Morse理論

$\lambda=0$ なら $A=N$ で、1 つめは明らかである。$\lambda\ge1$ なら、ハンドル分解 の補題「ハンドルの相対ホモロジー」の 1 により、$A$ は $N\setminus\hat h(S_\lambda)$ と同相で、包含写像 $N\setminus\hat h(S_\lambda)\to N$ はホモトピー同値である。ホモトピー同値写像は任意の係数のホモロジーに同型を引き起こす（Hat02 Corollary 2.11、p. 111。係数付きのホモロジーでも同じ証明で成り立つことは p. 153）ので、1 つめの同型を得る。
2 つめについて、同じ補題の 2（$\lambda=0$ の場合は補題の後半）により、整数係数の相対ホモロジー $H_k(X,A;\mathbb{Z})$ は $k=\lambda$ で $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ であり、どれも自由なので、普遍係数定理（Hat02 Corollary 3A.4、p. 264）により $H_k(X,A;F)\cong H_k(X,A;\mathbb{Z})\otimes F$ となる。

次元定理（像の次元と核の次元の和が定義域の次元）と完全性（$\ker i_k=\operatorname{im}\partial_{k+1}$ など）から
$$ \dim A_k=\operatorname{rank}\partial_{k+1}+\operatorname{rank}i_k,\quad\dim X_k=\operatorname{rank}i_k+\operatorname{rank}j_k,\quad\dim R_k=\operatorname{rank}j_k+\operatorname{rank}\partial_k $$
である。よって $\dim A_k+\dim R_k-\dim X_k=\operatorname{rank}\partial_{k+1}+\operatorname{rank}\partial_k=q_k+q_{k-1}$ であり、$t^k$ を掛けて足すと
$$ P_A+P_R-P_X=\sum_kq_kt^k+\sum_kq_{k-1}t^k=Q(t)+tQ(t) $$
を得る。$q_k$ は階数なので $0$ 以上の整数である。$\square$

段 1（ハンドル分解）． ハンドル分解 の定理「ハンドル分解の存在」により、コンパクトな境界付き多様体の列 $\emptyset=M_{-1},M_0,\dots,M_m$ で、各 $M_i$ が $M_{i-1}$ に $\lambda_i$ ハンドルを付けた多様体と微分同相であり、$M_m$ が $M$ と微分同相で、指数 $\lambda$ のハンドルの個数が $c_\lambda$ であるものがある。とくに $\sum_{i=0}^mt^{\lambda_i}=\mathcal{M}_f(t)$ である。
段 2（1 つのハンドル）． $i$ に関する帰納法で、$H_k(M_i;F)$ が有限次元で $k>n$ で $0$ であることと、
$$ P_{M_{i-1}}(t)+t^{\lambda_i}-P_{M_i}(t)=(1+t)\,Q_i(t)\qquad(\ast) $$
となる係数が $0$ 以上の多項式 $Q_i$ があることを示す。$M_{-1}=\emptyset$ のホモロジーは $0$ である。$M_i$ を $X:=M_{i-1}\cup H^{\lambda_i}$ に置き換えてよい（微分同相な空間のホモロジーは同型）。lem-mt-relative の $A\subset X$ をとると、対 $(X,A)$ の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の定理「対の長完全列」。係数付きでも成り立つ：Hat02 p. 153）
$$ \cdots\to H_{k+1}(X,A;F)\to H_k(A;F)\to H_k(X;F)\to H_k(X,A;F)\to H_{k-1}(A;F)\to\cdots $$
で、$H_k(A;F)\cong H_k(M_{i-1};F)$ は帰納法の仮定により有限次元で $k>n$ で $0$、$H_k(X,A;F)$ は $k=\lambda_i$ で $F$、それ以外で $0$ である。完全性から $H_k(X;F)$ は $H_k(A;F)$ の像と $H_k(X,A;F)$ の部分空間の拡大なので有限次元で、$k>n$ で $0$ である。lem-mt-exact を $A_k=H_k(A;F)$、$X_k=H_k(X;F)$、$R_k=H_k(X,A;F)$ に使うと、$P_A=P_{M_{i-1}}$、$P_R=t^{\lambda_i}$ なので $(\ast)$ を得る。
段 3（足し合わせ）． $(\ast)$ を $i=0,\dots,m$ について足すと、$P_{M_{i-1}}-P_{M_i}$ の和は $P_{M_{-1}}-P_{M_m}=0-P_M$ になるので、
$$ \mathcal{M}_f(t)-P_M(t)=(1+t)\,Q(t),\qquad Q:=\sum_{i=0}^mQ_i $$
であり、1 が示された。
段 4（係数の比較）． 1 の両辺の $t^\lambda$ の係数を比べると、$q_{-1}:=0$ として
$$ c_\lambda-b_\lambda=q_\lambda+q_{\lambda-1}\qquad(\lambda\ge0) $$
である。$(-1)^{\lambda-k}$ を掛けて $k=0,\dots,\lambda$ について足すと、右辺は隣り合う項が打ち消し合い
$$ \sum_{k=0}^\lambda(-1)^{\lambda-k}(c_k-b_k)=\sum_{k=0}^\lambda(-1)^{\lambda-k}(q_k+q_{k-1})=q_\lambda\ \ge0 $$
となる。これが 2 である。3 は $c_\lambda-b_\lambda=q_\lambda+q_{\lambda-1}\ge0$ から従い、$\lambda$ について足せば臨界点の個数の不等式になる。4 は 1 に $t=-1$ を代入すれば $\mathcal{M}_f(-1)=P_M(-1)$ であり、左辺が $\chi(M)$ に等しいことは ハンドル分解 の定理「ハンドル分解と Euler 標数」による。$\square$

prf-mt-inequalities の段 4 の等式 $c_\lambda-b_\lambda=q_\lambda+q_{\lambda-1}$ を使う。各 $\lambda$ について $q_\lambda=0$ を示す。$c_\lambda=0$ なら $-b_\lambda=q_\lambda+q_{\lambda-1}$ で、左辺は $0$ 以下、右辺は $0$ 以上なので $q_\lambda=0$ である。$c_{\lambda+1}=0$ なら、同じことを $\lambda+1$ の等式 $-b_{\lambda+1}=q_{\lambda+1}+q_\lambda$ に使って $q_\lambda=0$ である。仮定によりどの $\lambda$ もどちらかに当たるので $Q=0$ であり、$\mathcal{M}_f(t)=P_M(t)$ である。$\square$

$f$ は $z$ を複素数倍しても変わらないので、$\mathbb{CP}^n$ の上の関数として定まる。$U_k$ の座標では、$s:=1+\sum_{j\ne k}\lvert u_j\rvert^2$ とおいて
$$ f=\frac{k+\sum_{j\ne k}j\,\lvert u_j\rvert^2}{s} $$
であり、滑らかである。$\lvert u_j\rvert^2=x_j^2+y_j^2$ を使って偏微分すると
$$ \frac{\partial f}{\partial x_j}=\frac{2x_j\,(j-f)}{s},\qquad\frac{\partial f}{\partial y_j}=\frac{2y_j\,(j-f)}{s}\qquad(j\ne k) $$
となる。
臨界点． 上の式から、$u_j\ne0$ となる $j$ があれば $f(u)=j$ でなければならず、これが $u\ne0$ では起こりえないことを示す。したがって $U_k$ の中の臨界点は $u=0$ だけで、臨界点は $p_0,\dots,p_n$ である。

prop-mt-cpn の $f$ は $c_{2k}=1$（$0\le k\le n$）、それ以外の $c_\lambda=0$ で、隣り合う指数をもたない。cor-mt-lacunary により $b_\lambda(\mathbb{CP}^n;F)=c_\lambda$ である。$\chi$ は thm-mt-inequalities の 4 による。$\square$

段 1（2 つの臨界点）． $M$ はコンパクトなので $f$ は最小値と最大値をとり、最小点 $p$ と最大点 $q$ はどちらも臨界点である。$f$ が定数なら $M$ のすべての点が臨界点になるが、$n\ge1$ なので $M$ は無限個の点をもち、仮定に反する。よって $f(p)< f(q)$ で、臨界点は $p$、$q$ だけである。Morse関数 の命題「指数と極値」の 1 により $p$ の指数は $0$、$q$ の指数は $n$ である。$f(p)< c< f(q)$ をとる。
段 2（下半分は円板）． $\varepsilon>0$ を $f(p)+\varepsilon< c$ ととる。thm-mt-handle の 2（$\lambda=0$）により、$M^{f(p)+\varepsilon}$ は $M^{f(p)-\varepsilon}=\emptyset$ と $D^n$ の非交和、すなわち $D^n$ と微分同相である。$f^{-1}([f(p)+\varepsilon,c])$ はコンパクト $M$ の閉集合でコンパクトであり、臨界点を含まないので、thm-mt-handle の 1 により $M^c$ は $M^{f(p)+\varepsilon}$ と微分同相である。よって微分同相写像 $\varphi\colon D^n\to M^c$ がある。
段 3（上半分も円板）． $-f$ も Morse 関数で、$q$ は $-f$ の最小点である。段 2 を $-f$ と値 $-c$ に使うと、$N:=\{x\in M\mid f(x)\ge c\}=\{-f\le-c\}$ について微分同相写像 $\psi\colon D^n\to N$ がある。
段 4（境界）． $c$ は正則値なので、$M^c$ と $N$ はどちらも境界 $\Sigma:=f^{-1}(c)$ をもつ境界付き多様体である（境界付き多様体 の定理「正則な劣位集合は境界付き多様体」を $f$ と $-f$ に使う）。微分同相写像は境界を境界に写すので（同じ記事の補題「微分同相写像は縁を縁に写す」と定理「内部の点と境界の点は交わらない」）、$\varphi(S^{n-1})=\Sigma=\psi(S^{n-1})$ である。よって $g:=\psi^{-1}\circ\varphi|_{S^{n-1}}$ は $S^{n-1}$ からそれ自身への同相写像である。
段 5・6（放射状の延長と貼り合わせ）． $g$ を円板 $D^n$ の上の同相写像 $G(rv):=r\,g(v)$ に延ばし、$S^n$ の下半球を $\varphi$ で $M^c$ に、上半球を $\psi\circ G$ で $N$ に写すと、赤道の上で 2 つが一致して、$S^n$ から $M$ への連続な全単射 $h$ が得られる。