Bernstein–佐藤多項式
概要
Bernstein–佐藤多項式（Bernstein–Sato polynomial）とは、標数 $0$ の体の上の多項式 $f$ について、$s$ を不定元とする関数方程式 $P(s)f^{s+1}=b(s)f^s$ を満たす多項式 $b(s)$ 全体のイデアルのモニックな生成元であり、$b$ 関数とも呼ばれる。ここで $P(s)$ は係数が $s$ の多項式である微分作用素である。$0$ でない $b(s)$ がつねに存在することは Bernstein の定理で、Weyl 代数の加群の次元の評価から示される。$f$ が定数でなければ $s+1$ で割り切れ、単項式 $x^a$ では $\prod_{i=1}^a(s+i/a)$ であり、複素数体上では局所的な $b$ 関数の根が負の有理数で、孤立特異点の Milnor ファイブレーションのモノドロミーの固有値と結びつく。
Bernstein–佐藤多項式（Bernstein–Sato polynomial）は、多項式 $f$ の「$s$ 乗」$f^s$ が満たす関数方程式
$$
P(s)\,f^{s+1}=b(s)\,f^s
$$
に現れる $1$ 変数多項式 $b(s)$ 全体のなすイデアルの、モニックな生成元である。ここで $P(s)$ は係数が $s$ の多項式であるような微分作用素である。佐藤幹夫（Mikio Sato）が概均質ベクトル空間の研究の中で $b$ 関数として導入し、I. N. Bernstein（1972 年）が独立に導入して任意の多項式に対して $0$ でない $b(s)$ が存在することを示した（Kas76 p. 33）。$b$ 関数の根は特異点の不変量で、Milnor ファイブレーションのモノドロミーの固有値とも結びつく。この記事では存在定理を Weyl 代数の加群の次元の評価から証明し、単項式の $b$ 関数を決定する。
| 問い | 答え |
|---|---|
| $f^s$ とは何か | $f^{-1}$ を許した多項式に記号 $f^s$ を掛けた加群の元（def-bs-module） |
| 0 でない $b$ はあるか | 標数 $0$ ならつねにある（thm-bs-existence） |
| 必ず現れる因子は | $f$ が定数でなければ $s+1$（prop-bs-s-plus-1） |
| 単項式では | $x^a$ なら $\prod_{i=1}^a(s+i/a)$（thm-bs-monomial） |
定義
$k$ を標数 $0$ の体、$k[x]=k[x_1,\dots,x_n]$ とし、$A_n(k)$ を $n$ 変数の Weyl代数 とする。$A_n(k)$ は $x_i$ と $\partial_i$ で生成され、$[\partial_i,x_j]=\delta_{ij}$ などの関係式を満たす。$s$ を不定元とし、$A_n(k)[s]:=A_n(k)\otimes_kk[s]$ を、$s$ が中心にある環とする。$0$ でない $f\in k[x]$ をとり、$\partial_if:=\partial f/\partial x_i$、$k[x]_f:=k[x][f^{-1}]$ と書く。
$\mathcal{N}_f$ を、記号 $f^s$ を基底とする階数 $1$ の自由 $k[s]\otimes_kk[x]_f$ 加群とする。その元 $g\,f^s$（$g\in k[s]\otimes_kk[x]_f$）に対し、$x_i$ と $s$ は掛け算で、$\partial_i$ は
$$
\partial_i\cdot(g\,f^s):=\Bigl(\partial_ig+s\,g\,\frac{\partial_if}{f}\Bigr)f^s
$$
で作用させる。$j\in\mathbb{Z}$ に対し $f^{s+j}:=f^j\,f^s$ と書く。
$\partial_i$ の作用を $D_i$ と書くと、$[D_i,x_j]=\delta_{ij}$ であり、$\partial_i(\partial_jf/f)=\partial_j(\partial_if/f)$ から $[D_i,D_j]=0$ である。よって Weyl 代数の普遍性（Weyl代数 の定義の後の段落）により、$\mathcal{N}_f$ は左 $A_n(k)[s]$ 加群になる。$k=\mathbb{C}$ で $f\ne0$ の点の近くに $\log f$ の枝をとれば、$f^s=e^{s\log f}$ は本当の関数で、上の式はその偏微分である。
$$
I_f:=\{\,b\in k[s]:\ P\,f^{s+1}=b(s)\,f^s\ \text{となる}\ P\in A_n(k)[s]\ \text{がある}\,\}
$$
は $k[s]$ のイデアルである（和については $P$ どうしを足せばよく、$s$ は中心にあるので、$b$ を $c(s)b$ に替えるには $P$ を $c(s)P$ に替えればよい）。$I_f\ne0$ のとき、そのモニックな生成元 $b_f(s)$ を $f$ の Bernstein–佐藤多項式、または $b$ 関数という。等式 $P\,f^{s+1}=b(s)\,f^s$ を 関数方程式という。
整数 $\lambda$ を $s$ に代入する写像 $\mathrm{ev}_\lambda\colon\mathcal{N}_f\to k[x]_f$、$g(s,x)\,f^s\mapsto g(\lambda,x)\,f^\lambda$ は、$x_i$ と $\partial_i$ の作用と可換である。実際 $\partial_i(g\,f^s)$ の像は $(\partial_ig(\lambda)+\lambda\,g(\lambda)\partial_if/f)f^\lambda=\partial_i(g(\lambda)f^\lambda)$ である。また $\mathrm{ev}_\lambda(s\,u)=\lambda\,\mathrm{ev}_\lambda(u)$ なので、関数方程式から $P(\lambda)\,f^{\lambda+1}=b(\lambda)\,f^\lambda$（$k[x]_f$ の中の等式）が従う。
$f$ が定数でなく、$b\in I_f$ ならば、$b(-1)=0$ である。とくに $s+1$ は $b_f$ を割る。
$P\,f^{s+1}=b\,f^s$ に $\mathrm{ev}_{-1}$ を施すと $P(-1)\cdot1=b(-1)\,f^{-1}$ である。左辺は多項式 $1$ に多項式係数の微分作用素を施したものなので $k[x]$ に属する。$f$ は定数でないので $f^{-1}\notin k[x]$ であり（$f^{-1}=h\in k[x]$ なら $fh=1$ の次数を比べて $f$ は定数）、$b(-1)=0$ でなければならない。$\square$
存在定理
$k$ を標数 $0$ の体、$f\in k[x_1,\dots,x_n]$ を $0$ でない多項式とする。このとき $I_f\ne0$、すなわち $0$ でない $b\in k[s]$ と $P\in A_n(k)[s]$ で $P\,f^{s+1}=b(s)\,f^s$ となるものが存在する。
$s$ を係数の体の元として扱えるように、有理関数体 $K:=k(s)$ の上の Weyl 代数 $A_n(K)$ と、その加群 $\mathcal{M}_f:=(K\otimes_kk[x]_f)\,f^s$（作用は def-bs-module と同じ式）を考える。$\mathcal{N}_f\subset\mathcal{M}_f$ である。鍵は、$\mathcal{M}_f$ の部分加群の鎖の長さが一様に抑えられることである（lem-bs-length）。すると減少列 $A_n(K)f^{s}\supset A_n(K)f^{s+1}\supset\cdots$ が止まり、そこから関数方程式が得られる。鎖の長さの評価は、Weyl 代数の加群は「小さすぎる」ことができないという次元の不等式（lem-bs-joseph）による。$f$ が定数 $c\ne0$ なら $c^{-1}f^{s+1}=f^s$ なので $b_f=1$ であり、以下 $f$ は定数でないとする。
$A:=A_n(K)$ とし、$i\ge0$ に対し $\mathcal{B}_i\subset A$ を $\lvert\alpha\rvert+\lvert\beta\rvert\le i$ の $x^\alpha\partial^\beta$ が張る $K$ 部分空間とする（Bernstein のフィルトレーション）。Weyl代数 の定理「Weyl 代数の基底」により $\dim_K\mathcal{B}_i=\binom{i+2n}{2n}\ge i^{2n}/(2n)!$ であり、$\mathcal{B}_i\mathcal{B}_j\subset\mathcal{B}_{i+j}$ である。$A$ 加群 $M$ の有限次元部分空間の増大列 $(\Gamma_j)_{j\ge0}$ で $\mathcal{B}_i\Gamma_j\subset\Gamma_{i+j}$ を満たすものを $M$ の 両立するフィルトレーションと呼ぶ。
$(\Gamma_j)$ を $A$ 加群 $M$ の両立するフィルトレーションで $\Gamma_0\ne0$ のものとする。$a\in\mathcal{B}_i$ が $a\Gamma_i=0$ を満たせば $a=0$ である。したがって $a\mapsto(v\mapsto av)$ は単射 $\mathcal{B}_i\to\operatorname{Hom}_K(\Gamma_i,\Gamma_{2i})$ を与え、
$$
\binom{i+2n}{2n}\le\dim\Gamma_i\cdot\dim\Gamma_{2i}
$$
である。
$i$ についての帰納法で示す。$i=0$ なら $a\in K$ で、$\Gamma_0\ne0$ から $a=0$ である。$i\ge1$ とし、$a\in\mathcal{B}_i$、$a\ne0$、$a\Gamma_i=0$ と仮定する。$\Gamma_0\subset\Gamma_i$ なので $a\notin K$ である。$a=\sum c_{\alpha\beta}x^\alpha\partial^\beta$ のある項で $\alpha_l>0$ なら、$c:=[\partial_l,a]=\sum c_{\alpha\beta}\alpha_l\,x^{\alpha-e_l}\partial^\beta$（Weyl代数 の交換子の公式）は、標数 $0$ と基底の一次独立性から $0$ でなく、$\mathcal{B}_{i-1}$ に属する。$\Gamma_{i-1}\subset\Gamma_i$、$\partial_l\Gamma_{i-1}\subset\Gamma_i$ なので
$$
c\,\Gamma_{i-1}\subset\partial_l\,a\,\Gamma_{i-1}+a\,\partial_l\Gamma_{i-1}\subset\partial_l(a\Gamma_i)+a\Gamma_i=0
$$
となり、帰納法の仮定に反する。すべての項で $\alpha=0$ なら、ある項で $\beta_l>0$ で、$c:=[a,x_l]=\sum c_{0\beta}\beta_l\,\partial^{\beta-e_l}$ について同じ議論ができる。単射から次元の不等式が従う。$\square$
$A$ 加群 $M$ が両立するフィルトレーション $(\Gamma_j)$ で $M=\bigcup_j\Gamma_j$、かつある定数 $C$ について $\dim\Gamma_j\le C(j+1)^n$（$j\ge0$）を満たすものをもつとする。このとき部分加群の狭義増大列 $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_r$ の長さは $r\le(2n)!\,2^nC^2$ を満たす。とくに $M$ の部分加群の狭義減少列は有限で止まる。
要点：各段から元 $v_l$ を選ぶと、$v_l$ の生成する部分商は lem-bs-joseph により次元が $i^n$ の程度で増え、それらの和が $\dim\Gamma$ の $C(i+1)^n$ の程度で抑えられるので、段の数 $r$ は有界である。
詳しい証明を開く
$v_l\in M_l\setminus M_{l-1}$（$1\le l\le r$）を選び、すべての $v_l$ を含む $\Gamma_{j_0}$ をとる。$\pi_l\colon M_l\to M_l/M_{l-1}$ とし、$\bar v_l:=\pi_l(v_l)\ne0$、$a_l(i):=\dim\mathcal{B}_i\bar v_l$ とおく。$W_i:=\mathcal{B}_iv_1+\cdots+\mathcal{B}_iv_r\subset\Gamma_{i+j_0}$ には $W_i\cap M_0\subset W_i\cap M_1\subset\cdots\subset W_i\cap M_r=W_i$ があり、各段の商 $(W_i\cap M_l)/(W_i\cap M_{l-1})$ は $\pi_l$ により $M_l/M_{l-1}$ に埋め込まれ、その像は $\mathcal{B}_i\bar v_l$ を含む（$\mathcal{B}_iv_l\subset W_i\cap M_l$）。よって
$$\sum_{l=1}^ra_l(i)\le\dim W_i\le C(i+j_0+1)^n$$
である。一方 $(\mathcal{B}_j\bar v_l)_{j\ge0}$ は巡回加群 $A\bar v_l$ の両立するフィルトレーションで $\mathcal{B}_0\bar v_l=K\bar v_l\ne0$ なので、lem-bs-joseph により $a_l(i)\,a_l(2i)\ge i^{2n}/(2n)!$ である。上の和の評価を $2i$ に使えば $a_l(2i)\le C(2i+j_0+1)^n$ なので、$a_l(i)\ge i^{2n}/\bigl((2n)!\,C(2i+j_0+1)^n\bigr)$ であり、$l$ について足して
$$r\le(2n)!\,C^2\,\frac{(2i+j_0+1)^n(i+j_0+1)^n}{i^{2n}}\qquad(i\ge1)$$
を得る。$i\to\infty$ とすると右辺は $(2n)!\,2^nC^2$ に近づく。狭義減少列 $N_0\supsetneq N_1\supsetneq\cdots\supsetneq N_r$ は逆に並べれば狭義増大列なので、その長さも同じ数で抑えられる。$\square$
$m:=\deg f\ge1$ とし、$\Gamma_j:=\{g\,f^{-j}f^s:\ g\in K[x],\ \deg g\le(m+1)j\}\subset\mathcal{M}_f$ とおく。$(\Gamma_j)$ は $\mathcal{M}_f$ の両立するフィルトレーションで、$\mathcal{M}_f=\bigcup_j\Gamma_j$、$\dim_K\Gamma_j=\binom{(m+1)j+n}{n}\le\frac{(m+n+1)^n}{n!}(j+1)^n$ である。
$g\,f^{-j}=(gf)f^{-(j+1)}$ で $\deg(gf)\le(m+1)(j+1)$ なので $\Gamma_j\subset\Gamma_{j+1}$ である。$x_i\Gamma_j\subset\Gamma_{j+1}$ も同じ計算で、
$$
\partial_i\bigl(g\,f^{-j}f^s\bigr)=\bigl(f\,\partial_ig+(s-j)\,g\,\partial_if\bigr)f^{-(j+1)}f^s
$$
の括弧の次数は $(m+1)j+m-1$ 以下なので $\partial_i\Gamma_j\subset\Gamma_{j+1}$ である。$\mathcal{B}_i$ は $i$ 個以下の生成元の積で張られるので、$\mathcal{B}_i\Gamma_j\subset\Gamma_{i+j}$ が従う。$\mathcal{M}_f$ の元 $g\,f^{-l}f^s$ は $(gf^{j-l})f^{-j}f^s$ と書け、$j$ が大きければ $\deg(gf^{j-l})\le(m+1)j$ なので、$\mathcal{M}_f=\bigcup_j\Gamma_j$ である。$g\mapsto g\,f^{-j}f^s$ は単射なので $\dim\Gamma_j$ は次数 $(m+1)j$ 以下の $n$ 変数多項式の空間の次元 $\binom{(m+1)j+n}{n}$ に等しく、これは $((m+1)j+n)^n/n!\le(m+n+1)^n(j+1)^n/n!$ 以下である。$\square$
lem-bs-filtration と lem-bs-length により、$\mathcal{M}_f$ の部分加群の減少列
$$
Af^{s}\supset Af^{s+1}\supset Af^{s+2}\supset\cdots
$$
（$f^{s+j+1}=f\cdot f^{s+j}$ と $f\in A$ による）は止まる。よって $Af^{s+j}=Af^{s+j+1}$ となる $j\ge0$ があり、$f^{s+j}=Q\,f^{s+j+1}$ となる $Q\in A$ がある。
$K$ の自己同型 $\tau\colon s\mapsto s-j$（$k$ の元は動かさない）を係数に施す写像を $T\colon\mathcal{M}_f\to\mathcal{M}_f$、$T(g(s,x)\,f^s):=g(s-j,x)\,f^{-j}f^s$ とする。$T$ は $x_i$ と可換で、$c\in K$ について $T(cu)=\tau(c)T(u)$ を満たし、さらに $\partial_i$ とも可換である：
$$
T\bigl(\partial_i(g\,f^s)\bigr)=\Bigl(\partial_ig^\tau+(s-j)\,g^\tau\frac{\partial_if}{f}\Bigr)f^{-j}f^s=\partial_i\bigl(g^\tau f^{-j}f^s\bigr)
$$
（$g^\tau(s,x):=g(s-j,x)$）。よって $Q$ の係数に $\tau$ を施した作用素を $Q^\tau$ とすると、$T(Qu)=Q^\tau T(u)$ である。$T(f^{s+j})=f^s$、$T(f^{s+j+1})=f^{s+1}$ なので、$f^s=Q^\tau f^{s+1}$ を得る。$Q^\tau=\sum q_{\alpha\beta}(s)x^\alpha\partial^\beta$（$q_{\alpha\beta}\in k(s)$）の係数の分母の積を $b(s)\ne0$ とすれば、$P:=b\,Q^\tau\in A_n(k)[s]$ で $P\,f^{s+1}=b(s)\,f^s$ が $\mathcal{M}_f$ の中で、したがって $\mathcal{N}_f$ の中で成り立つ。$\square$
lem-bs-length は、$\mathcal{M}_f$ が $A_n(K)$ 加群として有限の長さをもつことを示している。これは D加群 の例「関数の局所化」で述べられている局所化 $\mathcal{O}_X[f^{-1}]$ のホロノミック性と同じ種類の有限性である。
単項式の $b$ 関数
$a=(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{N}^n$、$a\ne0$ とし、$f=x^a=x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}$ とする。このとき
$$
b_f(s)=\prod_{j:\ a_j>0}\ \prod_{i=1}^{a_j}\Bigl(s+\frac i{a_j}\Bigr)
$$
である。とくに $n=1$、$f=x^a$ なら $b_f(s)=(s+1)(s+\tfrac{a-1}a)\cdots(s+\tfrac1a)$、$f=x_1x_2\cdots x_n$ なら $b_f(s)=(s+1)^n$ である。
$\gamma_a(s):=\prod_{j}\prod_{i=1}^{a_j}(a_js+i)$ とおく（積は $a_j>0$ の $j$ について）。$\mathcal{N}_f$ は $k[s]$ 上 $x^\mu f^s$（$\mu\in\mathbb{Z}^n$、$a_j=0$ の $j$ では $\mu_j\ge0$）を基底にもち、
$$
\partial_j\cdot x^\mu f^s=(\mu_j+a_js)\,x^{\mu-e_j}f^s
$$
である。
$b_f$ が $\gamma_a$ を割ること：$\partial^a=\partial_1^{a_1}\cdots\partial_n^{a_n}$ を $f^{s+1}=x^af^s$ に施すと、$x_j$ の指数が $a_j$ から $1$ まで下がるたびに係数 $\mu_j+a_js$（$\mu_j=a_j,\dots,1$）が出るので、$\partial^af^{s+1}=\gamma_a(s)f^s$ である。よって $\gamma_a\in I_f$ である。
$\gamma_a$ が $I_f$ の元をすべて割ること：$P\,f^{s+1}=b(s)f^s$ とする。$\nu\in\mathbb{Z}^n$ に対し、$\alpha-\beta=\nu$ となる単項式 $x^\alpha\partial^{\beta}$ の $k[s]$ 線形結合を重み $\nu$ の作用素と呼ぶ。Weyl代数 の基底の定理により $P$ は重みごとの成分の有限和 $P=\sum_\nu P_\nu$ に一意に分かれ、上の式から $P_\nu$ は $x^\mu f^s$ を $k[s]\,x^{\mu+\nu}f^s$ に写す。$P\,x^af^s=b(s)\,x^0f^s$ の $x^0f^s$ の成分を比べると $P_{-a}\,x^af^s=b(s)f^s$ である。重み $-a$ の単項式は $x^\alpha\partial^{\alpha+a}=\bigl(\prod_jx_j^{\alpha_j}\partial_j^{\alpha_j}\bigr)\partial^a$ の形で、$x_j^{h}\partial_j^{h}$ は $x^\mu f^s$ に $\prod_{l=0}^{h-1}(\mu_j+a_js-l)$ を掛ける。よって $P_{-a}=\sum_\alpha c_\alpha(s)x^\alpha\partial^{\alpha+a}$ と書くと
$$
b(s)f^s=\sum_\alpha c_\alpha(s)\prod_j\prod_{l=0}^{\alpha_j-1}(a_js-l)\cdot\gamma_a(s)f^s
$$
であり、$\gamma_a$ は $b$ を割る。したがって $I_f=\gamma_a\,k[s]$ で、$b_f$ は $\gamma_a$ をモニックにしたもの、すなわち主張の積である。$\square$
$f=x_1^2+\cdots+x_n^2$ とし、$\Delta:=\partial_1^2+\cdots+\partial_n^2$ とする。$\partial_if^{s+1}=2(s+1)x_if^s$、$\partial_i\bigl(x_if^s\bigr)=(1+2s\,x_i^2/f)f^s$ なので
$$
\Delta f^{s+1}=2(s+1)(n+2s)f^s=4(s+1)\Bigl(s+\frac n2\Bigr)f^s
$$
である。よって $b_f$ は $(s+1)(s+n/2)$ を割り、prop-bs-s-plus-1 により $s+1$ で割り切れる。$n=1$ では thm-bs-monomial により $b_f=(s+1)(s+1/2)$ で、両方の因子が現れる。
Milnor ファイブレーションとの関係
$k=\mathbb{C}$ とする。$b$ 関数は正則関数の芽に対しても同じ式で定義でき（係数が正則関数の微分作用素を使う）、その根について次が知られている。
- 正則関数の（局所的な）$b$ 関数の根はすべて負の有理数である（柏原正樹（Masaki Kashiwara）、Kas76 Corollary (5.2)、p. 48）。
- $f$ が原点で孤立した臨界点をもつとき、原点での局所的なモノドロミー（Milnorファイブレーション のモノドロミー）の固有値は、$b$ 関数の根 $\alpha$ による $\exp(2\pi i\alpha)$ の形の数である（Malgrange。Kas76 p. 33 に述べられている）。
この記事では thm-bs-roots を証明しない。1 の証明は、特異点の解消で $f$ を thm-bs-monomial の単項式の形に直し、$b$ 関数の変化を評価するものである（Kas76 Theorem (5.1)）。単項式 $x^a$（$n=1$）では根 $-i/a$（$1\le i\le a$）は負の有理数で、$\exp(-2\pi i\cdot i/a)$ の全体は $1$ の $a$ 乗根の全体である。これは $x^a$ の Milnor ファイバー（$1$ の $a$ 乗根の $a$ 点）のモノドロミーが $a$ 点の巡回置換で、その $H_0$ への作用の固有値が $1$ の $a$ 乗根の全体であることと合う（Milnorファイブレーション の例「1 変数の $z^a$ と、正規交叉 $z_0z_1\cdots z_n$」）。平方和（$n\ge2$ 変数）でも、根の候補 $-n/2$ について $\exp(2\pi i\cdot(-n/2))=(-1)^n$ は、Milnorファイブレーション の命題「2 次形式 $z_0^2+\cdots+z_n^2$ の Milnor ファイバー」で変数の数を $n$ にしたときの $H_{n-1}$ へのモノドロミー $(-1)^n$ と一致する。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 体の標数が $0$ | $k=\mathbb{F}_p$、$n=1$、$f=x^p$ | $I_f\ne0$（thm-bs-existence） |
| $f$ が定数でない | $f=1$ | $s+1$ が $b_f$ を割る（prop-bs-s-plus-1。$b_f=1$） |
- 標数 $p$ でも def-bs-module の式で $\mathcal{N}_f$ は $A_1(\mathbb{F}_p)[s]$ 加群になる。$f=x^p$ では $\partial_xf=px^{p-1}=0$ なので $\partial\cdot(g\,f^s)=(\partial g)f^s$ であり、$g\,f^s\mapsto g$ によって $\mathcal{N}_f$ は通常の微分が作用する $\mathbb{F}_p[s][x,x^{-1}]$ と同一視される。$f^{s+1}$ は $x^p$ に対応し、$\partial(x^p)=0$ なので、$P=\sum_{i,j}c_{ij}(s)x^i\partial^j$ について $P\,x^p=\sum_ic_{i0}(s)x^{i+p}$ は $x^p$ で割り切れる。これが $b(s)\cdot1$ に等しいのは $b=0$ のときに限るので、$I_f=0$ である。
- $f=1$ なら $f^{s+1}=f^s$ なので $1\cdot f^{s+1}=1\cdot f^s$ で、$b_f=1$ は $s+1$ で割り切れない。
関連項目
参考文献
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