Cottonテンソル

1 は定義から直ちにわかる。2：$P$ の対称性を使って 6 項を並べると
$$ (\nabla_ZP)(X,Y)-(\nabla_YP)(X,Z)+(\nabla_XP)(Y,Z)-(\nabla_ZP)(Y,X)+(\nabla_YP)(Z,X)-(\nabla_XP)(Z,Y)=0 $$
である。3：$j,k$ の縮約は 1 から $0$ である。縮約された第 2 Bianchi 恒等式（リッチテンソル の命題「縮約された第2 Bianchi 恒等式」）$\nabla_aR^a{}_{ijk}=\nabla_jR_{ki}-\nabla_kR_{ji}$ の $i,k$ を縮約すると、$g^{ik}R^a{}_{ijk}=R_j{}^a$（曲率テンソルの対称性）から $\nabla_aR_j{}^a=\nabla_jS-\nabla^aR_{ja}$、すなわち $\nabla^aR_{aj}=\frac12\nabla_jS$ を得る。よって $J:=\operatorname{tr}_gP=\frac S{2(n-1)}$ とおくと
$$ \nabla^aP_{aj}=\frac1{n-2}\Bigl(\frac12-\frac1{2(n-1)}\Bigr)\nabla_jS=\frac{\nabla_jS}{2(n-1)}=\nabla_jJ $$
である。したがって $g^{ij}C_{ijk}=\nabla_kJ-\nabla^iP_{ik}=0$、$g^{ik}C_{ijk}=\nabla^iP_{ij}-\nabla_jJ=0$ である。$\square$

$\mathrm{Rm}_{aijk}=R_{aijk}$ であり、縮約された第 2 Bianchi 恒等式を添字を下げて書くと $\nabla^aR_{aijk}=\nabla_jR_{ik}-\nabla_kR_{ij}$ である。$\mathrm{Ric}=(n-2)P+Jg$ を代入すると
$$ \nabla^aR_{aijk}=(n-2)(\nabla_jP_{ik}-\nabla_kP_{ij})+(\nabla_jJ)g_{ik}-(\nabla_kJ)g_{ij} $$
である。一方 $(P\odot g)_{aijk}=P_{aj}g_{ik}+P_{ik}g_{aj}-P_{ak}g_{ij}-P_{ij}g_{ak}$ なので、prf-cotton-algebraic の $\nabla^aP_{aj}=\nabla_jJ$ を使って
$$ \nabla^a(P\odot g)_{aijk}=(\nabla_jJ)g_{ik}+\nabla_jP_{ik}-(\nabla_kJ)g_{ij}-\nabla_kP_{ij} $$
である。引くと $\nabla^aW_{aijk}=(n-3)(\nabla_jP_{ik}-\nabla_kP_{ij})=-(n-3)C_{ijk}$ を得る。Lee18 Proposition 7.32（p. 219）の $\operatorname{tr}_g(\nabla W)=(n-3)C$ と右辺の符号が逆なのは、rem-cotton-convention の Weyl テンソルの流儀の違いによる。$\square$

$\nabla g=0$ と $X|\omega|^2=2(\nabla_X\omega)(\omega^\sharp)$ から
$$ (\nabla_X\Phi_Q(\omega))(Y,Z)=(\nabla_XQ)(Y,Z)+(\nabla_X\omega)(Y)\,\omega(Z)+\omega(Y)\,(\nabla_X\omega)(Z)-(\nabla_X\omega)(\omega^\sharp)\,g(Y,Z) $$
である。$p$ では仮定から $(\nabla_X\omega)(Y)=Q(X,Y)+\omega(X)\omega(Y)-\frac12|\omega|^2g(X,Y)$、$(\nabla_X\omega)(\omega^\sharp)=Q(X,\omega^\sharp)+\frac12|\omega|^2\omega(X)$ である。これらを代入して $X,Y$ を入れ替えたものを引くと、$X,Y$ について対称な項（$Q(X,Y)\omega(Z)$、$\omega(X)\omega(Y)\omega(Z)$、$|\omega|^2g(X,Y)\omega(Z)$ を含む項）は消え、$|\omega|^2$ を含む残りの 4 項も打ち消し合って
$$ (d^\nabla Q)(X,Y;Z)+\omega(Y)Q(X,Z)-\omega(X)Q(Y,Z)-Q(X,\omega^\sharp)g(Y,Z)+Q(Y,\omega^\sharp)g(X,Z) $$
が残る。

$\omega:=d\rho$ とおくと $\omega^\sharp=G$ で、各点で $(\nabla_X\omega)(Y)=\nabla^2\rho(X,Y)=\Phi_A(\omega)(X,Y)$ である。よって lem-cotton-commutator の左辺は $(\nabla^2_{X,Y}\omega-\nabla^2_{Y,X}\omega)(Z)$ に等しく、リッチの恒等式（Riemann曲率テンソル の命題「リッチの恒等式」の 3）によりこれは $-\omega(R(X,Y)Z)=-g(R(X,Y)Z,G)=-\mathrm{Rm}(G,Z,X,Y)$ である。lem-cotton-commutator の右辺と等置すればよい。$\square$

共形変換 の命題「共形変換によるリーマン接続の変化」により $\tilde\nabla_XY=\nabla_XY+D(X,Y)$、$D(X,Y)=(X\rho)Y+(Y\rho)X-g(X,Y)G$ である。対称な $Q$ について $(\tilde\nabla_XQ)(Y,Z)=(\nabla_XQ)(Y,Z)-Q(D(X,Y),Z)-Q(Y,D(X,Z))$ であり、$X,Y$ を入れ替えて引くと $Q(D(X,Y),Z)$ の項は $D$ の対称性で消える。残りを $D$ の定義で展開すると
$$ (d^{\tilde\nabla}Q)(X,Y;Z)=(d^\nabla Q)(X,Y;Z)-(X\rho)Q(Y,Z)+(Y\rho)Q(X,Z)+g(X,Z)Q(Y,G)-g(Y,Z)Q(X,G) $$
となり、後ろの 4 項は prf-cotton-commutator と同じ計算で $-(Q\odot g)(G,Z,X,Y)$ に等しい。$Q=\tilde P=P-A$ を代入し、prop-cotton-identity と $\mathrm{Rm}=W+P\odot g$ を使うと
$$ (d^{\tilde\nabla}\tilde P)(X,Y;Z)=(d^\nabla P)(X,Y;Z)-(P\odot g)(G,Z,X,Y)+\mathrm{Rm}(G,Z,X,Y)=(d^\nabla P)(X,Y;Z)+W(G,Z,X,Y) $$
である。$C(Z,Y,X)=(d^\nabla P)(X,Y;Z)$ なので $\tilde C(Z,Y,X)=C(Z,Y,X)+W(G,Z,X,Y)$、文字を付け替えて $W$ の後ろの 2 つの引数の反対称性を使えば主張を得る。$n=3$ では $W=0$（Weylテンソル の定理「3 次元の曲率テンソル」）なので $\tilde C=C$ である。$\square$

1 ⇒ 2． $p$ の近傍 $U$ と $\rho$ で $\tilde g=e^{2\rho}g$ が平坦なものをとる。$\widetilde{\mathrm{Rm}}=0=0+0\odot\tilde g$ なので、Ricci 分解の一意性（Weylテンソル の定理「Ricci 分解」の 2）から $\tilde W=0$、$\tilde P=0$ であり、したがって $\tilde C=0$ である。$W=e^{-2\rho}\tilde W=0$ で、thm-cotton-conformal から $C=\tilde C+W(G,\cdot,\cdot,\cdot)=0$ である。
2 ⇒ 1． $\tilde P=P-A=0$ となる $\rho$ を探す。$\omega=d\rho$ と書けば、これは $\nabla^2\rho=\Phi_P(d\rho)$、すなわち $\omega$ についての方程式
$$ \nabla_X\omega=\Phi_P(\omega)(X,\cdot)\qquad(X\in\mathfrak X(M)) $$
に $\omega$ が閉形式であるという条件を付けたものである。この 1 次微分形式 $\omega$ についての方程式を方程式 (E) と呼ぶ。
(i) 方程式 (E) は完全積分可能である． リッチの恒等式と可積分条件 の定理「テンソル方程式の可積分条件」を $F(X;\omega):=\Phi_P(\omega)(X,\cdot)$ に当てる。点 $p$、$v\in T_p^*M$ と、$\omega(p)=v$ かつ $p$ で $(\nabla\omega)_p=\Phi_P(v)$ となる $\omega$ をとり、$H(Y):=\Phi_P(\omega)(Y,\cdot)$ とおく。lem-cotton-commutator から、$p$ において
$$ \bigl((\nabla_XH)(Y)-(\nabla_YH)(X)\bigr)(Z)=(d^\nabla P)(X,Y;Z)-(P\odot g)(v^\sharp,Z,X,Y) $$
である。一方 $(R(X,Y)\omega)(Z)=-\omega(R(X,Y)Z)=-\mathrm{Rm}(v^\sharp,Z,X,Y)=-W(v^\sharp,Z,X,Y)-(P\odot g)(v^\sharp,Z,X,Y)$ である。$d^\nabla P(X,Y;Z)=C(Z,Y,X)$ なので、可積分条件は
$$ C(Z,Y,X)+W(v^\sharp,Z,X,Y)=0\qquad(\text{すべての }p,\ v,\ X,Y,Z) $$
であり、$W\equiv0$、$C\equiv0$ のもとで成り立つ。よって方程式 (E) は完全積分可能である。
(ii) 解は閉形式である． $p$ の近傍で方程式 (E) の解 $\omega$ を 1 つとる（たとえば $\omega(p)=0$ のもの）。捩れがないので $d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])=(\nabla_X\omega)(Y)-(\nabla_Y\omega)(X)$ であり、$\Phi_P(\omega)$ が対称なので $d\omega=0$ である。Poincaréの補題 により、$p$ を含む座標球の上で $\omega=d\rho$ となる $\rho$ がある。
(iii) 平坦化． この $\rho$ について $\nabla^2\rho=\Phi_P(d\rho)$ なので $A=\Phi_P(d\rho)-d\rho\otimes d\rho+\frac12|d\rho|^2g=P$、すなわち $\tilde P=P-A=0$ である。また $\tilde W=e^{2\rho}W=0$ である。Ricci 分解から $\widetilde{\mathrm{Rm}}=\tilde W+\tilde P\odot\tilde g=0$ となり、$e^{2\rho}g$ はその座標球の上で平坦である。
最後の主張：$n=3$ では $W\equiv0$ がいつも成り立つ。$n\ge4$ では $W\equiv0$ から $C\equiv0$ が従う（cor-cotton-weyl-zero）。$\square$