ベクトル束の直和・テンソル積

1. 各ファイバーでは、ベクトル空間の直和の普遍性から、条件を満たす線形写像は $(e,f)\mapsto u(e)+v(f)$ に限る。よって一意性が従う。この写像 $E\oplus F\to G$ は、連続写像 $E\oplus F\to G\times_BG$、$(e,f)\mapsto(u(e),v(f))$ と、ファイバーごとの和 $G\times_BG\to G$ の合成である。後者は ベクトル束 の記事の命題「ベクトル束の基本性質」の 3 により連続なので、$(u,v)$ は連続であり、束写像である。
2. 各ファイバーで条件を満たす線形写像は $x\mapsto(u'(x),v'(x))$ に限る。この写像は $G\to E\times F$ として連続で、値は $E\times_BF$ に入り、$E\oplus F$ は $E\times F$ の相対位相をもつので、$G\to E\oplus F$ として連続である。
   切断について。写像 $s\colon B\to E\oplus F$ は $s=(s_1,s_2)$ と書け、$E\oplus F$ が $E\times F$ の相対位相をもつことから、$s$ が連続であることと $s_1,s_2$ がともに連続であることは同値である。$\pi\circ s=\mathrm{id}_B$ は $s_1,s_2$ がそれぞれ $E$、$F$ の切断であることと同値である。和とスカラー倍は成分ごとなので、$s\mapsto(s_1,s_2)$ は線形同型 $\Gamma(E\oplus F)\cong\Gamma(E)\oplus\Gamma(F)$ である。$\square$

$u$ は全単射なので逆写像 $u^{-1}$ があり、ファイバーごとに線形である。その連続性を示せばよい。点 $b_0\in B$ の開近傍 $U$ で $E$、$F$ がともに自明化されるもの（局所自明化 $\phi,\psi$）をとる。$\psi\circ u\circ\phi^{-1}(b,v)=(b,A(b)v)$ で行列値関数 $A\colon U\to\mathbb K^{s\times r}$ が定まる。$A(b)$ の第 $j$ 列は $\mathrm{pr}_2\,\psi\circ u\circ\phi^{-1}(b,e_j)$ であり、これは $b$ の連続関数である（$e_j$ は標準基底）。$u_b$ が同型なので $r=s$ で $A(b)\in\operatorname{GL}(r,\mathbb K)$ であり、逆行列は余因子行列を行列式で割ったものなので $b\mapsto A(b)^{-1}$ も連続である。$U$ 上で $u^{-1}=\phi^{-1}\circ(b,w)\mapsto(b,A(b)^{-1}w)\circ\psi$ と書けるから、$u^{-1}$ は $F|_U$ 上で連続である。$F|_U$ の形の開集合は $F$ を覆うので、$u^{-1}$ は連続である。$\square$

$E$ と $F$ を同時に自明化する組 $\alpha=(U_\alpha,\phi_\alpha,\psi_\alpha)$ 全体の族を $\mathcal A$ とする。各点 $b$ で $E$ の自明化近傍と $F$ の自明化近傍の共通部分をとれば、$\{U_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal A}$ は $B$ を覆う。$G_{\alpha\beta}:=T(g_{\alpha\beta},h_{\alpha\beta})\colon U_\alpha\cap U_\beta\to\operatorname{GL}(N,\mathbb K)$（$N$ は $T(\mathbb K^r,\mathbb K^s)$ の次元）は、連続写像 $g_{\alpha\beta},h_{\alpha\beta}$ と連続な準同型 $T$ の合成なので連続であり、$T$ が準同型であることから
$$G_{\alpha\alpha}=T(1,1)=1,\qquad G_{\alpha\beta}G_{\beta\gamma}=T(g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma},h_{\alpha\beta}h_{\beta\gamma})=T(g_{\alpha\gamma},h_{\alpha\gamma})=G_{\alpha\gamma}$$
を満たす。ベクトル束 の記事の命題「変換関数の連続性・コサイクル条件と束の再構成」により、$\{U_\alpha\}$ 上の局所自明化 $\Phi'_\alpha$ をもち変換関数が $G_{\alpha\beta}$ である階数 $N$ のベクトル束 $E_T$ が存在する。
次に $E_T$ のファイバーを $T(E_b,F_b)$ と同一視する。$b\in U_\alpha$ に対し
$$\iota_\alpha\colon T(E_b,F_b)\to(E_T)_b,\qquad x\mapsto\Phi'^{-1}_\alpha\bigl(b,T(\phi_{\alpha,b},\psi_{\alpha,b})x\bigr)$$
とおくと線形同型である。$b\in U_\alpha\cap U_\beta$ なら、$\phi_{\beta,b}=g_{\beta\alpha}(b)\phi_{\alpha,b}$、$\psi_{\beta,b}=h_{\beta\alpha}(b)\psi_{\alpha,b}$ と $T$ の関手性から
$$\Phi'_\beta\Phi'^{-1}_\alpha\bigl(b,T(\phi_{\alpha,b},\psi_{\alpha,b})x\bigr)=\bigl(b,G_{\beta\alpha}(b)T(\phi_{\alpha,b},\psi_{\alpha,b})x\bigr)=\bigl(b,T(\phi_{\beta,b},\psi_{\beta,b})x\bigr)$$
となるので $\iota_\alpha=\iota_\beta$ である。よって $\alpha$ によらない線形同型 $\iota\colon T(E_b,F_b)\cong(E_T)_b$ が定まり、これで $T(E,F)=\bigsqcup_bT(E_b,F_b)$ を $E_T$ と同一視して位相を移す。この同一視のもとで $\Phi'_\alpha$ は主張の $\Phi$ そのものなので、$\Phi$ は局所自明化であり、変換関数は $G_{\alpha\beta}$ である。
位相の一意性：主張の性質をもつ位相が二つあれば、恒等写像は各 $U_\alpha$ 上で局所自明化 $\Phi$ を通して $U_\alpha\times T(\mathbb K^r,\mathbb K^s)$ の恒等写像になるので、両方向に連続である。$\mathcal A$ はすべての同時自明化を含むので、構成は局所自明化の選び方によらない。階数は $\dim(\mathbb K^r\otimes\mathbb K^s)=\dim\mathbb K^{s\times r}=rs$、$\dim(\mathbb K^r)^*=r$、$\dim\bigwedge^k\mathbb K^r=\binom rk$ である。$\square$

1〜4 の各項目について、各ファイバーで線形代数の標準的な同型 $N_b$ をとる（たとえば 3 では $x\otimes(y,z)\mapsto(x\otimes y,x\otimes z)$、4 の最初では $\lambda\otimes y\mapsto(x\mapsto\lambda(x)y)$、最後では $x\mapsto(\lambda\mapsto\lambda(x))$）。これらは基底の選び方によらず定まり、線形同型 $a,c,\dots$ と可換である（自然である）。すなわち、両辺に同じ線形同型を施す操作と $N$ が交換する。したがって、$E,F,G$ を同時に自明化する $U$ 上で、prop-vector-bundle-tensor-product と prop-vector-bundle-direct-sum の局所自明化を通して写像 $N=\bigsqcup_bN_b$ を見ると
$$(b,x)\longmapsto(b,N_0x)$$
となる。ここで $N_0$ は $\mathbb K^r,\mathbb K^s,\dots$ の間の同じ標準同型で、$b$ によらない定数行列である。よって $N$ は各 $U$ 上で連続、したがって連続な束写像であり、ファイバーごとに同型なので lem-vbst-fiberwise-iso により束同型である。
5. ファイバーごとに $u_b\oplus v_b$、$u_b\otimes v_b$、$T(u_b,v_b)$ などをとる。$E',F'$ を $U$ 上で自明化する $\phi',\psi'$ をとると、$\phi:=\phi'\circ u$、$\psi:=\psi'\circ v$ は $E,F$ の $U$ 上の局所自明化である。これらの局所自明化を通すと、写像は $U\times T(\mathbb K^r,\mathbb K^s)$ の恒等写像になる（$T(\phi'_b,\psi'_b)\circ T(u_b,v_b)=T(\phi_b,\psi_b)$ による）。よって連続であり、lem-vbst-fiberwise-iso により束同型である。$\square$

$u_s$ はファイバーごとに線形で $\pi_F\circ u_s=\pi_E$ を満たす。逆に束写像 $u$ から $s_u(b):=u_b\in\operatorname{Hom}(E_b,F_b)$ が定まり、$s\mapsto u_s$ と $u\mapsto s_u$ は互いに逆で線形である。残りは連続性の対応である。$E,F$ を同時に自明化する $(U,\phi,\psi)$ をとる。準同型束の局所自明化 $\Phi$ を通すと、$s(b)$ は行列 $A(b):=\psi_b\,s(b)\,\phi_b^{-1}\in\mathbb K^{s\times r}$ に対応する。$s$ が $U$ 上で連続であることと $b\mapsto A(b)$ が連続であることは同値である。一方、$\psi\circ u_s\circ\phi^{-1}(b,v)=(b,A(b)v)$ である。$A$ が連続なら右辺は $(b,v)$ について連続なので $u_s$ は連続である。逆に $u_s$ が連続なら、lem-vbst-fiberwise-iso の証明と同じく $A(b)$ の第 $j$ 列 $\mathrm{pr}_2\,\psi\circ u_s\circ\phi^{-1}(b,e_j)$ が連続なので $A$ は連続である。$U$ は $B$ を覆うので、$s$ が連続であることと $u_s$ が連続であることは同値である。$E^*=\operatorname{Hom}(E,\varepsilon^1)$ の場合、束写像 $E\to\varepsilon^1=B\times\mathbb K$ は第 2 成分の連続関数 $E\to\mathbb K$ で決まる。$\square$

点 $x\in X$ 上では、両辺のファイバーはともに $E_{f(x)}\oplus F_{f(x)}$（または $E_{f(x)}\otimes F_{f(x)}$）であり、これらの恒等写像をまとめた写像を考える。$E,F$ を $U$ 上で同時に自明化すると、引き戻し $f^*E,f^*F$ は $f^{-1}(U)$ 上で $(x,e)\mapsto(x,\phi_{f(x)}(e))$ により自明化される。この自明化を通すと、両辺の局所自明化はともにファイバー $T(E_{f(x)},F_{f(x)})$ に $T(\phi_{f(x)},\psi_{f(x)})$ を施すものなので、写像は $f^{-1}(U)\times T(\mathbb K^r,\mathbb K^s)$ の恒等写像になる。よって連続であり、lem-vbst-fiberwise-iso により束同型である。$\square$

各ファイバーで線形写像
$$m_b\colon\textstyle\bigwedge^rE_b\otimes\bigwedge^sF_b\to\bigwedge^{r+s}(E_b\oplus F_b),\quad (x_1\wedge\dots\wedge x_r)\otimes(y_1\wedge\dots\wedge y_s)\mapsto x_1\wedge\dots\wedge x_r\wedge y_1\wedge\dots\wedge y_s$$
を考える（$x_i$ は $(x_i,0)$、$y_j$ は $(0,y_j)$ とみなす）。外積の多重線形性と交代性から $m_b$ は矛盾なく定まる。$E_b,F_b$ の基底 $x_1,\dots,x_r$、$y_1,\dots,y_s$ をとると、左辺の基底 $(x_1\wedge\dots\wedge x_r)\otimes(y_1\wedge\dots\wedge y_s)$ は右辺の基底 $x_1\wedge\dots\wedge y_s$ に移るので、$m_b$ は $1$ 次元空間の間の同型である。線形同型 $a\colon E_b\to V$、$c\colon F_b\to W$ に対し $\bigwedge^{r+s}(a\oplus c)\circ m_b=m\circ(\bigwedge^ra\otimes\bigwedge^sc)$ が生成元の上で確かめられるので、$m$ は自然である。よって prop-vbst-canonical-isos の証明と同じく、局所自明化を通すと $m$ は定数行列 $m_0$ で表され、連続である。lem-vbst-fiberwise-iso により束同型である。自明束 $\varepsilon^k=B\times\mathbb K^k$ は $B$ 全体の上の一つの局所自明化をもつので、$\det\varepsilon^k$ も $B$ 全体の上で $B\times\bigwedge^k\mathbb K^k\cong B\times\mathbb K$ と自明化される。$\square$

写像 $\mu\colon M\otimes M\to S^1\times\mathbb R$ を、ファイバー $M_{t+\mathbb Z}\otimes M_{t+\mathbb Z}$ 上で $[t,v]\otimes[t,w]\mapsto(t+\mathbb Z,vw)$ と線形に定める。代表を $t$ から $t+1$ に替えると $[t+1,-v]\otimes[t+1,-w]\mapsto(-v)(-w)=vw$ なので、$\mu$ は代表によらない。$\mathbb R\otimes\mathbb R\to\mathbb R$、$v\otimes w\mapsto vw$ は線形同型なので、$\mu$ はファイバーごとに同型である。$U_i$ 上の局所自明化 $\phi_i\otimes\phi_i$（prop-vector-bundle-tensor-product）を通すと、$\mu$ は $(t+\mathbb Z,x)\mapsto(t+\mathbb Z,x)$、すなわち恒等写像になるので連続である。lem-vbst-fiberwise-iso により $\mu$ は束同型である。$\square$

$R(\theta)$ を角 $\theta$ の回転行列とし、写像 $\rho\colon M\oplus M\to S^1\times\mathbb R^2$ を
$$\rho\bigl([t,v],[t,w]\bigr):=\Bigl(t+\mathbb Z,\;R(\pi t)\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}\Bigr)$$
で定める。代表を $t+1$ に替えると、$(v,w)$ は $(-v,-w)$ に、$R(\pi t)$ は $R(\pi t+\pi)=-R(\pi t)$ に変わるので、値は変わらない。よって $\rho$ は矛盾なく定まり、各ファイバーで回転行列による線形同型である。$U_i$ 上の局所自明化 $\phi_i\oplus\phi_i$ を通すと、$\rho$ は $(t+\mathbb Z,(v,w))\mapsto(t+\mathbb Z,R(\pi t)(v,w)^{\mathsf T})$（$t$ は $U_i$ に応じた範囲の代表）となり、これは連続である。lem-vbst-fiberwise-iso により $\rho$ は束同型である。$\square$

prop-vbst-det-sum と prop-vbst-canonical-isos により
$$\det(M\oplus\varepsilon^k)\cong\det M\otimes\det\varepsilon^k\cong M\otimes\varepsilon^1\cong M$$
である（階数 $1$ の束では $\bigwedge^1M=M$）。もし $M\oplus\varepsilon^k\cong\varepsilon^{k+1}$ なら、prop-vbst-canonical-isos の 5 により $\det(M\oplus\varepsilon^k)\cong\det\varepsilon^{k+1}\cong\varepsilon^1$ となり、$M\cong\varepsilon^1$ となる。これは $M$ が自明でないことに反する。$\square$