多項式

同義語：polynomial

概要

前提知識: 体, 環, 写像

係数を持つ式としての多項式

多項式（polynomial）は、変数の非負整数乗に係数を掛けて有限個だけ足した式である。見慣れた $x^2-3x+2$ もその一つだが、多項式を単に「数を入れて値を出す関数」と考えると、有限体の上では異なる多項式が同じ関数になる点を見落とす。多項式はまず係数の有限列であり、その列から評価によって関数が作られる、と区別するのが基本である。
多項式の足し算と掛け算は、方程式・多項式環・線形代数・代数幾何をつなぐ。根を探すときは $x-a$ で割った余りが効き、最大公約式を求めるときは整数と同様の除法が使える。一方、次数や根の個数の性質には、係数を置く環が整域かどうかという仮定が要る。本記事では一変数の多項式を中心に、式・関数・根・因数分解の関係を説明する。

定義、次数、演算

以下、特に断らない限り $K$ は体とする。$K$ の元を係数とし、有限個を除いて $a_i=0$ となる列 $(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ を形式的に
$$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n $$
と書く。$K$ 係数の一変数多項式全体を $K[x]$ と表す。$x$ はこの段階では「値を代入済みの数」ではなく、不定元という記号である。同じ多項式かどうかは、対応する次数の係数がすべて等しいかどうかで決める。

多項式の次数

$f\ne0$ に対し、$a_n\ne0$ となる最大の $n$ を $f$ の次数 $\deg f$ といい、$a_n$ を最高次係数という。最高次係数が $1$ の多項式をモニックという。零多項式 $0$ の次数は便宜上 $-\infty$ と定める。

たとえば $2x^3+5x-1$ は、係数体の標数が $2$ でないなら次数 $3$ である。もし係数を標数 $2$ の体へ写せば先頭の $2$ は $0$ になり、次数が変わる。このため係数体の指定は飾りではない。定数多項式 $c\ne0$ の次数は $0$ で、$x$ の次数は $1$ である。
$f=\sum_i a_ix^i$ と $g=\sum_i b_ix^i$ の和は $(f+g)(x)=\sum_i(a_i+b_i)x^i$、積は
$$ (fg)(x)=\sum_{n\geq0}\left(\sum_{i+j=n}a_ib_j\right)x^n $$
と定める。内側の和は各 $n$ について有限であり、結果も多項式になる。$K[x]$ はこの演算で可換環になる。定数多項式を通じて $K$ をその部分環と見る。

次数の計算法

$f,g\in K[x]$ がともに零でなければ $\deg(fg)=\deg f+\deg g$ である。また $\deg(f+g)\leq\max\{\deg f,\deg g\}$ である。$\deg f\ne\deg g$ なら後者は等号になる。

$\deg f=m$、$\deg g=n$ とし、最高次係数をそれぞれ $a_m,b_n\ne0$ とする。$fg$ の $x^{m+n}$ の係数は $a_mb_n$ である。体には零因子がないので、この係数は零でなく、それより高い次数の項もない。よって積の次数は $m+n$ である。和には $\max\{m,n\}$ より高い項がない。$m\ne n$ なら高い方の最高次係数を打ち消す相手の項がないので等号となる。$\square$

次数が同じときは、最高次係数が打ち消され得る。例えば $(x^2+x)+(-x^2+1)=x+1$ で、和の次数は $2$ から $1$ に下がる。積の式は係数環が整域なら成立するが、零因子のある環では壊れ得る。$\mathbb Z/6\mathbb Z$ 上で $f=2x$、$g=3x$ とすれば $fg=6x^2=0$ である。以後の根の個数や除法の議論で体を仮定する理由の一部はここにある。

評価と多項式関数

$a\in K$ に $x=a$ を代入した値は $f(a)=\sum_i a_i a^i$ である。この対応は評価写像 $\operatorname{ev}_a:K[x]\to K$ を定め、和と積を保つ。すなわち $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$、$(fg)(a)=f(a)g(a)$ である。多項式 $f$ が定める関数 $K\to K$ は $a\mapsto f(a)$ だが、多項式そのものと同一視してよいとは限らない。

有限体では式と関数が異なる

$K=\mathbb F_2=\{0,1\}$ とする。$f(x)=x^2-x$ は $K[x]$ では零多項式でない。しかし $f(0)=0$、$f(1)=0$ なので、$f$ が $K$ 上で定める関数は零関数である。従って $x^2$ と $x$ は異なる多項式だが、同じ $K\to K$ の関数を定める。一般の有限体 $\mathbb F_q$ でも $x^q-x$ は全ての元で零になる。

一方、無限体上では二つの多項式が全ての点で同じ値を取れば同じ多項式である。差 $f-g$ が無限個の根を持つなら、後で証明する根の個数の上界から $f-g=0$ となるためである。つまり「式と関数の区別」は定義上は常に必要だが、無限体では評価関数から係数を復元できる。
代入の相手は $K$ の元だけに限らない。$K$ を含む可換環 $A$ と $a\in A$ に対して同じ有限和で $f(a)\in A$ を定義できる。行列 $T$ に代入するときは定数項を $a_0I$ と解釈し、$f(T)=\sum_i a_iT^i$ とする。この考え方が Cayley–Hamiltonの定理と最小多項式(線形代数) の出発点である。多項式の係数を固定しておけば、代入先を変えて同じ式を調べられる。

割り算と余り

整数の割り算と同様に、体係数の多項式は零でない多項式で割れる。除法の「余りの次数が割る式より低い」という条件は、根の判定や最大公約式の計算を可能にする。

多項式の除法

$f,g\in K[x]$、$g\ne0$ とする。このとき多項式 $q,r\in K[x]$ が一意に存在して
$$ f=qg+r,\qquad r=0\text{ または }\deg r<\deg g $$
を満たす。$q$ を商、$r$ を余りという。

$f=0$ または $\deg f<\deg g$ なら $q=0,r=f$ とすればよい。そうでなければ $\deg f=n\geq m=\deg g$ とし、最高次係数を $a,b\ne0$ とする。体だから $b^{-1}$ があり、$h=f-ab^{-1}x^{n-m}g$ は $f$ より次数が低い。$h$ に同じ操作を繰り返すと次数は非負整数の範囲で真に下がるため、有限回で次数が $m$ 未満の余りに到達する。各段階で引いた項を集めたものが $qg$ で、存在が示された。
一意性について $f=qg+r=q'g+r'$ とする。すると $(q-q')g=r'-r$ である。$q-q'\ne0$ なら左辺の次数は $\deg(q-q')+\deg g\geq\deg g$、右辺の次数は $\deg g$ 未満となり矛盾する。従って $q=q'$、続いて $r=r'$ である。$\square$

この証明は実際の計算法でもある。最高次項を消す操作を繰り返す多項式の筆算は、まさにこの降下を実行している。割る式の最高次係数が可逆でない一般の環では、同じ手順が使えない。モニックな $g$ なら最高次係数を割る必要がないので、任意の可換環上でも同様の除法ができる。

筆算での余り

$f=x^3-2x+1$ を $g=x-1$ で割る。最高次項から順に消すと
$$ x^3-2x+1=(x^2+x-1)(x-1)+0 $$
となる。実際、右辺の積を展開すれば $x^3-2x+1$ に戻る。この場合は余りが $0$ なので $x-1$ が $f$ を割り切る。$x+1$ で割った余りは $f(-1)=2$ であり、割り切れない。一次式で割る場合には、次の剰余定理が筆算を一回の代入へ短縮する。

根と因数分解

$a\in K$ が $f(a)=0$ を満たすとき、$a$ を $f$ の根または零点という。$f$ を $x-a$ で割ると、余りの次数は $1$ 未満だから定数になる。その定数は代入で決まる。

剰余定理と因数定理

$f\in K[x]$、$a\in K$ とする。$f$ を $x-a$ で割った余りは $f(a)$ である。特に
$$ f(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-a)\mid f $$
が成り立つ。

除法により $f=(x-a)q+r$ と一意に書け、$r$ は定数多項式である。$x=a$ を代入すると $f(a)=(a-a)q(a)+r=r$。従って余りは $f(a)$ であり、それが $0$ であることは $x-a$ で割り切れることと同値である。$\square$

根の個数の上界

$0\ne f\in K[x]$ の次数が $n$ なら、$K$ にある相異なる根の個数は高々 $n$ である。

次数について帰納法を行う。$n=0$ なら $f$ は零でない定数で根を持たない。$n>0$ で根 $a$ が一つもなければ結論は明らか。根 $a$ があれば因数定理から $f=(x-a)q$ となり、次数の積公式から $\deg q=n-1$ である。$a$ 以外の根 $b$ について $0=f(b)=(b-a)q(b)$。$b-a\ne0$ で $K$ は体だから $q(b)=0$ である。帰納法でそのような $b$ は高々 $n-1$ 個なので、$f$ の根は高々 $n$ 個である。$\square$

この命題は「次数 $n$ の多項式には必ず $n$ 個の根がある」とは言っていない。実数上の $x^2+1$ は根を持たず、複素数上では $i,-i$ の二つを持つ。根を重複度込みで数えるなら、係数体の代数閉性を使って初めて次数と一致する。上の命題は代数閉性を仮定せず、体の中に現れる相異なる根だけを数えている。

補間で係数が決まる

$K$ の相異なる $n+1$ 個の元 $a_0,\ldots,a_n$ で値を指定すると、次数が高々 $n$ の多項式は高々一つである。実際、二つの多項式 $f,g$ が同じ値を持つなら、$f-g$ は次数が高々 $n$ なのに $n+1$ 個の根を持つ。根の個数の上界により $f-g=0$ である。存在は Lagrange補間の式で示される。つまり十分な個数の点での値から低次多項式を復元できる。

根が何回現れるかは重複度で記録する。$a$ が $f\ne0$ の根なら、$(x-a)^m\mid f$ となる最大の $m$ を $a$ の重複度という。例えば $(x-1)^2(x+2)$ では $1$ の重複度は $2$、$-2$ の重複度は $1$ である。この定義は係数体がどの標数でも使える。次数の積公式から、互いに異なる根の重複度の総和は $\deg f$ 以下である。

根の重複度の総和

$f\ne0$ の異なる根 $a_1,\ldots,a_r\in K$ の重複度を $m_1,\ldots,m_r$ とすると、$\sum_{j=1}^r m_j\leq\deg f$ である。等号は $f$ が $K$ 上で一次式の積に分解する場合に成立する。

因数定理を重ねて適用すると $f=(x-a_1)^{m_1}q_1$ と書け、$q_1(a_1)\ne0$ である。$a_2\ne a_1$ だから $x-a_1$ と $x-a_2$ は互いに素であり、$a_2$ の重複度は $q_1$ の中に残る。同様に進めると $f=\prod_j(x-a_j)^{m_j}h$ と書ける。次数を取れば $\deg f=\sum_jm_j+\deg h$ であり、$h\ne0$ だから不等式が従う。等号なら $h$ は零でない定数で、逆も明らか。$\square$

最大公約式と互いに素

整数で余りを繰り返して最大公約数を求める Euclid の互除法は、多項式にもそのまま移る。$K[x]$ では零でない定数は全て単元なので、最大公約式は定数倍だけ曖昧である。そこで最高次係数を $1$ にしたモニックなものを選ぶ。

多項式の最大公約式

$f,g\in K[x]$ が少なくとも一方は零でないとする。$f,g$ の両方を割り切り、任意の共通の約数がそれを割るようなモニック多項式 $d$ を、$f,g$ の最大公約式といい $\gcd(f,g)$ と書く。

Euclid の互除法と Bézout 表示

$f,g\in K[x]$ がともに零ではないとする。除法を余りが零になるまで繰り返すと、最後の零でない余りをモニックにしたものが $d=\gcd(f,g)$ である。さらにある $u,v\in K[x]$ が存在し、$d=uf+vg$ と書ける。

$f=qg+r$ と書くと、$f,g$ の共通約数であることと $g,r$ の共通約数であることは同値である。$r\ne0$ なら $\deg r<\deg g$ だから、余りを繰り返す過程は有限回で止まる。最後の零でない余りはそれ以前の二つを割り、したがって $f,g$ を割る。逆に任意の共通約数は各余りを割るので、この最後の余りを割る。最高次係数で割れば $d$ が得られる。各余りは直前の二つの多項式の差 $f-qg$ である。これを逆向きに代入していけば、最後の余りは最初の $f,g$ の多項式係数の線形結合になる。モニック化してもその形は保たれる。$\square$

$\gcd(f,g)=1$ なら $uf+vg=1$ と書ける。これを法 $f$ の合同式で見ると、$g$ の剰余類には逆元 $v$ がある。したがって最大公約式は、共通因子の有無だけでなく、多項式環の商における可逆性も判定する。反対に $f$ と $g$ に非定数の共通因子があれば、$uf+vg=1$ は成り立たない。

互除法の具体例

$f=x^2-1=(x-1)(x+1)$、$g=x^2-2x+1=(x-1)^2$ を $\mathbb Q[x]$ で考える。$f-g=2(x-1)$ だから両者の最大公約式は $x-1$ である。実際、$x-1=\frac12 f-\frac12 g$ という Bézout 表示も得られる。ここでは $2$ が可逆な体を使っている。標数 $2$ では $f=g=(x-1)^2$ となり、同じ式を係数だけ読み替えると最大公約式まで変わる。

既約性は係数体に依存する

次数が正の多項式 $f\in K[x]$ が、正の次数を持つ二つの多項式の積に書けないとき、$f$ を $K$ 上既約という。係数体を指定しないまま既約と呼ぶことはできない。例えば $x^2-2$ は $\mathbb Q[x]$ では既約だが、$\mathbb R[x]$ では $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ と分解する。$x^2+1$ は $\mathbb R[x]$ では既約だが、$\mathbb C[x]$ では $(x-i)(x+i)$ となる。
次数 $2$ または $3$ の多項式は、$K$ 上で既約でないことと $K$ に根を持つことが同値である。分解すれば少なくとも一方の因子が一次式だからであり、根があれば因数定理で一次式を取り出せるからである。次数 $4$ 以上では、根がなくても二次式どうしに分解する場合がある。例えば $\mathbb R[x]$ の $(x^2+1)(x^2+2)$ は実根を持たないが既約ではない。

一次式で割れることと根

$f\in K[x]$ が次数 $2$ または $3$ のとき、$f$ が $K$ 上既約であることと $K$ 内に根を持たないことは同値である。

$f$ が根 $a\in K$ を持てば $f=(x-a)q$ であり、$\deg q=\deg f-1\geq1$ だから既約でない。逆に $f=uv$ と正の次数の因子へ分解したとする。$\deg f$ が $2$ または $3$ なら、次数の和が $\deg f$ であるため $u,v$ の少なくとも一方の次数は $1$。一次式 $cx+d$ は $c\ne0$ なので $-d/c\in K$ を根に持ち、その点は $f$ の根でもある。$\square$

体係数の一変数多項式環は Euclid の除法を持つため、全ての非零多項式は既約多項式の積に分解し、その分解は順序と零でない定数倍を除いて一意である。この一意性は整数の素因数分解と似ている。ただし「根があるか」という問いだけでは、既約因子が一次式以外のときに全体の構造は読めない。最小多項式(体論) や有限体の構成では、既約多項式が新しい元の関係式になる。

形式微分と重根

多項式の形式微分は、極限を使わず係数だけで
$$ f'(x)=\sum_{i\geq1}i a_i x^{i-1} $$
と定める。係数 $i$ は整数 $i$ を体 $K$ の元として読んだものである。積の公式を展開すれば $(fg)'=f'g+fg'$ が得られる。$K=\mathbb R$ や $\mathbb C$ なら通常の関数の微分と一致するが、形式微分自体は有限体でも意味を持つ。

重根と形式微分

$0\ne f\in K[x]$ と $a\in K$ について、$(x-a)^2\mid f$ であることと $f(a)=f'(a)=0$ であることは同値である。

$(x-a)^2\mid f$ なら $f=(x-a)^2q$ と書け、代入から $f(a)=0$、積の微分公式から $f'(a)=0$ である。逆に $f(a)=0$ なら $f=(x-a)q$。微分すると $f'=q+(x-a)q'$ だから $f'(a)=q(a)$。これが零なら因数定理により $(x-a)\mid q$、従って $(x-a)^2\mid f$ となる。$\square$

標数 $p>0$ では $x^p$ の形式微分は $px^{p-1}=0$ である。零でない多項式の微分が零になり得る点は、実解析の直感から外れる。例えば $\mathbb F_p[x]$ の $x^p-1=(x-1)^p$ は根 $1$ が重複度 $p$ であり、形式微分は零多項式である。「$f'=0$ なら $f$ は定数」と推論してよいのは標数 $0$ の場合に限る。標数 $p$ では $x^p$ の多項式も微分が零になる。

多変数への広がり

二変数以上では $K[x,y]$ のように不定元を増やす。$x^2+xy+y^2$ は全次数 $2$ の斉次多項式であり、$x+y^2$ には次数 $1$ と $2$ の項が混在する。多変数でも各単項式の係数を指定して多項式を定める点は同じである。ただし一変数の除法 $f=qg+r$ における単純な「余りの次数」という条件は、多変数ではそのままでは一意性を与えない。多変数の計算では単項式順序と Gröbner 基底などの追加の道具を用いる。
多項式が作る方程式 $f(x_1,\ldots,x_n)=0$ を幾何的に読むと、アフィン代数的集合や代数多様体につながる。射影空間上では同次座標の定数倍によって零点が変わらないよう、斉次多項式を使い、そのような式で生成される斉次イデアルを考える。多項式は数を代入する式であると同時に、幾何的な対象を記述する代数的なデータでもある。
刊行書 Axl24 第4章は多項式の根の個数、除法、体による因数分解の差を扱う。本記事では一般の体を係数とする形式的な定義から始め、有限体での多項式と関数の区別、最大公約式、形式微分まで接続した。

反例：条件を外すと何が崩れるか

この記事の命題の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
係数環が整域であること	$\mathbb Z/6\mathbb Z$ 上の $2x$ と $3x$	$\deg(fg)=\deg f+\deg g$
係数環が整域であること	$\mathbb Z/8\mathbb Z$ 上の $x^2-1$	次数 $n$ の多項式の相異なる根は高々 $n$ 個
割る式の最高次係数が可逆であること	$\mathbb Z[x]$ で $x$ を $2x$ で割る	余りの次数が割る式より低い除法
係数体が無限であること	$\mathbb F_2$ 上の $x^2$ と $x$	同じ関数を定める多項式は等しいこと
次数が $2$ または $3$ であること	$\mathbb R[x]$ の $(x^2+1)(x^2+2)$	根がなければ既約であること
標数が $0$ であること	$\mathbb F_p[x]$ の $x^p$	形式微分が零なら定数であること

反例：零因子のある係数環での次数と根の個数

$\mathbb Z/6\mathbb Z$ 上で $f=2x$、$g=3x$ はどちらも次数 $1$ だが、$fg=6x^2=0$ で次数は $-\infty$ である。命題「次数の計算法」の証明で最高次係数の積 $a_mb_n$ が零でないとした段が、$2\cdot3=0$ で働かない。
$\mathbb Z/8\mathbb Z$ 上の $x^2-1$ は次数 $2$ だが、$1^2=1$、$3^2=9$、$5^2=25$、$7^2=49$ がいずれも $8$ で割って $1$ 余るので、根 $1,3,5,7$ を $4$ 個持つ。命題「根の個数の上界」の証明で $(b-a)q(b)=0$ と $b-a\ne0$ から $q(b)=0$ を導いた段が働かない。たとえば $a=1$、$b=3$ で $x^2-1=(x-1)(x+1)$ とすると $q(3)=4\ne0$ だが $(3-1)\cdot4=8=0$ である。破る仮定はどちらも「係数環が整域（零因子がない）」である。

反例：最高次係数が可逆でないと除法ができない

$\mathbb Z[x]$ で $f=x$ を $g=2x$ で割り、$x=q\cdot2x+r$、$r$ は定数、と書けたとする。$q=\sum_iq_ix^i$ とすると、右辺の $x^{i+1}$（$i\ge1$）の係数 $2q_i$ は $0$ でなければならないので $q=q_0$ は定数で、$x$ の係数を比べて $1=2q_0$ となる。これを満たす整数 $q_0$ はない。定理「多項式の除法」の証明で $b^{-1}$ を使って最高次項を消した段が、$2$ が $\mathbb Z$ で可逆でないため働かない。$\mathbb Q[x]$ なら $x=\frac12\cdot2x+0$ と割れる。

反例：既出の例で破る条件

例「有限体では式と関数が異なる」：$\mathbb F_2$ 上で $x^2$ と $x$ は係数が異なるが、$0^2=0$、$1^2=1$ で同じ関数を定める。無限体なら差 $x^2-x$ が無限個の根を持つことになり零多項式になるが、$\mathbb F_2$ は二元しかないのでこの議論が働かない。
$(x^2+1)(x^2+2)$ は実数 $a$ で $a^2+1>0$、$a^2+2>0$ なので実根を持たないが、正の次数の二因子の積なので既約でない。命題「一次式で割れることと根」は、次数 $4$ では一方の因子が一次式になるとは限らないため成り立たない。
標数 $p$ の体で $(x^p)'=px^{p-1}=0$ だが $x^p$ は定数でない。係数 $p$ が体の中で $0$ になるためで、標数 $0$ なら $ia_i=0$（$i\ge1$）から $a_i=0$ が従う。