Lefschetz双対定理

1．$h_\lambda(c(x,s)):=c(x,(1-\lambda)s)$（$0\le\lambda\le1$）は $C_t$ を $\partial M$ に変位レトラクトするので $H_*(C_t,\partial M)=0$、$H^*(C_t,\partial M)=0$ であり、三つ組 $(M,C_t,\partial M)$ の長完全列から従う。
2．$\partial M$ は閉集合で開集合 $C_t$ に含まれるので、切除定理 により $\partial M$ を切除できる。$(M\setminus\partial M,C_t\setminus\partial M)=(\operatorname{Int}M,\operatorname{Int}M\setminus K_t)$ である。
3．$P:=c(\partial M\times[0,1/2])$ はコンパクトなので閉集合で、$L\cap P$ はコンパクトである。$c^{-1}(L\cap P)$ は $\partial M\times(0,1/2]$ のコンパクト集合なので、第 2 成分は正の最小値 $s_0$ をもつ。$t:=s_0/2$（$L\cap P=\emptyset$ なら $t:=1/2$）とすると $L\cap C_t=\emptyset$、すなわち $L\subset K_t$ である。
4．$\phi(s):=s$（$s\ge1/2$）、$\phi(s):=1/4+s/2$（$s\le1/2$）とし、$r(c(x,s)):=c(x,\phi(s))$、$P$ の外では $r:=\mathrm{id}$ とおく。$r$ は閉集合 $P$ と $M\setminus c(\partial M\times[0,1/2))$ の上で連続で、共通部分で一致するので連続であり、像は $\operatorname{Int}M$ に入る。$c(x,(1-\lambda)s+\lambda\phi(s))$ による直線ホモトピーは、$M$ の上で $\mathrm{id}_M$ と $\iota\circ r$ を、$\operatorname{Int}M$ の上で（$s>0$ なら途中も $s$ 成分が正なので）$\mathrm{id}$ と $r\circ\iota$ を結ぶ（$\iota$ は包含）。$\square$

lem-lfd-collar の 1・2 の同型の合成 $\Theta_t\colon H_n(\operatorname{Int}M\mid K_t)\cong H_n(M,\partial M)$ をとり、$[M]_t:=\Theta_t(\mu_{K_t})$ とおく（基本類 の補題「局所ホモロジーの基本補題」の 1 を $\operatorname{Int}M$ とコンパクト集合 $K_t$ に適用する）。$t'< t$ なら $K_t\subset K_{t'}$ で、$\mu_{K_{t'}}$ の $H_n(\operatorname{Int}M\mid K_t)$ への制限は一意性により $\mu_{K_t}$ であり、制限と $\Theta$ は可換なので $[M]_{t'}=[M]_t$ である。これを $[M]$ とおく。$x\in\operatorname{Int}M$ について $x\in K_t$ となる $t$ をとると、$H_n(M,\partial M)\to H_n(M\mid x)$ は $H_n(M,C_t)\cong H_n(\operatorname{Int}M\mid K_t)\to H_n(\operatorname{Int}M\mid x)\cong H_n(M\mid x)$ と分解するので、$[M]$ の像は $\mu_{K_t}$ の制限 $\mu_x$ である。一意性：同じ性質をもつ類の $H_n(\operatorname{Int}M\mid K_t)$ への像は $K_t$ の各点で $\mu_x$ に制限されるので、基本補題の一意性により $\mu_{K_t}$ に等しく、$\Theta_t$ は同型である。$\square$

$D_M$ が同型であることを示す。係数 $R$ を省く。Poincaré双対 の定理「コンパクトでない多様体の双対」により、境界のない $R$ 向き付けられた多様体 $\operatorname{Int}M$ について、コンパクト台コホモロジーからのキャップ積
$$ D_{\operatorname{Int}M}\colon H^k_c(\operatorname{Int}M)=\varinjlim_LH^k(\operatorname{Int}M\mid L)\to H_{n-k}(\operatorname{Int}M),\qquad \alpha\mapsto\mu_L\frown\alpha\quad(\alpha\in H^k(\operatorname{Int}M\mid L)) $$
は同型である（$L$ はコンパクト集合を動く）。lem-lfd-collar の 3 と コンパクト台コホモロジー の命題「帰納極限による表示」により、極限は $L=K_t$ の族で計算できる。$0< t<1$ を固定し、次の図式を考える。$a$、$b$ は lem-lfd-collar の 1・2 の同型、$e$ は極限への標準的な写像、$\iota_*$ は包含 $\iota\colon\operatorname{Int}M\hookrightarrow M$ が誘導する写像である。
$$ \xymatrix{ H^k(M,\partial M) \ar[d]_{D_M} & H^k(M,C_t) \ar[l]_-{a} \ar[r]^-{b} & H^k(\operatorname{Int}M\mid K_t) \ar[r]^-{e} & H^k_c(\operatorname{Int}M) \ar[d]^{D_{\operatorname{Int}M}} \\ H_{n-k}(M) & & & H_{n-k}(\operatorname{Int}M) \ar[lll]^-{\iota_*} } $$
この図式が可換であること、すなわち $D_M\circ a=\iota_*\circ D_{\operatorname{Int}M}\circ e\circ b$ を示す。$\varphi\in H^k(M,C_t)$ とする。prop-lfd-fundamental-class により、$[M]$ の $H_n(M,C_t)$ への像 $[M]_C$ は、$\mu_{K_t}\in H_n(\operatorname{Int}M\mid K_t)$ の包含による像である。キャップ積の自然性（キャップ積 の命題「キャップ積の基本性質」の 1。相対版も同じ式で成り立つ）を、対の写像 $(M,\partial M)\to(M,C_t)$ と $(\operatorname{Int}M,\operatorname{Int}M\setminus K_t)\to(M,C_t)$ に使うと
$$ [M]\frown a(\varphi)=[M]_C\frown\varphi=\iota_*\bigl(\mu_{K_t}\frown b(\varphi)\bigr) $$
である（どちらの写像も $H_{n-k}$ の側では $M$ の恒等写像と $\iota$ を誘導する）。右辺の括弧の中は、定義により $D_{\operatorname{Int}M}(e(b(\varphi)))$ である。
次に $e$ が同型であることを示す。$t'< t$ について、帰納系の写像 $H^k(\operatorname{Int}M\mid K_t)\to H^k(\operatorname{Int}M\mid K_{t'})$ は、$b$ を通して $H^k(M,C_t)\to H^k(M,C_{t'})$ に対応し、これは $a_{t'}\circ(\cdot)=a_t$ をみたす（どちらも包含が誘導する）。$a_t$、$a_{t'}$ は同型なので、帰納系の写像はすべて同型であり、極限への写像 $e$ も同型である。以上で $a$、$b$、$e$、$D_{\operatorname{Int}M}$、$\iota_*$（lem-lfd-collar の 4）がすべて同型なので、$D_M$ は同型である。$\square$

$D'_M$ が同型であることを示す。$[\partial M]:=\partial[M]$ とし、$D_{\partial M}:=[\partial M]\frown(\cdot)$ を閉多様体 $\partial M$ の Poincaré 双対写像とする（lem-lfd-boundary と Poincaré双対 の定理「閉多様体の Poincaré 双対」により同型）。$j\colon\partial M\hookrightarrow M$ を包含とし、対 $(M,\partial M)$ のコホモロジーとホモロジーの長完全列を縦の写像で結ぶ。
$$ \xymatrix{ H^{k-1}(\partial M) \ar[r]^-{\delta} \ar[d]_{D_{\partial M}} & H^k(M,\partial M) \ar[r] \ar[d]_{D_M} & H^k(M) \ar[r]^-{j^*} \ar[d]_{D'_M} & H^k(\partial M) \ar[r]^-{\delta} \ar[d]_{D_{\partial M}} & H^{k+1}(M,\partial M) \ar[d]_{D_M} \\ H_{n-k}(\partial M) \ar[r]^-{j_*} & H_{n-k}(M) \ar[r] & H_{n-k}(M,\partial M) \ar[r]^-{\partial} & H_{n-k-1}(\partial M) \ar[r]^-{j_*} & H_{n-k-1}(M) } $$
各四角形は符号を除いて可換である：

• 左：$[M]\frown\delta\psi=j_*([\partial M]\frown\psi)$（$\psi\in H^{k-1}(\partial M)$）。
• 中：$[M]\frown(\text{像})$ は鎖の段階で同じ鎖なので可換。
• 右から 2 番目：$\partial([M]\frown\beta)=(-1)^k[\partial M]\frown j^*\beta$（$\beta\in H^k(M)$）。
• 右：左と同じ式で次数を 1 つ上げたもの。
  鎖の段階での確認を開く

  $[M]$ を相対輪体 $z\in C_n(M)$（$\partial z\in C_{n-1}(\partial M)$）で代表すると、$\partial z$ は $[\partial M]$ を代表する。キャップ積の境界公式 $\partial(c\frown\varphi)=(-1)^k(\partial c\frown\varphi-c\frown\delta\varphi)$（$\varphi\in C^k$。キャップ積 の補題「境界公式」）を使う。右から 2 番目：$\beta$ を余輪体 $\varphi$ で代表すると $\delta\varphi=0$ なので $\partial(z\frown\varphi)=(-1)^k\partial z\frown\varphi$ であり、$\partial z$ は $\partial M$ の鎖なので $\partial z\frown\varphi=\partial z\frown j^\sharp\varphi$ である。左：$\psi$ を $\partial M$ の余輪体で代表し、$M$ の余鎖 $\bar\psi$ に延ばす（特異単体を基底とする自由加群なので延ばせる）。$\delta\bar\psi$ は $\partial M$ の鎖の上で $0$ なので $\delta\psi$ を代表する相対余輪体である。境界公式（次数 $k-1$）から $z\frown\delta\bar\psi=\partial z\frown\bar\psi-(-1)^{k-1}\partial(z\frown\bar\psi)$ であり、$z\frown\bar\psi$ は $M$ の鎖なので、$z\frown\delta\bar\psi$ は $M$ で $\partial z\frown\bar\psi=j_\sharp(\partial z\frown\psi)$ とホモロガスである。中央は $z\frown\varphi$ という同じ鎖を $C_*(M)$ と $C_*(M)/C_*(\partial M)$ で見たものである。

  符号 $(-1)^k$ は、右から 2 番目の列の $D_{\partial M}$ と右端の列の $D_M$ をともに $(-1)^k$ 倍に替えれば消え（4 つの四角形がすべて可換になる）、同型であることは変わらない。上下の行は完全で、$D'_M$ の両側の 4 つの縦の写像は同型（$D_{\partial M}$ は Poincaré 双対、$D_M$ は前半）なので、五項補題により $D'_M$ は同型である。$\square$

すべての多様体は $\mathbb{Z}/2$ 向き付け可能なので（向き付け二重被覆 の定理「$M_R$ の分解と $R$ 向き付け可能性」の 3）、$\operatorname{Int}M$ は $F=\mathbb{Z}/2$ 向き付けをもち、thm-lfd-main が $R=F$ で使える。体係数では普遍係数定理により $H^k(X,A;F)\cong\operatorname{Hom}_F(H_k(X,A;F),F)$ なので、$\dim H_k(M,\partial M;F)=\dim H^k(M,\partial M;F)=\dim H_{n-k}(M;F)$ である。また $D_M$ により $H_i(M;F)\cong H^{n-i}(M,\partial M;F)=0$（$i>n$）、$D'_M$ により $H_i(M,\partial M;F)=0$（$i>n$）であり、閉多様体 $\partial M$ では $H_i(\partial M;F)=0$（$i>n-1$。基本類 の定理「基本類の存在と一意性」の 3）なので、交代和はすべて有限和である。よって
$$ \chi(M,\partial M)=\sum_k(-1)^k\dim H_{n-k}(M;F)=(-1)^n\chi(M) $$
である。対 $(M,\partial M)$ の長完全列は有限次元のベクトル空間の有限の完全列なので、次元の交代和は $0$ であり、$\chi(M)=\chi(\partial M)+\chi(M,\partial M)$ となる。2 式から主張が従う。最後の主張は、$N=\partial M$ なら $\dim M=\dim N+1$ が奇数なので $\chi(N)=2\chi(M)$ が偶数になることによる。$\square$

係数 $F$ を省き、$n=2m+1$ とする。prf-lfd-main-second の図式の右から 2 番目の四角形（$k=m$、$n-k-1=m$）から $\partial\circ D'_M=\pm D_{\partial M}\circ j^*$ であり、$D'_M$ と $D_{\partial M}$ は同型なので、$D_{\partial M}$ は $j^*\colon H^m(M)\to H^m(\partial M)$ の像を $\partial\colon H_{m+1}(M,\partial M)\to H_m(\partial M)$ の像の上へ同型に写す。長完全列の完全性から $\operatorname{im}\partial=\ker j_*$ なので $\dim\ker j_*=\operatorname{rank}j^*$ である。体係数では $H^m(X)=\operatorname{Hom}_F(H_m(X),F)$ であり、$j^*$ は $j_*$ の双対写像なので、有限次元の線形代数により $\operatorname{rank}j^*=\operatorname{rank}j_*$ である。よって $\dim H_m(\partial M)=\dim\ker j_*+\operatorname{rank}j_*=2\dim\ker j_*$ である。$\square$