特異単体的集合の実現の弱同値

圏の局所化 の命題「局所化の存在」の自然変換についての主張により、自然変換 $Q_{\mathbf s}\eta\colon Q_{\mathbf s}\Rightarrow Q_{\mathbf s}\operatorname{Sing}\lvert\cdot\rvert=\overline{\operatorname{Sing}}\,\overline{\lvert\cdot\rvert}\,Q_{\mathbf s}$ は、同じ成分をもつ自然変換 $\bar\eta\colon\mathrm{id}\Rightarrow\overline{\operatorname{Sing}}\,\overline{\lvert\cdot\rvert}$ から来る。成分 $\eta_X$ は cor-sw-preserve の 2 により $W_{\mathbf s}$ に属するので、$Q_{\mathbf s}(\eta_X)$ は同型射であり、$\bar\eta$ は自然同型である。同様に $Q_{\mathbf t}\varepsilon$ は自然変換 $\bar\varepsilon\colon\overline{\lvert\cdot\rvert}\,\overline{\operatorname{Sing}}\Rightarrow\mathrm{id}$ を与え、成分 $\varepsilon_Y$ は thm-sw-main により $W_{\mathbf t}$ に属するので、$\bar\varepsilon$ は自然同型である。$\square$

$\langle\alpha^*w\rangle=\langle w\rangle\circ\lvert\alpha\rvert$ により $\varphi_P$ は矛盾なく定まり、連続である。$P_\bullet$ の非退化単体は狭義増加列、つまり頂点を順に並べた $P$ の単体である（隣り合う 2 項が等しい列は退化写像の像であり、逆に退化写像の像は等しい項をもつ）。幾何学的実現 の命題「実現の点の標準の代表」により $\lvert P_\bullet\rvert$ の点は非退化単体 $w$ と内部の点 $u$ の組 $(w,u)$ とただ 1 通りに対応し、$\varphi_P$ はこれを単体 $\{w_0,\dots,w_n\}$ の内部の重心座標 $u$ の点に送る。$\lvert P\rvert$ の各点はちょうど 1 つの単体の内部にあり重心座標が一意なので、$\varphi_P$ は全単射である。非退化単体は有限個なので $\lvert P_\bullet\rvert$ はコンパクトであり（幾何学的実現 の系「実現の位相的性質」）、$\lvert P\rvert$ は Hausdorff なので、$\varphi_P$ は同相写像である。$\square$

1：$\varepsilon_Y[h\circ\langle w\rangle,t]=h(\langle w\rangle(t))$。頂点 $w$ は $0$ 単体 $(w)$ で、$h^\flat(w)$ は点 $h(w)$ である。2：$A$ の単体 $w$ について $h\circ\langle w\rangle$ は定値の特異単体であり、それは $0$ 単体 $y$ の退化なので、$[h\circ\langle w\rangle,t]=[y,1]=v_y$ である。

3：$\lvert\Delta^1\rvert$ を $(1-s,s)\mapsto s$ で $[0,1]$ と同一視する。$\Delta^1$ の非退化単体は有限個なので、射影の実現を並べた比較写像 $\pi\colon\lvert P_\bullet\times\Delta^1\rvert\to\lvert P_\bullet\rvert\times[0,1]$ は直積位相について同相写像である（幾何学的実現と積(Milnorの定理) の系「局所コンパクトな因子」）。$H':=H\circ(\varphi_P\times\mathrm{id})\circ\pi$ とおき、$G:=\lvert\Theta(H')\rvert\circ\pi^{-1}\circ(\varphi_P^{-1}\times\mathrm{id})\colon\lvert P\rvert\times[0,1]\to\lvert\operatorname{Sing}Y\rvert$ と定める。$c\in\{0,1\}$ について $j_c\colon P_\bullet\to P_\bullet\times\Delta^1$ を $w\mapsto(w,\text{値 }c\text{ の定値写像})$ とすると、$\pi\circ\lvert j_c\rvert$ は $z\mapsto(z,c)$ である。随伴の自然性 $\Theta(H')\circ j_c=\Theta(H'\circ\lvert j_c\rvert)$ と $H'\circ\lvert j_c\rvert=h_c\circ\varphi_P$ から、$G(\cdot,c)=\lvert\Theta(h_c\circ\varphi_P)\rvert\circ\varphi_P^{-1}=L_P(h_c)$ である。$A$ の単体 $w$ を含む単体 $(w,\beta)$ について $\Theta(H')(w,\beta)=H'\circ\iota_{(w,\beta)}$ は定値 $y$ の特異単体なので、2 と同じ理由で $G$ は $\lvert A\rvert\times[0,1]$ の上で $v_y$ である。$\square$

$\sigma\colon\lvert\Delta^n\rvert\to Y$ と $\beta\in(\Delta^1)_n$（順序を保つ $[n]\to[1]$）について $\hat H(\sigma,\beta):=H\circ(\sigma,\lvert\beta\rvert)\colon\lvert\Delta^n\rvert\to Y'$ とおく（$\lvert\beta\rvert\colon\lvert\Delta^n\rvert\to\lvert\Delta^1\rvert=[0,1]$）。$\alpha^*(\sigma,\beta)=(\sigma\circ\lvert\alpha\rvert,\beta\alpha)$ と $\lvert\beta\alpha\rvert=\lvert\beta\rvert\lvert\alpha\rvert$ から $\hat H$ は単体的写像である。$\pi\colon\lvert\operatorname{Sing}Y\times\Delta^1\rvert\to\lvert\operatorname{Sing}Y\rvert\times[0,1]$ は同相写像なので（幾何学的実現と積(Milnorの定理) の系「局所コンパクトな因子」）、$\Gamma H:=\lvert\hat H\rvert\circ\pi^{-1}$ は連続である。$j_c$ を prf-sw-lift と同じ包含とすると $\hat H\circ j_c=\operatorname{Sing}f_c$ であり、$\pi\circ\lvert j_c\rvert=(\cdot,c)$ なので、$\Gamma H(\cdot,c)=\lvert\operatorname{Sing}f_c\rvert$ である。

後半：$H(t,s)=(1-s)t+se_0$ は $\mathrm{id}_{\lvert\Delta^p\rvert}$ から頂点 $e_0$ への定値写像へのホモトピーである。定値写像 $c$ について $\lvert\operatorname{Sing}c\rvert[\sigma,t]=[c\circ\sigma,t]$ で、$c\circ\sigma$ は定値の特異単体なので頂点 $v_{e_0}$ に等しい。よって $\Gamma H$ は $\mathrm{id}$ から定値写像へのホモトピーである。$\square$

(a) $j,j'$ も閉集合へのコファイブレーションの場合。$f_A$ のホモトピー逆写像 $e$ とホモトピー $h\colon e f_A\simeq\mathrm{id}_A$、$\ell\colon f_Ae\simeq\mathrm{id}_{A'}$ を選び、$k\colon f_Ae\simeq\mathrm{id}_{A'}$ を、$\ell\circ(f_Ae\times\mathrm{id})$ の逆、$f_A\circ h\circ(e\times\mathrm{id})$、$\ell$ をこの順につないだホモトピーとする（$k$ は $f_A,e,h,\ell$ だけで決まる）。May99 Chapter 6 §5 の第 2 の Proposition（対のホモトピー同値、pp. 47–48）の証明は、任意に選んだ $(e,h,\ell)$ から出発して、$g_Bi'=ie$ を満たす $f_B$ のホモトピー逆写像 $g_B$ と、ホモトピー $H_B\colon g_Bf_B\simeq\mathrm{id}_B$、$K_B\colon f_Bg_B\simeq\mathrm{id}_{B'}$ で $H_B(i(a),s)=i(h(a,s))$、$K_B(i'(a'),s)=i'(k(a',s))$ を満たすものを作る。同じ $(e,h,\ell)$ で $(C,A)$ にも当てて $g_C,H_C,K_C$ を得る。$[0,1]$ は局所コンパクトなので、押し出しの商写像と $\mathrm{id}_{[0,1]}$ の積は商写像であり（局所コンパクト空間 の命題「局所コンパクト因子と商写像」）、$(B\cup_AC)\times[0,1]$ は $(B\times[0,1])\cup_{A\times[0,1]}(C\times[0,1])$ である。$g_Bi'=ie$、$g_Cj'=je$ から $g:=g_B\cup g_C$ が、$A$ 上の値が $h$ と $k$ で一致することから $H:=H_B\cup H_C$、$K:=K_B\cup K_C$ が矛盾なく定まり、$f$ のホモトピー逆写像とホモトピーを与える。

(b) 一般の場合。写像柱 $M_j:=\bigl((A\times[0,1])\sqcup C\bigr)/\bigl((a,1)\sim j(a)\bigr)$、$k_j(a):=[a,0]$、射影 $r_j\colon M_j\to C$ をとる。$k_j$ は閉集合へのコファイブレーション、$r_j$ はホモトピー同値で $r_jk_j=j$ である（コファイブレーション の例「写像柱による分解」）。$f_A\times\mathrm{id}$ と $f_C$ が誘導する $f_M\colon M_j\to M_{j'}$ は $r_{j'}f_M=f_Cr_j$ を満たすので、ホモトピー同値である（ホモトピー同値 の命題「合成と同値関係」と命題「ホモトピックな写像への置換」）。$D:=B\cup_AM_j$（$i$ と $k_j$ による押し出し）、$D'$ も同様にとると、(a) により $f_D\colon D\to D'$ はホモトピー同値である。

$c\colon D\to B\cup_AC$ を $\mathrm{id}_B$ と $r_j$ が誘導する写像とする。$D$ は $A\times[0,1]$ を、$(a,0)$ を $i(a)$ に、$(a,1)$ を $j(a)$ に貼った空間なので、$[0,1]$ の向きを反転すれば、$i$ の写像柱 $M_i$ と $C$ を $k_i$ と $j$ で貼った押し出し $M_i\cup_AC$ でもあり、$c$ は $r_i\cup\mathrm{id}_C$ にあたる。$k_i$ と $i$ はコファイブレーションで、$r_i$ はホモトピー同値、$r_ik_i=i$ なので、May99 Chapter 6 §5 の第 1 の Proposition（p. 46）により、$\rho\,i=k_i$ を満たす $r_i$ のホモトピー逆写像 $\rho$ と、$A$ の像の上で動かないホモトピー $\rho r_i\simeq\mathrm{id}$、$r_i\rho\simeq\mathrm{id}$ がある。これらを $C$ の上の恒等写像と貼り合わせれば、$c$ はホモトピー同値である。$c'$ も同じである。$f\circ c=c'\circ f_D$ なので、$f\simeq c'\circ f_D\circ c^{-1}$（$c^{-1}$ はホモトピー逆写像）はホモトピー同値である。$\square$

1：$i< p$ の面 $d_ic$ では、残る対象の $\theta_{\cdot,p}$ は変わらないので $v_{d_ic}=v_c\circ\delta^i$、$y_{d_ic}=(\delta^i)^*y_c$ である。$d_pc$ は $(n_{p-1},x_{p-1})$ で終わり、$x_{p-1}=\theta_p^*x_p$、$\theta_p\circ v_{d_pc}=v_c\circ\delta^p$ なので、$y_{d_pc}=v_{d_pc}^*\theta_p^*x_p=(v_c\delta^p)^*x_p=(\delta^p)^*y_c$ である。よって $(d_ic,r)$ と $(c,\lvert\delta^i\rvert r)$ の像は一致し、$\ell_K$ は商位相により連続である。自然性は単体的写像 $u$ が $(n,x)\mapsto(n,u(x))$ で列を写すことによる。

2 の準備 (i)：部分単体的集合 $A\subseteq K$ について、$N(\Delta/A)$ は $N(\Delta/K)$ の部分（$x_p\in A$ となる列）なので、$Z_A$ は $Z_K$ の部分複体であり、包含は閉集合へのコファイブレーションである（コファイブレーション の例「CW 対と良い基点」）。$\lvert A\rvert\subseteq\lvert K\rvert$ も同様である（幾何学的実現 の系「実現の位相的性質」）。

(ii) 押し出し：長さ $p$ の列は $\Delta$ の列 $[n_0]\to\cdots\to[n_p]$ と $x_p$ で決まるので、$N(\Delta/K)_p\cong\coprod_{[n_0]\to\cdots\to[n_p]}K_{n_p}$ は $K$ について自然であり、$N(\Delta/\cdot)$ は余極限を次数ごとに保つ。退化の同一視をしない実現は、幾何学的実現 の定理「幾何学的実現と特異単体的集合の随伴」の証明が退化写像を使わないので、特異単体の半単体的集合をとる関手の左随伴であり、余極限を保つ。$\lvert\cdot\rvert$ も余極限を保つ（同記事の系「余極限の保存」）。

$K$ の非退化単体のうち次元が最大のもの $y\in K_m$ を一つとり、ほかの非退化単体が生成する部分単体的集合を $K'$ とする。$y$ を $\Delta^m\to K$ とみると、$K=K'\cup_{\partial\Delta^m}\Delta^m$ である。実際、$y=\alpha^*z$（$z\ne y$ は非退化）なら $\alpha$ を全射と単射に分解して $y$ の非退化性と次元の最大性から $z=y$ となり矛盾するので $y\notin K'$。$y$ の面の根（幾何学的実現 の補題「Eilenberg–Zilber の補題」）は次元が $m$ 未満で $K'$ に入る。$K$ の単体 $x$ は根 $r$ により $x=\beta^*r$ と一意に書け、$x\notin K'$ と $r=y$ は同値である（部分単体的集合の単体の根はその中にある）。$\Delta^m$ の単体で $\partial\Delta^m$ にないものは全射 $\beta$ で、$\beta\mapsto\beta^*y$ は補題の一意性により単射である。よって比較写像は各次数で全単射である。(ii) の前半により、$Z_K=Z_{K'}\cup_{Z_{\partial\Delta^m}}Z_{\Delta^m}$、$\lvert K\rvert=\lvert K'\rvert\cup_{\lvert\partial\Delta^m\rvert}\lvert\Delta^m\rvert$ であり、自然性により $\ell_K$ はこの二つの押し出しの間の誘導写像である。

(iii) 単体：$(m,\mathrm{id}_{[m]})$ は $\Delta/\Delta^m$ の終対象である（$(n,\alpha)$ からの射 $\theta$ は $\theta=\alpha$ に限る）。列 $c$ に終対象への射を付け加えた列を $c^\star$ とし、$H([c,r],s):=[c^\star,((1-s)r,s)]$ とおく。$i\le p$ について $(d_ic)^\star=d_i(c^\star)$ なので $H$ は生成関係を保ち、$[0,1]$ が局所コンパクトであることから連続である。$s=0$ では $c^\star$ の最後の面により $[c,r]$ に、$s=1$ では終対象の頂点に等しい。よって $Z_{\Delta^m}$ は可縮であり、$\lvert\Delta^m\rvert$ も可縮なので、$\ell_{\Delta^m}$ はホモトピー同値である。

(iv) 帰納法：非退化単体の最大次元 $m$ と、次元 $m$ の非退化単体の個数の組について帰納法を使う。$K=\emptyset$ なら $Z_K=\emptyset$ である。(ii) の分解で $K'$ と $\partial\Delta^m$（最大次元 $m-1$）は組が小さいので $\ell_{K'}$、$\ell_{\partial\Delta^m}$ はホモトピー同値であり、(iii) と (i) から lem-sw-gluing の仮定が満たされる。よって $\ell_K$ はホモトピー同値である。$\square$

段 1（有限の部分へ）：$g(\lvert P\rvert)$ はコンパクトなので、CW 複体 $\lvert\operatorname{Sing}Y\rvert$ の有限部分複体に含まれる。これは非退化単体が有限個の部分単体的集合 $K\subseteq\operatorname{Sing}Y$ の実現 $\lvert K\rvert$ である（幾何学的実現 の系「実現の位相的性質」の (R3)）。

段 2（単体近似）：lem-sw-last-vertex の 2 により $\ell_K$ はホモトピー逆写像 $q$ をもつ。$qg(\lvert P\rvert)$ はコンパクトなので $Z_K$ の有限個の開単体としか交わらず、それらの面をすべて含む有限部分複体 $F$ に入る（Δ複体 の命題「Δ 複体は CW 複体である」）。$T:=\operatorname{sd}\operatorname{sd}F$ は単体複体で $\lvert T\rvert=F$ である（同記事の定理「2 回の重心細分で単体複体になる」）。単体近似定理 の定理「単体近似定理」により、ある $r$ と単体写像 $v\colon\operatorname{sd}^rP\to T$ で $qg\simeq\lvert v\rvert$（$F$ の中のホモトピー）となるものがある。よって $j:=\ell_K\circ\lvert v\rvert$ とおくと $g\simeq\ell_Kqg\simeq j$ である。

段 3（担体）：$P'$ の単体 $\sigma$ の頂点を順に並べた列を $w_\sigma$（$q_\sigma:=\dim\sigma$）とする。$\lvert v\rvert\circ\langle w_\sigma\rangle$ は $\lvert\Delta^{q_\sigma}\rvert$ の内部を $T$ のある単体の内部に写し、$T$ の単体の内部は $F$ のただ一つの単体 $a_\sigma\in N(\Delta/K)_{p_\sigma}$ の開単体に入る。$T$ の単体は $\sigma_{a_\sigma}$ と $\lvert\Delta^{p_\sigma}\rvert$ のアフィン写像の合成なので、アフィン写像 $\lambda_\sigma\colon\lvert\Delta^{q_\sigma}\rvert\to\lvert\Delta^{p_\sigma}\rvert$ で$$\lvert v\rvert\circ\langle w_\sigma\rangle=\sigma_{a_\sigma}\circ\lambda_\sigma$$となるものがただ一つある。$\sigma$ の面 $\sigma'$（面の包含 $\delta$）について、$\lambda_\sigma\lvert\delta\rvert$ は内部を $\lvert\Delta^{p_\sigma}\rvert$ のある面の内部に写すので、その面を表す順序を保つ単射 $\theta_{\sigma'\sigma}$ について、Δ複体 の補題「標準形」により $a_{\sigma'}=\theta_{\sigma'\sigma}^*a_\sigma$、$\lambda_\sigma\lvert\delta\rvert=\lvert\theta_{\sigma'\sigma}\rvert\lambda_{\sigma'}$ である。$\theta_{\sigma'\sigma}$ は像で決まるので、$\sigma''\subseteq\sigma'\subseteq\sigma$ について $\theta_{\sigma''\sigma}=\theta_{\sigma'\sigma}\theta_{\sigma''\sigma'}$ である。$y_\sigma:=y_{a_\sigma}\in K_{p_\sigma}$ は特異単体 $\lvert\Delta^{p_\sigma}\rvert\to Y$ であり、lem-sw-last-vertex の 1 により$$j\circ\langle w_\sigma\rangle=\iota_{y_\sigma}\circ\lambda_\sigma,\qquad y_{\sigma'}=y_\sigma\circ\lvert\theta_{\sigma'\sigma}\rvert$$である。

段 4（可縮な像の中で結ぶ）：$C_p:=\lvert\operatorname{Sing}\lvert\Delta^p\rvert\rvert$、$i_p:=\iota_{\mathrm{id}}\colon\lvert\Delta^p\rvert\to C_p$ とおく。特異単体 $y\colon\lvert\Delta^p\rvert\to Y$ について $\iota_y=\lvert\operatorname{Sing}y\rvert\circ i_p$ である。$U_\sigma:=i_{p_\sigma}\circ\lambda_\sigma$、$V_\sigma(u):=[\lambda_\sigma,u]$（$\lambda_\sigma$ を $\lvert\Delta^{p_\sigma}\rvert$ の特異 $q_\sigma$ 単体とみる）とおくと、段 3 と def-sw-canonical-lift から$$j\circ\langle w_\sigma\rangle=\lvert\operatorname{Sing}y_\sigma\rvert\circ U_\sigma,\qquad L_{P'}(\varepsilon_Yj)\circ\langle w_\sigma\rangle=\lvert\operatorname{Sing}y_\sigma\rvert\circ V_\sigma$$である（後者は $[y_\sigma\lambda_\sigma,u]=\lvert\operatorname{Sing}y_\sigma\rvert[\lambda_\sigma,u]$ による）。面については、$i_p\lvert\theta\rvert=\lvert\operatorname{Sing}\lvert\theta\rvert\rvert\circ i_{p'}$（$[\mathrm{id},\lvert\theta\rvert u]=[\theta^*\mathrm{id},u]$）と $[\lambda_\sigma,\lvert\delta\rvert u]=[\lambda_\sigma\lvert\delta\rvert,u]$ から、$\kappa_\theta:=\lvert\operatorname{Sing}\lvert\theta\rvert\rvert$ について $U_\sigma\lvert\delta\rvert=\kappa_{\theta_{\sigma'\sigma}}U_{\sigma'}$、$V_\sigma\lvert\delta\rvert=\kappa_{\theta_{\sigma'\sigma}}V_{\sigma'}$ であり、$\lvert\operatorname{Sing}y_\sigma\rvert\circ\kappa_{\theta_{\sigma'\sigma}}=\lvert\operatorname{Sing}y_{\sigma'}\rvert$ である。

$\sigma$ の次元についての帰納法で、$U_\sigma$ から $V_\sigma$ へのホモトピー $H_\sigma\colon\lvert\Delta^{q_\sigma}\rvert\times[0,1]\to C_{p_\sigma}$ で、すべての面について $H_\sigma\circ(\lvert\delta\rvert\times\mathrm{id})=\kappa_{\theta_{\sigma'\sigma}}\circ H_{\sigma'}$ を満たすものを作る。$\lvert\Delta^{q}\rvert\times\{0,1\}\cup\partial\lvert\Delta^q\rvert\times[0,1]$ の上の写像を、底と蓋では $U_\sigma,V_\sigma$、側面では右辺で定めると、面どうしの交わりでは $\theta$ の合成の等式により値が一致し、有限個の閉集合の貼り合わせで連続である。$C_{p_\sigma}$ は可縮なので（lem-sw-gamma）この写像は定値写像にホモトピックであり、CW 対 $(\lvert\Delta^q\rvert\times[0,1],\ \partial(\lvert\Delta^q\rvert\times[0,1]))$ のホモトピー拡張性質（コファイブレーション の例「CW 対と良い基点」）により全体へ延びる。こうして $G(\langle w_\sigma\rangle(u),s):=\lvert\operatorname{Sing}y_\sigma\rvert H_\sigma(u,s)$ は面の上で一致し、$j$ から $L_{P'}(\varepsilon_Yj)$ へのホモトピーを与える。

段 5：$g\simeq j$ に $\varepsilon_Y$ を合成すると $\varepsilon_Yg\simeq\varepsilon_Yj$ であり、lem-sw-lift の 3（$A=\emptyset$）により $L_{P'}(\varepsilon_Yg)\simeq L_{P'}(\varepsilon_Yj)$ である。以上をつなげて $g\simeq j\simeq L_{P'}(\varepsilon_Yj)\simeq L_{P'}(\varepsilon_Yg)$ を得る。$\square$