標準滑らかな代数

共通の $m\ge0$ をとり、$F_j:=h^mf_j$ が $A[x]$ の元（の像）になるようにする。$A[x]_h\cong A[x,y]/(hy-1)$（$y\mapsto1/h$）であり、$h^m$ は $A[x]_h$ の単元なので $(f_1,\dots,f_c)=(F_1,\dots,F_c)$ である。したがって
$$ B'\cong A[x_1,\dots,x_n,y]/(F_1,\dots,F_c,G),\qquad G:=hy-1 $$
である。変数 $x_{i_1},\dots,x_{i_c},y$ についての $F_1,\dots,F_c,G$ の Jacobi 行列は、$\partial F_j/\partial y=0$、$\partial G/\partial y=h$ なので
$$ \begin{pmatrix}\bigl(\partial F_j/\partial x_{i_r}\bigr)_{r,j}&\bigl(\partial G/\partial x_{i_r}\bigr)_r\\0&h\end{pmatrix} $$
の形であり、行列式は $h\cdot\det(\partial F_j/\partial x_{i_r})$ である。$A[x]_h$ の中で $\partial F_j/\partial x_i=h^m\,\partial f_j/\partial x_i+m\,h^{m-1}(\partial h/\partial x_i)f_j$ であり、$B'$ では $f_j=0$ だから、この行列式の $B'$ での像は $h^{mc+1}\det(\partial f_j/\partial x_{i_r})$ の像で、単元である。最後に変数の番号を付け替えて $x_{i_1},\dots,x_{i_c},y$ を最初の $c+1$ 個にすると（変数の置換は多項式環の $A$ 代数の自己同型である）、$B'$ は $n+1$ 変数・$c+1$ 個の式の標準 Jacobi 表示をもつ。逆の主張は定義そのものである。$\square$

要点：1 は可逆な $c\times c$ 行列で $dx_1,\dots,dx_c$ を残りの $dx_l$ で書き表すこと、2 は右完全性、3 は prop-standard-smooth-localized、4 はブロック三角の Jacobi 行列による。$\square$

$R$ は正則局所環である（幾何的正則性 の命題「有限変数多項式環と係数拡大」）。その極大イデアルを $\mathfrak m=QR$、剰余体を $\kappa=R/\mathfrak m$ とし、$g\in R$ の像を $\bar g\in\kappa$ と書く。写像 $\delta\colon\mathfrak m\to\kappa^n$、$g\mapsto(\overline{\partial g/\partial x_i})_{i=1}^n$ は加法的で、$g\in\mathfrak m$、$r\in R$ について $\delta(rg)=\bar r\,\delta(g)+\bar g\,\delta(r)=\bar r\,\delta(g)$ である。とくに $\delta(\mathfrak m^2)=0$ なので、$\delta$ は $\kappa$ 線形写像 $\mathfrak m/\mathfrak m^2\to\kappa^n$ を誘導する。$\delta(f_1),\dots,\delta(f_c)$ の最初の $c$ 成分を並べた行列の行列式は $\bar\Delta\ne0$（$\Delta\notin Q=\mathfrak m\cap K[x]$）なので、これらは 1 次独立であり、$f_1,\dots,f_c$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像も 1 次独立である。
正則局所環 の補題「正則パラメータ系の一部による商」を $f_1,\dots,f_j$（$0\le j\le c$）に使うと、$R_j:=R/(f_1,\dots,f_j)$ は次元 $\dim R-j$ の正則局所環であり、同じ記事の命題「正則局所環は整域」により整域である。$f_{j+1}$ の像は $(f_1,\dots,f_j)+\mathfrak m^2$ に属さないので $R_j$ の中で $0$ でなく、整域の $0$ でない元として非零因子である。$R_c\ne0$ でもあるので、$f_1,\dots,f_c$ は正則列である（正則列 の定義「加群上の正則列」）。$\square$

prop-standard-smooth-basic の 2 を $A\to K$ に使うと、$D:=B\otimes_AK=K[x]/(\bar f_1,\dots,\bar f_c)$ は $K$ 上の標準 Jacobi 表示で、$\bar\Delta$ は $D$ の単元である。$D$ の素イデアル $\mathfrak q$ は $(\bar f_1,\dots,\bar f_c)$ を含む $K[x]$ の素イデアル $Q$ に対応し、$\bar\Delta$ は $D$ の単元だから $\bar\Delta\notin Q$ である。局所化は剰余と交換するので $D_{\mathfrak q}\cong K[x]_Q/(\bar f_1,\dots,\bar f_c)$ であり、lem-standard-smooth-field により正則局所環である。後半：有限次拡大 $K'/\kappa(\mathfrak p)$ について $(B\otimes_A\kappa(\mathfrak p))\otimes_{\kappa(\mathfrak p)}K'\cong B\otimes_AK'$ であり、前半からこの Noether 環のすべての局所化は正則である。$\square$

単射性：$M$ は平坦なので $\mathfrak m^r\otimes_AM\cong\mathfrak m^rM$ であり、$0\to\mathfrak m^{r+1}\to\mathfrak m^r\to\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1}\to0$ にテンソル積の右完全性を使うと
$$ \mathfrak m^rM/\mathfrak m^{r+1}M\cong(\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1})\otimes_AM\cong(\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1})\otimes_k(M/\mathfrak mM) $$
である。右辺は $M/\mathfrak mM$ の有限個の直和なので、$g$ 倍はその上で単射である。$gx=0$ とし、$x\in\mathfrak m^rM$ と仮定すると、$x$ の $\mathfrak m^rM/\mathfrak m^{r+1}M$ での類は $g$ で $0$ になるので $0$ であり、$x\in\mathfrak m^{r+1}M$ である。帰納法により $x\in\bigcap_r\mathfrak m^rM\subset\bigcap_r\mathfrak n^rM$ であり、Krullの交叉定理 の 2 により $x=0$ である。
平坦性：完全列 $0\to M\xrightarrow{g}M\to M/gM\to0$ の Tor の長完全列（Tor関手）と $\operatorname{Tor}_1^A(k,M)=0$ から
$$ \operatorname{Tor}_1^A(k,M/gM)\cong\ker\bigl(g\colon M/\mathfrak mM\to M/\mathfrak mM\bigr)=0 $$
である。$M/gM$ は有限生成 $P$ 加群なので、局所平坦性判定 の系「有限加群についての局所平坦性判定」（$I=\mathfrak m$）により $A$ 上平坦である。$\square$

$B=A[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_c)$ を標準 Jacobi 表示とする。
段 1（$A$ が Noether 環の場合）：$B$ の素イデアル $\mathfrak q$ をとり、$\mathfrak p:=\mathfrak q\cap A$、$Q'$ を $\mathfrak q$ の $A[x]$ での逆像とし、$P:=A[x]_{Q'}$ とおく。$P$ は Noether 局所環であり（Hilbertの基底定理）、$Q'\cap A=\mathfrak p$ なので $A_{\mathfrak p}\to P$ は局所準同型である。$A[x]$ は自由 $A$ 加群なので $A_{\mathfrak p}[x]$ は $A_{\mathfrak p}$ 上平坦であり、その局所化 $P$ も $A_{\mathfrak p}$ 上平坦である。閉ファイバーは $P/\mathfrak pP\cong\kappa(\mathfrak p)[x]_{\bar Q}$（$\bar Q$ は $Q'$ の像）であり、$f_j$ の像はその極大イデアルに入り、$\Delta$ は $B$ の単元なので $\Delta\notin Q'$、すなわち $\bar\Delta\notin\bar Q$ である。lem-standard-smooth-field により、$f_1,\dots,f_c$ の像は $P/\mathfrak pP$ の正則列である。
$M_j:=P/(f_1,\dots,f_j)P$ とおく。$M_0=P$ は $A_{\mathfrak p}$ 上平坦で、$M_j/\mathfrak pM_j=(P/\mathfrak pP)/(f_1,\dots,f_j)$ の上で $f_{j+1}$ 倍は単射である。lem-standard-smooth-lifting を $A_{\mathfrak p}\to P$ に使うと $M_{j+1}=M_j/f_{j+1}M_j$ も平坦であり、帰納法により $M_c\cong B_{\mathfrak q}$ は $A_{\mathfrak p}$ 上平坦、したがって $A$ 上平坦である。
最後に $B$ 自身の平坦性を示す。$A$ 加群の単射 $N'\to N$ について、$N'\otimes_AB\to N\otimes_AB$ の核を $L$ とする。局所化は完全なので、$B$ の各素イデアル $\mathfrak q$ で $L_{\mathfrak q}$ は $N'\otimes_AB_{\mathfrak q}\to N\otimes_AB_{\mathfrak q}$ の核であり、$0$ である。$0$ でない $z\in L$ があれば、真のイデアル $\operatorname{Ann}_B(z)$ を含む極大イデアル $\mathfrak q$ で $z/1\ne0$ となって矛盾する。よって $L=0$ である。
段 2（一般の場合）：$\Delta$ は $B$ の単元なので、$v,u_1,\dots,u_c\in A[x]$ で
$$ v\Delta+u_1f_1+\cdots+u_cf_c=1 $$
となるものがある。$f_j,v,u_j$ の係数をすべて含む、$\mathbb Z$ の像の上で有限生成な部分環を $A_0\subset A$ とする。$A_0$ は有限変数の多項式環 $\mathbb Z[t_1,\dots,t_N]$ の商なので Noether 環である（Hilbertの基底定理）。上の等式は $A_0[x]$ の中で成り立ち、$\Delta$ は $A_0[x]$ で計算しても同じなので、$B_0:=A_0[x]/(f_1,\dots,f_c)$ は $A_0$ 上の標準 Jacobi 表示であり、段 1 により $A_0$ 上平坦である。右完全性により $B\cong A\otimes_{A_0}B_0$ であり、$A$ 加群の単射 $N'\to N$ について $N'\otimes_AB\cong N'\otimes_{A_0}B_0$ だから、$A_0$ 加群の単射として $B_0$ とのテンソル積は単射である。よって $B$ は $A$ 上平坦である。$\square$