ をみたすものである。複素数が $i^2=-1$ をみたす $i$ を付け加えて作られるのと同じように、二重数は「$0$ ではないが $2$ 乗すると $0$ になる量」を付け加えて作られる。$\varepsilon$ は「$2$ 乗が無視できるほど小さい量」、すなわち無限小の代数的なモデルである。
この性質から、二重数の計算には微分が自然に現れる。たとえば $(a+b\varepsilon)^3=a^3+3a^2b\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ の係数に $x^3$ の導関数 $3x^2$ が出てくる。一般に多項式 $f$ について $f(a+b\varepsilon)=f(a)+f'(a)b\varepsilon$ が成り立ち（thm-dual-numbers-polynomial）、これは数値計算の自動微分の原理になっている。代数学ではこの観察が「二重数への準同型 $=$ 導分」という対応（thm-dual-numbers-derivations）に整理され、代数幾何学では接ベクトルを $\operatorname{Spec}$ の言葉で表す道具になる。
以下、環は単位元をもつ可換環とし、環の準同型は単位元を保つものとする。

定義

二重数

$R$ を可換環とする。多項式環 $R[x]$ をイデアル $(x^2)$ で割った剰余環
$$ R[\varepsilon]:=R[x]/(x^2),\qquad \varepsilon:=x\bmod (x^2) $$
を $R$ 上の 二重数の環（ring of dual numbers）または 二重数環 といい、その元を 二重数 という。双対数、双対数環 ともいう。$R=\mathbb{R}$ のとき $\mathbb{R}[\varepsilon]$ の元を実二重数という。

$R[x]$ の元を $x^2$ で割った余りは $1$ 次以下なので、$R[\varepsilon]$ の各元は $a+b\varepsilon$（$a,b\in R$）とただ一通りに書ける。すなわち $R[\varepsilon]$ は $1,\varepsilon$ を基底とする階数 $2$ の自由加群であり、積は
$$ (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=ac+(ad+bc)\varepsilon $$
で与えられる。$a$ を実部（スカラー部分）、$b$ を 無限小部分 と呼ぶことがある。$\varepsilon\mapsto0$ で定まる全射準同型 $\pi\colon R[\varepsilon]\to R$、$a+b\varepsilon\mapsto a$ はつねに使うので記号を固定しておく。$\pi$ の核は $R\varepsilon$ であり、$(R\varepsilon)^2=0$ である。つまり $R[\varepsilon]$ は $R$ の平方零拡大で、$R\to R[\varepsilon]$ が $\pi$ の切断になっている（分裂している）。
複素共役にならって $\overline{a+b\varepsilon}:=a-b\varepsilon$ とおくと、$(a+b\varepsilon)\overline{(a+b\varepsilon)}=a^2$ である。この「ノルム」は無限小部分を見ないので、二重数の大きさは実部だけで測られる。

二重数環の基本性質

$R$ を可換環とする。

$a+b\varepsilon$ が $R[\varepsilon]$ の可逆元であるための必要十分条件は $a$ が $R$ の可逆元であることであり、そのとき $(a+b\varepsilon)^{-1}=a^{-1}-a^{-2}b\varepsilon$ である。
$a+b\varepsilon$ が冪零であるための必要十分条件は $a$ が冪零であることである。
$R$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に $\mathfrak{p}+R\varepsilon$ を対応させる写像は、$R$ の素イデアル全体から $R[\varepsilon]$ の素イデアル全体への全単射であり、$\operatorname{Spec}R[\varepsilon]\to\operatorname{Spec}R$ は同相写像である。
$R=k$ が体のとき、$k[\varepsilon]$ のイデアルは $0$、$k\varepsilon$、$k[\varepsilon]$ の $3$ つだけである。とくに $k[\varepsilon]$ は極大イデアル $k\varepsilon$ をもつ $0$ 次元の局所環（Artin環）であり、被約環でも整域でもない。

要点：$\pi\colon R[\varepsilon]\to R$ が可逆・冪零を保ち、$\varepsilon$ が冪零なので、可逆性・冪零性・素イデアルはすべて実部だけで決まる。

詳しい証明を開く

1. $a$ が可逆なら $(a+b\varepsilon)(a^{-1}-a^{-2}b\varepsilon)=1+(-a^{-1}b+a^{-1}b)\varepsilon=1$。逆に $(a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=1$ なら実部を比べて $ac=1$。

2. $\pi$ は準同型なので冪零元を冪零元に写し、$a+b\varepsilon$ が冪零なら $a$ も冪零。逆に $a$ が冪零なら、$a$ と $b\varepsilon$ は可換な冪零元なので和 $a+b\varepsilon$ も冪零である（$a^n=0$ なら $(a+b\varepsilon)^{n+1}$ の二項展開の各項は $a^n$ か $\varepsilon^2$ を因子にもつ）。

3. $\varepsilon^2=0$ なので、どの素イデアル $\mathfrak{P}$ も $\varepsilon$ を含み、$\mathfrak{P}\supset R\varepsilon=\ker\pi$ である。素イデアルの対応は剰余環 $R[\varepsilon]/R\varepsilon\cong R$ の素イデアルとの対応 $\mathfrak{P}\mapsto\pi(\mathfrak{P})$ に帰着し、その逆が $\mathfrak{p}\mapsto\pi^{-1}(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}+R\varepsilon$ である。この対応は包含を保つので、閉集合 $V(\cdot)$ どうしも対応し、同相写像になる。

4. $I$ を $0$ でも全体でもないイデアルとする。$I$ は可逆元を含まないので、1 から $I$ の元は $b\varepsilon$ の形である。$b\varepsilon\in I$、$b\ne0$ なら $\varepsilon=b^{-1}(b\varepsilon)\in I$ で、$I=k\varepsilon$ となる。$k\varepsilon$ はただ一つの極大イデアルで、3 から素イデアルもこれだけなので Krull 次元は $0$。$\varepsilon\ne0$ は冪零なので被約でなく、$\varepsilon\cdot\varepsilon=0$ なので整域でない。$\square$

体 $k$ 上の二重数環は、正則局所環にならない最も簡単な局所環でもある。$\mathfrak{m}=k\varepsilon$ について $\mathfrak{m}^2=0$ なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=k\varepsilon$ は $1$ 次元だが、$\dim k[\varepsilon]=0$ である（正則局所環の例「反例：2 直線の交わる点の局所環」の後半）。幾何学的には、$\operatorname{Spec}k[\varepsilon]$ は $1$ 点だけからなるが、その点に「長さ $1$ の向き」が付いた 太った点 である。

2次元の可換代数の分類

実数の上の $2$ 次元の「数の体系」は、$i^2=-1$、$j^2=1$、$\varepsilon^2=0$ の $3$ 通りしかない。これは体の上の一般的な分類定理の特別な場合である。

2次元の可換代数の分類

$k$ を体、$A$ を $k$ 上 $2$ 次元の可換な $k$ 代数とする。このとき $1$ 変数のモニックな $2$ 次多項式 $f\in k[T]$ があって $A\cong k[T]/(f)$ であり、$A$ は次のちょうど一つに同型である。

$k$ の $2$ 次拡大体（$f$ が $k$ 上既約多項式のとき）。
直積環 $k\times k$（$f$ が $k$ に相異なる $2$ 根をもつとき）。
二重数環 $k[\varepsilon]$（$f$ が $k$ に重根をもつとき）。
とくに $k=\mathbb{R}$ のとき、$A$ は $\mathbb{C}$、$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$、$\mathbb{R}[\varepsilon]$ のちょうど一つに同型である。

生成元の最小多項式で分ける

$\dim_kA=2>0$ なので $A\ne0$ で、$k\to A$、$\lambda\mapsto\lambda\cdot1$ は単射である。$x\in A$ を $k\cdot1$ に入らない元とすると、$1,x$ は一次独立だから $A$ の基底である。したがって $x^2=px+q$ をみたす $p,q\in k$ がただ一組あり、$f(T):=T^2-pT-q$ とおく。$k$ 代数の準同型 $k[T]\to A$、$T\mapsto x$ は像が基底 $1,x$ を含むので全射で、$f$ を $0$ に写す。よって全射 $k[T]/(f)\to A$ が得られ、両辺とも $k$ 上 $2$ 次元なので同型である。
$f$ の根の様子で場合を分ける。

$f$ が $k$ に根をもたないとき、$2$ 次式なので既約であり、$(f)$ は $k[T]$ の極大イデアルである。よって $k[T]/(f)$ は $k$ の $2$ 次拡大体である。
$f=(T-c)(T-d)$、$c\ne d$ のとき、$(T-c)-(T-d)=d-c$ は可逆なので $(T-c)$ と $(T-d)$ は互いに素である。中国剰余定理から $k[T]/(f)\cong k[T]/(T-c)\times k[T]/(T-d)\cong k\times k$。
$f=(T-c)^2$ のとき、$k$ 代数の自己同型 $T\mapsto T+c$ は $(T-c)^2$ を $T^2$ に写すので、$k[T]/(f)\cong k[T]/(T^2)=k[\varepsilon]$。
3 つの型が互いに同型でないことを示す。$k[\varepsilon]$ は $0$ でない冪零元 $\varepsilon$ をもつが、体と $k\times k$ は冪零元を $0$ しかもたない（$k\times k$ では成分ごとに見る）。$k\times k$ は零因子 $(1,0)(0,1)=0$ をもつが、体はもたない。よって型はちょうど一つに決まる。
$k=\mathbb{R}$ のとき、既約な $f$ は平方完成により $f=(T-\tfrac p2)^2+\delta$（$\delta>0$）と書け、$T\mapsto\tfrac p2+\sqrt\delta\,i$ が同型 $\mathbb{R}[T]/(f)\cong\mathbb{C}$ を与える。$\square$

$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ は $j:=(1,-1)$ とおくと $j^2=1$ をみたし、$\mathbb{R}[j]/(j^2-1)$ と書ける（分解型複素数・双曲数と呼ばれる）。$3$ つの体系は、共役（$i$、$j$、$\varepsilon$ の係数の符号を変えたもの）との積 $z\bar z$ が $1$ になる数を掛けたときの平面の変換で見分けられる。

体系	関係式	「単位」の元	掛け算が表す平面の変換
$\mathbb{C}$	$i^2=-1$	$\cos\theta+i\sin\theta$	回転
$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$	$j^2=1$	$\cosh s+j\sinh s$	双曲回転（Lorentz 変換の形）
$\mathbb{R}[\varepsilon]$	$\varepsilon^2=0$	$1+\theta\varepsilon$	ずれ $(a,b)\mapsto(a,b+\theta a)$

最後の行は $(1+\theta\varepsilon)(a+b\varepsilon)=a+(b+\theta a)\varepsilon$ から分かる。$a$ を時刻、$b$ を位置と読むと、これは等速運動する観測者への座標変換（Galilei 変換）$(t,x)\mapsto(t,x+vt)$ の形である。
体の標数が $2$ でなければ平方完成によって $f=T^2-D$ の形にでき、$D$ が $0$ でない平方数、$0$、平方数でない、に応じて上の 2・3・1 になる。標数 $2$ では平方完成ができないが、上の証明は根の様子だけを使うのでそのまま通る（たとえば $\mathbb{F}_2[T]/(T^2+T+1)\cong\mathbb{F}_4$、$\mathbb{F}_2[T]/(T^2+1)\cong\mathbb{F}_2[\varepsilon]$）。

多項式の値と微分

多項式の二重数での値

$R$ を可換環、$f(x)=\sum_{n=0}^{N}c_nx^n\in R[x]$ とし、$f'(x)=\sum_{n=1}^{N}nc_nx^{n-1}$ をその形式的な導関数とする。任意の $a,b\in R$ について
$$ f(a+b\varepsilon)=f(a)+f'(a)\,b\,\varepsilon . $$

単項式ごとに二項展開する

両辺とも $f$ について $R$ 線形なので、$f=x^n$ のときに示せばよい。$n=0$ では両辺とも $1$ である。$n\ge1$ では二項定理により
$$ (a+b\varepsilon)^n=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}a^{n-j}b^j\varepsilon^j=a^n+na^{n-1}b\,\varepsilon $$
である。$j\ge2$ の項は $\varepsilon^j=0$ により消える。右辺は $f(a)+f'(a)b\varepsilon$ の $f=x^n$ の場合にほかならない。$\square$

この定理は、無限小部分が「$1$ 次の変化」をちょうど記録することを述べている。$\varepsilon^2=0$ が $2$ 次以上の項をすべて捨てるので、Taylorの定理の $1$ 次の近似が、近似ではなく等式として成り立つ。分母が可逆な有理式でも同じで、$g(a)$ が $R$ の可逆元なら、prop-dual-numbers-basic の 1 の逆元の公式から
$$ \frac{f}{g}(a+b\varepsilon)=\frac{f(a)+f'(a)b\varepsilon}{g(a)+g'(a)b\varepsilon}=\frac{f(a)}{g(a)}+\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}\,b\,\varepsilon $$
となり、商の微分公式が計算だけから出てくる。

自動微分（前進型）

$f(x)=x^3-2x$ の $x=2$ での値と微分係数を同時に求める。$\mathbb{R}[\varepsilon]$ で $2+\varepsilon$ を代入すると
$$ (2+\varepsilon)^3-2(2+\varepsilon)=(8+12\varepsilon)-(4+2\varepsilon)=4+10\varepsilon $$
なので $f(2)=4$、$f'(2)=10$ である（実際 $f'(x)=3x^2-2$）。計算機では、実数の組 $(a,b)$ に上の積を入れた型を用意し、$x=a+\varepsilon$ から出発して四則演算を順に行えば、最後の無限小部分が導関数の値になる。
多項式でない関数 $g$（微分可能な実関数）は、$g(a+b\varepsilon):=g(a)+g'(a)b\varepsilon$ と 定義して 二重数に延長する。この定義は合成と両立する：
$$ g\bigl(h(a+b\varepsilon)\bigr)=g\bigl(h(a)+h'(a)b\varepsilon\bigr)=g(h(a))+g'(h(a))h'(a)\,b\,\varepsilon $$
であり、これは $g\circ h$ を直接延長したものと一致する（連鎖律そのものである）。たとえば $\sin\bigl((a+\varepsilon)^2\bigr)=\sin(a^2+2a\varepsilon)=\sin a^2+2a\cos(a^2)\,\varepsilon$ となる。

行列による表示

$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ とおくと $N^2=0$ なので、$a+b\varepsilon\mapsto aI+bN=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}$ は $R[\varepsilon]$ から $2$ 次正方行列の環への単射な環準同型である。thm-dual-numbers-polynomial は、Jordan標準形の $2$ 次の Jordan ブロックに多項式を施す公式
$$ f\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(a)&f'(a)\\0&f(a)\end{pmatrix} $$
と同じものである。

導分との対応

二重数の値をもつ準同型は、微分の代数的な形である導分とちょうど対応する。これが二重数を代数学・代数幾何学で使う理由である。
$R$ を可換環、$A$、$B$ を可換な $R$ 代数、$\varphi\colon A\to B$ を $R$ 代数の準同型とし、$B$ を $\varphi$ によって $A$ 加群とみる。$R$ 線形写像 $D\colon A\to B$ で
$$ D(aa')=\varphi(a)D(a')+\varphi(a')D(a)\qquad(a,a'\in A) $$
をみたすものを $\varphi$ に沿う $R$ 導分といい、その全体を $\operatorname{Der}_R(A,B)$ と書く。$B$ 上の二重数環 $B[\varepsilon]$ は $R$ 代数であり、$\pi\colon B[\varepsilon]\to B$ は $\varepsilon\mapsto0$ である。

二重数への持ち上げと導分

上の設定で、$D\in\operatorname{Der}_R(A,B)$ に
$$ \psi_D\colon A\to B[\varepsilon],\qquad \psi_D(a)=\varphi(a)+D(a)\,\varepsilon $$
を対応させる写像は、$\operatorname{Der}_R(A,B)$ から「$R$ 代数の準同型 $\psi\colon A\to B[\varepsilon]$ で $\pi\circ\psi=\varphi$ をみたすもの」全体への全単射である。
$$ \xymatrix{ & B[\varepsilon] \ar[d]^{\pi} \\ A \ar[ur]^{\psi_D} \ar[r]_{\varphi} & B } $$

積の無限小部分を比べる

$B[\varepsilon]=B\oplus B\varepsilon$ と $R$ 加群として分解する。$R$ 線形写像 $\psi\colon A\to B[\varepsilon]$ で $\pi\circ\psi=\varphi$ をみたすものは、$R$ 線形写像 $D\colon A\to B$ によって $\psi(a)=\varphi(a)+D(a)\varepsilon$ とただ一通りに書ける。この $\psi$ が $R$ 代数の準同型になる条件を $D$ の言葉で書き直す。
積。 $\varphi$ は積を保つので、
$$ \psi(a)\psi(a')=\varphi(a)\varphi(a')+\bigl(\varphi(a)D(a')+\varphi(a')D(a)\bigr)\varepsilon,\qquad \psi(aa')=\varphi(aa')+D(aa')\varepsilon $$
の実部はつねに一致し、無限小部分が一致することは $D$ の Leibniz 則そのものである。
単位元と $R$ の作用。 Leibniz 則から $D(1)=D(1\cdot1)=2D(1)$、すなわち $D(1)=0$ であり、$R$ 線形性と合わせて $D(r\cdot1)=rD(1)=0$（$r\in R$）である。よって $\psi_D(r\cdot1)=r\cdot1$ となり、$\psi_D$ は単位元を保つ $R$ 代数の準同型である。逆に $\psi$ が $R$ 代数の準同型なら、上の積の比較から $D$ は Leibniz 則をみたし、$D\in\operatorname{Der}_R(A,B)$ である。
以上で $D\mapsto\psi_D$ が全単射であることが示された。逆写像は $\psi\mapsto$（$\psi$ の無限小部分）である。$\square$

この定理は、可換環 $A$ の $A$ 加群 $M$ による自明な平方零拡大 $A\oplus M$（$M^2=0$）への持ち上げが $M$ への導分と対応するという一般的な事実の、$M=B$ の場合である（Mat89 §25、p. 191）。$\operatorname{Der}_R(A,B)$ はさらに Kähler微分の加群 $\Omega_{A/R}$ からの $A$ 線形写像と対応する。

多変数の公式と方程式で定まる代数

$R$ を可換環、$B$ を可換な $R$ 代数とする。

$F\in R[x_1,\dots,x_n]$、$a,b\in B^n$ について
$$ F(a+b\varepsilon)=F(a)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}(a)\,b_i\,\varepsilon . $$
$A=R[x_1,\dots,x_n]/(F_1,\dots,F_r)$、$a\in B^n$ は $F_1(a)=\dots=F_r(a)=0$ をみたすとし、$\varphi\colon A\to B$ を $\bar x_i\mapsto a_i$ で定まる準同型とする。$\pi\circ\psi=\varphi$ をみたす $R$ 代数の準同型 $\psi\colon A\to B[\varepsilon]$ は、$\psi(\bar x_i)=a_i+b_i\varepsilon$ によって、連立一次方程式
$$ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F_j}{\partial x_i}(a)\,b_i=0\qquad(j=1,\dots,r) $$
の解 $b\in B^n$ と一対一に対応する。

要点：$x_i\mapsto a_i+b_i\varepsilon$ の無限小部分は $x_i$ で $b_i$ をとる導分で、生成元での値が同じ導分は一致する。

詳しい証明を開く

1. 多項式環の普遍性から $R$ 代数の準同型 $\psi\colon R[x_1,\dots,x_n]\to B[\varepsilon]$、$x_i\mapsto a_i+b_i\varepsilon$ があり、$\pi\circ\psi$ は代入 $\mathrm{ev}_a\colon F\mapsto F(a)$ に一致する（生成元で一致するから）。thm-dual-numbers-derivations により $\psi=\mathrm{ev}_a+D\varepsilon$、$D\in\operatorname{Der}_R(R[x],B)$、$D(x_i)=b_i$ と書ける。一方 $D'(F):=\sum_ib_i\,\partial F/\partial x_i(a)$ も $\mathrm{ev}_a$ に沿う $R$ 導分である（形式的偏微分の積の公式に $\mathrm{ev}_a$ を施す）。$D-D'$ は導分で $x_i$ をすべて $0$ に写すので、Leibniz 則と単項式の次数についての帰納法から、すべての単項式を $0$ に写し、$R$ 線形性から $D=D'$。よって $\psi(F)=F(a)+D'(F)\varepsilon$ であり、これが 1 の式である。

2. $A$ からの準同型 $\psi$ は、$R[x]$ からの準同型で $F_1,\dots,F_r$ を $0$ に写すものと一対一に対応する。$\pi\circ\psi=\varphi$ は $\psi(\bar x_i)=a_i+b_i\varepsilon$ の形であることと同値で、1 から $\psi(F_j)=F_j(a)+\sum_i\partial_iF_j(a)b_i\varepsilon=\sum_i\partial_iF_j(a)b_i\varepsilon$ である。これが $0$ になる条件が方程式である。$\square$

$B=k$ が体のとき、2 は $\operatorname{Spec}A$ の有理点 $a$ における接ベクトルを Jacobi 行列の核として求める公式になる（接ベクトルの命題「双対数による接ベクトルの計算」）。一般のスキームについても、$k$ 上のスキーム $X$ の $k$ 有理点での Zariski接空間は、$\operatorname{Spec}k[\varepsilon]$ から $X$ への射でその点を通るものの全体と同一視される（Zariski接空間の定理「接ベクトルと双対数に値をとる点」、Vak25 Exercise 13.1.G、p. 363）。$\operatorname{Spec}k[\varepsilon]$ を「点とそこでの無限小の向き」とみる見方は、点を高次の無限小近傍に広げると接錐に、部分スキームに沿って広げると法錐につながる。また、スキームを $k[\varepsilon]$ 上の平坦な族に延ばすことが変形理論の 1 次変形であり、$k[\varepsilon]$ 上の加群の平坦性は同記事の補題「双対数の環上の平坦性」で判定できる（Vak25 Exercise 24.3.D、p. 697 も参照）。

例と反例

二重数環は、可換環論の多くの条件を「ぎりぎりで」破る例として使われる。

被約環：$\varepsilon$ が $0$ でない冪零元なので被約でない。
正則局所環：$\dim k[\varepsilon]=0$ だが $\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=1$ で正則でない（prop-dual-numbers-basic の後の注意）。

形式的滑らかさ：$k\to k[\varepsilon]$ は有限・平坦だが形式的滑らかでない（同記事の例「反例：二重数環」）。
次の表は、この記事の定理の仮定を一つずつ外したときの反例である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-dual-numbers-classification の「$k$ は体」	$\mathbb{Z}$ 上の階数 $2$ の自由な代数 $\mathbb{Z}[x]/(x^2-4)$	整域でも、$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ とも、$\mathbb{Z}[\varepsilon]$ とも同型でなく、3 通りの分類が成り立たない
thm-dual-numbers-classification の「$2$ 次元」	$3$ 次元の $k[x]/(x^3)$ と $k[x,y]/(x,y)^2$	どちらも冪零元をもつ局所環だが互いに同型でなく、冪零元をもつ型が一つに決まらない
thm-dual-numbers-polynomial の「$\varepsilon^2=0$」（$\varepsilon^3=0$、$\varepsilon^2\ne0$ に弱める）	$R[x]/(x^3)$ で $f=x^2$、$a=0$、$b=1$	$f(\varepsilon)=\varepsilon^2\ne0=f(0)+f'(0)\varepsilon$ となり、$1$ 次の公式が成り立たない
thm-dual-numbers-derivations の「$\varepsilon^2=0$」（$\varepsilon^2=1$ に替える）	$A=\mathbb{R}[t]$、$B=\mathbb{R}$、$\varphi(t)=0$、$D(g)=g'(0)$、$\mathbb{R}[\varepsilon]$ の代わりに $\mathbb{R}[x]/(x^2-1)$	$\psi=\varphi+Dx$ は積を保たず、導分が準同型に対応しない

確かめ

1 行目：$1,x$ が基底。$(x-2)(x+2)=0$、$x\pm2\ne0$ なので整域でない。$e=a+bx$ が冪等なら $e^2=(a^2+4b^2)+2abx=e$ から $b(2a-1)=0$、$\mathbb{Z}$ では $2a\ne1$ なので $b=0$、$a\in\{0,1\}$。冪等元が $0,1$ だけなので $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ と同型でない。$(a+bx)^2=0$ なら $2ab=0$ かつ $a^2+4b^2=0$ で $a=b=0$。$0$ でない元で平方が $0$ になるもの（$\mathbb{Z}[\varepsilon]$ の $\varepsilon$ の行き先）がないので、$\mathbb{Z}[\varepsilon]$ と同型でない。