逆像(層)

$y\in Y$ とし、$i_y\colon\{y\}\to Y$ を 1 点空間の包含とする。1 点空間の開集合は $\emptyset$ と $\{y\}$ だけで、$(i_{y,p}^{-1}\mathcal{G})(\{y\})=\varinjlim_{V\ni y}\mathcal{G}(V)=\mathcal{G}_y$、$(i_{y,p}^{-1}\mathcal{G})(\emptyset)=\mathcal{G}(\emptyset)$ である。層 $\mathcal{G}$ では $\mathcal{G}(\emptyset)$ は 1 点（アーベル群の層なら零群）なので、この前層はすでに 1 点空間上の層であり、$i_y^{-1}\mathcal{G}$ は集合（アーベル群）$\mathcal{G}_y$ と同じものである。すなわち、茎をとる操作は 1 点の包含に沿う逆像である。摩天楼層 の定理「摩天楼層の普遍性」は、この逆像と順像 $i_{y*}$ の随伴を述べたものにあたる。

$c\colon X\to\{\ast\}$ を 1 点空間への写像とし、$A$ を集合（1 点空間上の層とみる）とする。$X$ の空でない開集合 $U$ では $c(U)=\{\ast\}$ を含む開集合は $\{\ast\}$ だけなので $(c_p^{-1}A)(U)=A$ であり、$(c_p^{-1}A)(\emptyset)$ は 1 点である。これは定数前層であり、その層化は局所定数関数 $U\to A$ の層、すなわち定数層 $A_X$ である（層化 の例「定数前層から局所定数関数へ」）。よって $c^{-1}A=A_X$ である。連続写像 $g\colon X\to Y$ については、$c_Y\colon Y\to\{\ast\}$ とすると $c_Y\circ g=c_X$ なので、後の thm-invimg-composition により
$$ g^{-1}(A_Y)=g^{-1}c_Y^{-1}A\cong(c_Y\circ g)^{-1}A=c_X^{-1}A=A_X $$
であり、定数層の逆像は定数層である。$X$ が連結でなければ、$\Gamma(X,A_X)$ は $A$ より大きくなりうる。

$T\subset Y$ を部分空間、$i\colon T\to Y$ を包含とし、$\mathcal{G}|_T:=i^{-1}\mathcal{G}$ を $\mathcal{G}$ の $T$ への制限という。prop-invimg-stalk により $y\in T$ での茎は $\mathcal{G}_y$ のままである。$T$ が開集合でないと、切断は $T$ 上の「値」だけでは決まらない。たとえば $Y=\mathbb{R}$、$\mathcal{G}$ を連続関数の層 $\mathcal{C}$、$T=\{0\}$ とすると、ex-invimg-point により $\Gamma(T,\mathcal{C}|_T)=\mathcal{C}_0$ は $0$ における連続関数の芽の全体であり、$0$ での値の集合 $\mathbb{R}$ ではない。

1：$X=\{a,b\}$ を離散空間、$Y=\{\ast\}$、$f\colon X\to Y$ を定数写像とし、$\mathcal{G}$ を 2 個以上の元をもつ集合 $S$ を値とする $Y$ 上の層とする。$X$ の空でない開集合 $U$ では $f(U)=Y$ なので $(f_p^{-1}\mathcal{G})(U)=S$ であり、制限写像は恒等写像である。$X=\{a\}\cup\{b\}$ は開被覆で、$\{a\}\cap\{b\}=\emptyset$ なので、相異なる $s\in(f_p^{-1}\mathcal{G})(\{a\})$ と $s'\in(f_p^{-1}\mathcal{G})(\{b\})$ は重なりで整合する。しかし $(f_p^{-1}\mathcal{G})(X)=S$ の元 $u$ の制限は $u$ と $u$ なので、$(s,s')$ に貼り合わさる切断はない。よって $f_p^{-1}\mathcal{G}$ は層でない。層化すると $(f^{-1}\mathcal{G})(X)=S\times S$ であり、$f(X)=Y$ が開集合であるにもかかわらず $\mathcal{G}(f(X))=S$ とは異なる。
2：$U:=\mathbb{R}\setminus\{0\}$、$j\colon U\to\mathbb{R}$ を包含、$\mathcal{G}:=\mathbb{Z}_{\mathbb{R}}$ を定数層とする。prop-invimg-open により $j^{-1}\mathbb{Z}_{\mathbb{R}}=\mathbb{Z}_U$ であり、$(j_*j^{-1}\mathbb{Z}_{\mathbb{R}})(\mathbb{R})=\mathbb{Z}_U(U)$ は $U$ 上の局所定数関数の全体、すなわち 2 つの連結成分ごとに整数を選ぶ $\mathbb{Z}^2$ である。単位の $\mathbb{R}$ 上の成分は対角写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}^2$ で、全射でない。同じ計算を区間 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ で行えば、$0$ における茎でも $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}^2$ になり、単位は同型でない。
3：1 と同じ $f$ をとり、$X$ 上の層 $\mathcal{F}$ を $\mathcal{F}(\{a\})=S_1$、$\mathcal{F}(\{b\})=S_2$、$\mathcal{F}(X)=S_1\times S_2$ で定める（$S_1$ は空でない集合、$S_2$ は 2 個以上の元をもつ集合）。$f_*\mathcal{F}$ は値 $S_1\times S_2$ の 1 点空間上の層で、prop-invimg-stalk により $(f^{-1}f_*\mathcal{F})_a=S_1\times S_2$ である。余単位の $a$ での茎は射影 $S_1\times S_2\to S_1$ で、単射でない。よって余単位は同型でない。
4：$k$ を体、$Y:=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$、$\mathcal{O}:=\mathcal{O}_Y$ とし、$i\colon\operatorname{Spec}k\to Y$ を $k[t]\to k$、$t\mapsto0$ が定める原点の包含とする。$R:=\mathcal{O}_{Y,0}=k[t]_{(t)}$ とおくと、ex-invimg-point により $\mathcal{O}_Y$ 加群 $\mathcal{M}$ について $i^{-1}\mathcal{M}=\mathcal{M}_0$、$i^{-1}\mathcal{O}=R$ であり、1 点空間の上では $i^*\mathcal{M}=\mathcal{M}_0\otimes_Rk$ である。イデアル $(t)$ が定めるイデアル層の包含 $t\mathcal{O}\to\mathcal{O}$ は単射で、その $0$ での茎は包含 $tR\to R$ である。$R$ は整域なので $r\mapsto tr$ は $R$ 加群の同型 $R\to tR$ を与え、$tR\otimes_Rk\cong k$ は $t\otimes1$ で生成される。$i^*$ を施した写像 $tR\otimes_Rk\to R\otimes_Rk=k$ は $t\otimes1$ を $t$ の $k$ での像 $0$ に送るので零写像であり、単射でない。一方 $f^{-1}$ を施した $tR\to R$ は単射のままである（thm-invimg-exact）。