部分束・商束・双対束

前提知識: ベクトル束, ベクトル束の直和・テンソル積, 商空間(線形代数), 双対空間(線形代数)

ベクトル空間には部分空間・商空間・双対空間という基本の操作がある。これをベクトル束のファイバーごとに行い、底空間の点について連続に動かしたものが部分束（subbundle）・商束（quotient bundle）・双対束（dual bundle）である。多様体の接束の中の部分多様体の接束、沈め込みのファイバー方向の接ベクトル、法束、余接束などはすべてこの形で現れる。
一点の上では線形代数そのものだが、束として意味をもつには「ファイバーが連続に動く」こと、すなわち局所自明性が必要である。束写像の核や像は一般には束にならず、階数が一定であることがちょうど必要十分になる。この記事では、部分束を局所的な枠で判定する方法、階数一定の束写像の核と像が部分束になること、商束の局所自明性と普遍性、計量による直交補束と商束の同型、双対束での消滅部分束と商束の双対の関係を証明する。

定義と記号

以下 $\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、ベクトル束・束写像・切断の定義と記号は ベクトル束 の記事に従う。とくにベクトル束の階数は一定であり、$\varepsilon^N:=B\times\mathbb{K}^N$ を自明束と書く。束 $E\to B$ と開集合 $U\subset B$ について $E|_U:=\pi^{-1}(U)$ とおく。
$U$ 上の $E$ の連続な切断 $s_1,\dots,s_r$（$r$ は $E$ の階数）で、各 $u\in U$ について $s_1(u),\dots,s_r(u)$ が $E_u$ の基底となるものを $U$ 上の局所枠という。ベクトル束 の記事の命題「自明性の判定」を $E|_U$ に当てると、局所枠は局所自明化 $U\times\mathbb{K}^r\to E|_U$、$(u,a)\mapsto\sum_ia_is_i(u)$ を与える。とくに、連続な切断 $s$ を局所枠で $s=\sum_ia_is_i$ と書いたときの係数 $a_i$ は連続関数である。

部分束 $F$ の階数を $k$ とすると、各 $F_b$ は $k$ 次元である。包含写像 $F\to E$ は束写像である。部分束の判定には次の 2 つの補題を使う。

束写像の核と像

$f\colon E\to F$ を同じ底空間 $B$ 上の束写像とする。$\ker f:=\bigsqcup_b\ker f_b\subset E$、$\operatorname{im}f:=\bigsqcup_bf_b(E_b)\subset F$ とおく。$b\mapsto\operatorname{rank}f_b$ を $f$ の階数という。

階数が局所定数なだけのときは、階数が $k$ に等しい点の集合 $B_k$ は開かつ閉であり、各 $B_k$ の上で定理を当てると $\ker f$、$\operatorname{im}f$ の $B_k$ 上の部分は部分束になる（$B$ 全体では階数が一定でないので、この記事の意味の部分束ではない）。同じ主張と証明は Swa62 Proposition 1（p. 265）にあり、MS74 Problem 3-C（p. 35）は演習として挙げている。

商束

$F\subset E$ を階数 $k$ の部分束、$E$ の階数を $r$ とする。各ファイバーの商空間を集めた集合
$$ E/F:=\bigsqcup_{b\in B}E_b/F_b $$
に、射影 $q\colon E\to E/F$、$q(v):=v+F_{\pi(v)}$ による商位相を入れる。$E/F\to B$ を $v+F_b\mapsto b$ で定める。

階数が一定の束写像 $f\colon E\to F$ について、thm-sqd-kernel-image と thm-sqd-quotient により余核 $\operatorname{coker}f:=F/\operatorname{im}f$ もベクトル束である。部分束 $F\subset E$ について、ファイバーごとに完全な束写像の列
$$ 0\to F\xrightarrow{\ i\ }E\xrightarrow{\ q\ }E/F\to0 $$
をベクトル束の短完全列という（短完全列）。

計量と直交補束

局所枠 $s_1,\dots,s_r$ について $\langle s_i,s_j\rangle$ は連続関数であり、逆にすべての局所枠についてこれが連続なら族は計量である。各点で Gram–Schmidt の直交化を行うと、計量に関して正規直交な局所枠が得られる（Gram–Schmidtの直交化。係数は内積の連続関数で書ける）。

計量をもつ束の部分束 $F\subset E$ について、$F_b^\perp:=\{v\in E_b\mid\langle v,w\rangle=0\ (w\in F_b)\}$ とおき、$F^\perp:=\bigsqcup_bF_b^\perp$ を $F$ の直交補という。

2 は MS74 Theorem 3.3（p. 28、Gram–Schmidt の直交化による証明）と Swa62 Proposition 2（p. 266）にあり、3 と商束の局所自明性は MS74 Problem 3-B（p. 35）の演習である。計量の存在は Swa62 Lemma 2（p. 266）にある。

双対束

$E$ の双対束 $E^*$ は、ファイバーが双対空間 $(E_b)^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(E_b,\mathbb{K})$ であるベクトル束で、ベクトル束の直和・テンソル積 の定理「ファイバーごとの構成の局所自明性」で構成される。$E$ の局所自明化 $\phi$ に対し、$E^*$ の局所自明化は $\lambda\in E_b^*\mapsto(b,(\phi_b^{-1})^{\mathsf T}\lambda)$ であり、変換関数は $(g_{\alpha\beta}^{-1})^{\mathsf T}$ である。局所枠の言葉では、$E$ の局所枠 $s_1,\dots,s_r$ の各点での双対基底 $s^1,\dots,s^r$（$s^i(s_j)=\delta_{ij}$）が $E^*$ の局所枠になる（$\phi$ を枠 $s_i$ から作ると $(\phi_b^{-1})^{\mathsf T}s^i(b)$ は $b$ によらない）。$E^*$ の切断は、各ファイバー上で線形な連続関数 $E\to\mathbb{K}$ と同じものである（同じ記事の命題「準同型束の切断と束写像」）。

部分束 $F\subset E$ について、$F_b^0:=\{\lambda\in E_b^*\mid\lambda|_{F_b}=0\}$ とおき、$F^0:=\bigsqcup_bF_b^0\subset E^*$ を $F$ の消滅束（annihilator）という。

計量があれば、双対束はもとの束（複素の場合はその共役）と同型になる（実の場合は MS74 Problem 3-D（p. 35）の演習、複素の場合は MS74 §14（pp. 168–169））。複素ベクトル束 $E$ の共役束 $\bar E$ とは、同じ実ベクトル束にスカラー倍 $\lambda\cdot v:=\bar\lambda v$ を入れた複素ベクトル束である。

例

実ベクトル束では計量により $E\cong E^*$ がいつも成り立つ（パラコンパクト Hausdorff な底の上）ので、この例は $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ に固有の現象である。$E$ は、向きを保つ同一視 $S^2\cong\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ のもとで複素射影直線の接束と同じものである。MS74 §14（pp. 167–168）は、$E$ が共役束 $\bar E$ と同型でないことを同じく接線の場の非存在から導いており、Problem 14-A（p. 170）は Chern 類による別の証明を演習として挙げている。

条件を外した反例

補足

• 代数幾何では、局所自由層の部分層の商は局所自由とは限らない。たとえば射影直線上で点 $p$ のイデアル層 $\mathcal{O}(-p)\subset\mathcal{O}$ の商は $p$ に台をもつ層である。これは thm-sqd-kernel-image の階数の条件が破れる現象にあたり、商が局所自由になる部分層を部分束という。
• パラコンパクト Hausdorff 空間上では、すべての部分束は直和因子である（cor-sqd-splitting、Swa62 Proposition 2、p. 266）。コンパクト Hausdorff 空間 $B$ 上では、ファイバーの次元が局所定数の束まで含めると、ベクトル束は連続関数環 $C(B)$ 上の有限生成射影加群と対応し、部分束の直和分解は射影加群の直和分解に対応する（Serre–Swanの定理）。

関連項目

• 前提: ベクトル束, ベクトル束の直和・テンソル積, 商空間(線形代数), 双対空間(線形代数)
• 応用: 法束, 接束, 沈め込み, Serre–Swanの定理
• 比較: 短完全列, Hermite計量, Riemann計量
• 発展: 毛玉の定理, Grassmann多様体, Chern類