Kleimanの判定法(豊富性)

$\rho$ を $N^1(X)$ の階数とする。$N_1(X)$ の定義により、$z\mapsto(\,\cdot\,z)$ は単射 $N_1(X)\to\operatorname{Hom}(N^1(X),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{\rho}$ を与えるので、$N_1(X)$ は階数 $\rho$ 以下の自由アーベル群である。$\mathbb{R}$ は $\mathbb{Z}$ 上平坦なので、誘導される $\iota\colon N_1(X)_{\mathbb{R}}\to\operatorname{Hom}(N^1(X)_{\mathbb{R}},\mathbb{R})$ は単射である。

全射を示す。像 $W$ が全体でないとすると、$W$ の零化空間 $W^{\perp}=\{x\in N^1(X)_{\mathbb{R}}\mid w(x)=0\ (w\in W)\}$ は $0$ でない。$W$ は $N_1(X)$ の有限個の生成元の像で張られ、それらは $N^1(X)$ の基底に関して整数係数の 1 次式なので、$W^{\perp}$ は整数係数の連立 1 次方程式の解空間であり、有理数の解で張られる。よって $0$ でない $x\in N^1(X)\otimes\mathbb{Q}$ が $W^{\perp}$ に入り、分母を払って $x\in N^1(X)$ としてよい。$x$ はすべての曲線と交叉数 $0$ をもつので、$N^1(X)$ の定義により $x=0$ となって矛盾する。よって $\iota$ は同型で、形式は完全である。最後の主張は $N^1(X)_{\mathbb{R}}$ が可逆層の類で張られることによる。$\square$

Noether スキームの連接層は、連接な部分層の列 $0=\mathcal{F}_0\subset\mathcal{F}_1\subset\dots\subset\mathcal{F}_r=\mathcal{F}$ で、各商 $\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i-1}$ が整な閉部分スキーム $Z_i$ の上の $0$ でないイデアル層 $\mathcal{I}_i\subset\mathcal{O}_{Z_i}$ の押し出しと同型になるものをもつ（Stacks Lemma 30.12.3, Tag 01YF）。$Z_i\subset\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ なので $\dim Z_i\le j$ である。交叉数は短完全列について加法的なので $(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{F})=\sum_i(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{I}_i)$ であり、各項が $0$ 以上であることを示せばよい。

$\dim Z_i< j$ なら台の次元が $j$ 未満なので $(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{I}_i)=0$ である。$\dim Z_i=j$ なら、$\mathcal{I}_i$ の $Z_i$ の生成点での茎は関数体 $K(Z_i)$ の $0$ でないイデアル、すなわち $K(Z_i)$ 全体なので、$\mathcal{O}_{Z_i}/\mathcal{I}_i$ の台は $Z_i$ の真の閉部分集合で、次元は $j$ 未満である。完全列 $0\to\mathcal{I}_i\to\mathcal{O}_{Z_i}\to\mathcal{O}_{Z_i}/\mathcal{I}_i\to0$ から $(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{I}_i)=(\mathcal{L}^{j}\cdot Z_i)\ge0$ である。$\square$

$d-j$ についての帰納法で示す。$d=j$ なら $\mathcal{G}=\mathcal{F}$ とすればよい。$d>j$ とする。$\mathcal{F}$ の随伴点は有限個である（交叉数 の定義「随伴点」のあとの注意）。各点 $x\in\mathbb{P}^{M}_k$ について、$x$ で消える 1 次形式の全体は 1 次形式の空間の真の部分空間であり（ある座標 $x_i$ は $x$ で消えない）、無限体 $k$ の上の有限次元ベクトル空間は有限個の真の部分空間の和集合にならない。よって $\mathcal{F}$ のどの随伴点でも消えない 1 次形式 $\ell$ があり、$s:=\ell|_Y\in\Gamma(Y,\mathcal{A})$ は $\mathcal{F}$ のどの随伴点でも消えない。交叉数 の補題「制限の公式」により$$(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{A}^{d-j}\cdot\mathcal{F})=(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{A}^{d-j-1}\cdot\mathcal{F}/s\mathcal{F})$$であり、$\mathcal{F}/s\mathcal{F}$ の台の次元は $d-1$ 以下である。帰納法の仮定を $\mathcal{F}/s\mathcal{F}$ と $d-1$ に当てはめればよい。$\square$

$p_n=P(0)<0$ と仮定して矛盾を導く。$P$ の定数項以外の係数は $0$ 以上で、$t^{n}$ の係数 $p_0$ は正なので、$t>0$ で $P'(t)\ge np_0t^{n-1}>0$ であり、$P(t)\to\infty$（$t\to\infty$）である。よって $P(t_0)=0$ となる $t_0>0$ がただ 1 つあり、$t>t_0$ で $P(t)>0$ である。

段 1：有理数 $t=a/b>t_0$（$a,b$ は正の整数）について、$V$ 上の可逆層 $\mathcal{M}:=\mathcal{M}_{a,b}|_V$ は豊富である。$V$ の整な閉部分スキーム $Y$（$d=\dim Y\ge1$）について $(\mathcal{M}^{d}\cdot Y)>0$ を示せば、$V$ 上の 中井–Moishezonの判定法 から従う。$Y=V$ なら $(\mathcal{M}^{n}\cdot V)=b^{n}P(t)>0$ である。$Y\ne V$ なら $V$ は整なので $d< n$ であり、$$(\mathcal{M}^{d}\cdot Y)=\sum_{j=0}^{d}\binom{d}{j}b^{j}a^{d-j}(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{H}^{d-j}\cdot Y)$$の各項は、$j< d$ では $(*)$ により、$j=d$ では帰納法の仮定により $0$ 以上で、$j=0$ の項 $a^{d}(\mathcal{H}^{d}\cdot Y)$ は正である。

段 2：有理数 $t=a/b>t_0$ について $Q(t)\ge0$ である。段 1 により $\mathcal{M}$ は豊富なので、ある $r\ge1$ で $\mathcal{M}^{\otimes r}$ は $V$ 上で非常に豊富であり（豊富な可逆層 の定理「豊富な可逆層の冪は非常に豊富である」）、閉埋め込み $V\subset\mathbb{P}^{M}_k$ で $\mathcal{O}_V(1)\cong\mathcal{M}^{\otimes r}$ となるものがある。lem-kleiman-hyperplane をこの埋め込み、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_V$、$d=n$、$j=1$ に当てはめると、台の次元が $1$ 以下の $\mathcal{G}$ で $(\mathcal{L}\cdot(\mathcal{M}^{\otimes r})^{n-1}\cdot V)=(\mathcal{L}\cdot\mathcal{G})$ となるものがあり、nef の定義と lem-kleiman-filtration（$j=1$）によりこれは $0$ 以上である。多重線型性から $(\mathcal{L}\cdot(\mathcal{M}^{\otimes r})^{n-1}\cdot V)=r^{n-1}b^{n-1}Q(t)$ なので $Q(t)\ge0$ である。$Q$ は連続で、$t_0$ より大きい有理数は $t_0$ に収束する列をなすので、$Q(t_0)\ge0$ である。

段 3：$R(t_0)=t_0\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}p_jt_0^{\,n-1-j}$ の各項は $0$ 以上で、$j=0$ の項 $t_0^{\,n}p_0$ は正なので、$R(t_0)>0$ である。

以上から $P(t_0)=Q(t_0)+R(t_0)>0$ となり、$P(t_0)=0$ に反する。よって $(\mathcal{L}^{n}\cdot V)=p_n\ge0$ である。$\square$

曲線 $C$ の点 $x$ をとると、$x$ で消えない $\mathcal{M}$ の大域切断があり、その $C$ への制限 $t\in\Gamma(C,\mathcal{M}|_C)$ は $0$ でない。$C$ は整なので $t$ は生成点で $0$ でなく、$t$ 倍写像 $\mathcal{O}_C\to\mathcal{M}|_C$ は単射である。その余核 $\mathcal{T}$ の台は $t$ の零点の集合で、$C$ の真の閉部分集合だから有限集合である。よって $H^i(C,\mathcal{T})=0$（$i\ge1$）で、$(\mathcal{M}\cdot C)=\chi(\mathcal{M}|_C)-\chi(\mathcal{O}_C)=\chi(\mathcal{T})=\dim_kH^0(C,\mathcal{T})\ge0$ である。$\square$

$\dim X\le0$ なら曲線がなく、$N^1(X)=0$ で主張は明らかである。以下 $\dim X\ge1$ とし、prf-kleiman-main の $S$ を使う。1 の右辺の条件をみたす $D$ の全体を $\mathcal{P}$ とする。$\mathcal{P}=\{D\mid\min_{z\in S}(D\cdot z)>0\}$ であり、$|\min_S(D\cdot z)-\min_S(D'\cdot z)|\le\max_S|((D-D')\cdot z)|$ なので $D\mapsto\min_S(D\cdot z)$ は連続で、$\mathcal{P}$ は開集合である。

1：豊富な可逆層の類は thm-kleiman-main により $\mathcal{P}$ に入り、$\mathcal{P}$ は正の結合で閉じているので $\operatorname{Amp}(X)\subset\mathcal{P}$ である。逆に $D\in\mathcal{P}$ とする。$N^1(X)$ の基底 $e_1,\dots,e_{\rho}$ を固定し、座標を使う。$\mathcal{P}$ は開なので、有理数 $\delta>0$ を $D+[-\delta,\delta]^{\rho}\subset\mathcal{P}$ となるようにとる。有理数の座標をもつ点 $q$ で各座標が $D$ と $\delta/2$ 未満しか違わないものをとると、$D$ は立方体 $q+[-\delta/2,\delta/2]^{\rho}$ に入り、この立方体の頂点（有理数の座標をもつ）はすべて $D+[-\delta,\delta]^{\rho}\subset\mathcal{P}$ に入る。立方体の点は頂点の $0$ 以上の係数の凸結合で書ける（座標ごとに区間の両端の凸結合をとり、積をとる）ので、$D$ は $\mathcal{P}$ の有理点 $v_i$ の正の係数の有限和である。各 $v_i$ の正の整数倍 $m_iv_i$ は $N^1(X)$ の元で、ある可逆層 $\mathcal{L}_i$ の類であり、$\mathcal{L}_i$ は $\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ の上で正だから thm-kleiman-main により豊富である。よって $D\in\operatorname{Amp}(X)$ である。

2：1 により $\operatorname{Amp}(X)=\mathcal{P}$ で、これは開である。曲線の類は $\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ に入るので $\mathcal{P}\subset\operatorname{Nef}(X)$、したがって $\mathcal{P}$ は $\operatorname{Nef}(X)$ の内部に含まれる。逆に $D$ が $\operatorname{Nef}(X)$ の内点なら、十分小さい $\varepsilon>0$ で $D-\varepsilon\mathcal{H}$ は nef であり、$z\in\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ について $(D\cdot z)\ge\varepsilon(\mathcal{H}\cdot z)>0$（$\mathcal{H}\in\mathcal{P}$）なので $D\in\mathcal{P}$ である。

3：$\operatorname{Nef}(X)$ は閉半空間 $\{(D\cdot C)\ge0\}$ の共通部分なので閉じており、$\operatorname{Amp}(X)\subset\operatorname{Nef}(X)$ からその閉包も $\operatorname{Nef}(X)$ に入る。逆に $D$ が nef なら、$\varepsilon>0$ について $D+\varepsilon\mathcal{H}$ は $\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ の上で正だから $\operatorname{Amp}(X)$ に入り、$\varepsilon\to0$ で $D$ に収束する。$\square$