Cremona変換

$(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$、$(u_1,u_2,u_3)=(u,v,w)$ と書くと、$X$ の式は $x_1u_1=x_2u_2=x_3u_3$ であり、添字の置換を両方の成分に同時に施しても変わらない。
1．$W_{ij}:=X\cap\bigl(D_+(x_i)\times D_+(u_j)\bigr)$ とおく。$W_{12}$ では $x=v=1$ とおいたアフィン座標 $y,z,u,w$ の上で、式は $u=y$、$y=zw$ となるので、$W_{12}=\operatorname{Spec}k[y,z,u,w]/(u-y,\ y-zw)\cong\operatorname{Spec}k[z,w]=\mathbb{A}^2$ である。添字の置換により、$i\neq j$ のすべての $W_{ij}$ は $\mathbb{A}^2$ と同型である（$l$ を残りの添字として座標は $x_l/x_i$、$u_l/u_j$）。$W_{ii}$ の点では $x_iu_i\neq0$ なので、$j\neq i$ について $x_ju_j=x_iu_i\neq0$、すなわち $W_{ii}\subset W_{ij}$ である。よって $X$ は 6 つの $W_{ij}$（$i\neq j$）で覆われる。どの $W_{ij}$ も、すべての座標が $0$ でない点の集合 $X^\circ$ を空でない開集合として含む（$p\in U$ について $(p,[yz:zx:xy])\in X^\circ$）。既約な開集合で覆われ、どの 2 つも交わる空間は既約なので、$X$ は既約であり、局所的に $\mathbb{A}^2$ なので被約かつ非特異な 2 次元の多様体である。$X$ は $\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^2$ の閉部分スキームなので射影的である（Segre 埋め込み、Segre埋め込み、Vak25 §10.6）。
2．$i=1$ の場合を示す（他は添字の置換による）。$s=y/x$、$t=z/x$ を $D_+(x)\cong\mathbb{A}^2$ の座標とし、ブローアップ の例「平面の原点のブローアップ」に従って
$$ \mathrm{Bl}_0\mathbb{A}^2=\{((s,t),[\lambda:\mu])\mid s\mu=t\lambda\}\subset\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1 $$
とする。$p_1^{-1}(D_+(x))$ の点では $(v,w)\neq(0,0)$ である（$v=w=0$ なら $u\neq0$ だが、$x=1$ で $u=xu=yv=0$ となる）。そこで
$$ \Psi\colon([1:s:t],[u:v:w])\longmapsto((s,t),[w:v]),\qquad\Phi\colon((s,t),[\lambda:\mu])\longmapsto([1:s:t],[s\mu:\mu:\lambda]) $$
とおく。$X$ の式 $sv=tw$ から $\Psi$ の値は $\mathrm{Bl}_0\mathbb{A}^2$ に入り、$s\mu=t\lambda$ から $\Phi$ の値は $X$ の式 $xu=yv=zw$（すなわち $s\mu=s\mu=t\lambda$）をみたす。どちらも各座標近傍で多項式で与えられる射で、$\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}$、また $u=xu=yv=sv$ から $\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}$ であり、どちらも $D_+(x)$ への射影と両立する。よって $p_1^{-1}(D_+(x))\to D_+(x)$ は $\mathrm{Bl}_0\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^2$ と同型である。ブローアップは原点の外で同型であり（ブローアップ の命題「例外因子は有効Cartier因子」の 1）、$\mathbb{P}^2\setminus\{e_1,e_2,e_3\}$ は $D_+(x_i)\setminus\{e_i\}$（$i=1,2,3$）で覆われるので、$p_1$ はその上で同型である。$E_1$ は $x=1$、$y=z=0$ の点で、式から $u=0$ となるので $E_1=\{e_1\}\times L'_1$ である。
3．$X$ の式は成分の入れ替えで不変である。$F_1$ の点は $v=w=0$、$u=1$ で、式 $x\cdot1=y\cdot0=z\cdot0$ から $x=0$ となるので $F_1=L_1\times\{e'_1\}$ である。一方 $L_1\setminus\{e_2,e_3\}$ の点 $[0:y:z]$（$yz\neq0$）の上では $yv=zw=0$ から $v=w=0$ なので、$p_1^{-1}(L_1\setminus\{e_2,e_3\})$ は $F_1$ から 2 点を除いたものであり、その閉包が $F_1$ である。固有変換は $L_1\setminus\{e_2,e_3\}$ の逆像の閉包なので（ブローアップ の定義「全変換と固有変換」）、$F_1$ は $L_1$ の固有変換である。
4．$p=[x:y:z]\in U$ の上の点では、$u=0$ なら $yv=0$ から $v=0$、$zw=0$ から $w=0$ となって不合理なので $uvw\neq0$ であり、$[u:v:w]=[x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}]=[yz:zx:xy]=\sigma(p)$ である。$U\subset\mathbb{P}^2\setminus\{e_1,e_2,e_3\}$ なので、2 により $p_1^{-1}(U)\to U$ は同型であり、その上で $p_2=\sigma\circ p_1$ である。$\square$

1．thm-cremona-factorization の 4 により、グラフは $p_1^{-1}(U)$ に等しい。これは既約な $X$ の空でない開集合なので $X$ で稠密であり、$X$ は閉集合なので、グラフの閉包は $X$ である。
2．$\mathbb{P}^2\setminus\{e_1,e_2,e_3\}$ の上では $yz,zx,xy$ は同時に $0$ にならないので、$[yz:zx:xy]$ が射を定め、定義域に含まれる。$e_1$ が定義域に入ると仮定し、$e_1$ を含む開集合 $V$ と、$V\cap U$ 上で $\sigma$ に一致する射 $g\colon V\to\mathbb{P}^2$ をとる。$\mathbb{P}^2$ は分離的なので、$g$ のグラフ $\Gamma_g$ は $V\times\mathbb{P}^2$ の閉集合である。$X\cap(V\times\mathbb{P}^2)=p_1^{-1}(V)$ は既約で、$p_1^{-1}(V\cap U)$ はその空でない開集合、したがって稠密であり、$\Gamma_g$ に含まれる。よって $p_1^{-1}(V)\subset\Gamma_g$ であり、とくに $E_1\subset\Gamma_g\cap(\{e_1\}\times\mathbb{P}^2)=\{(e_1,g(e_1))\}$ となる。ところが $E_1$ は射影直線で 2 点以上を含むので矛盾する。$e_2,e_3$ も同じである。
3．thm-cremona-factorization の 2・3 の $E_i=\{e_i\}\times L'_i$、$F_i=L_i\times\{e'_i\}$ による。$\square$