Deligneコホモロジー
概要
Deligneコホモロジー（Deligne cohomology）とは、複素多様体 $X$ 上の複体 $\mathbb{Z}(p)\to\mathcal{O}_X\to\cdots\to\Omega^{p-1}_X$（$\mathbb{Z}(p)=(2\pi i)^p\mathbb{Z}$）の超コホモロジー $H^q_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))$ である。$p=1$ では $H^2_{\mathcal D}$ が正則直線束の Picard 群になる。コンパクト Kähler 多様体では $H^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))$ は中間 Jacobi 多様体 $J^p(X)$ による整数係数 Hodge 類の群の拡大であり、射影多様体のサイクルの Deligne 類はサイクル類と Abel–Jacobi 写像の値を併せもつ。
前提知識: 超コホモロジー, Hodge分解, Hodgeフィルトレーション, Picard群
コンパクト Kähler 多様体 $X$ の整数係数コホモロジー $H^{2p}(X,\mathbb{Z})$ は、代数的サイクルの位相的な類（サイクル類写像）を受け止めるが、ホモロジー的に $0$ のサイクルの違いは見えない。その違いは Abel–Jacobi写像 により中間 Jacobi 多様体という複素トーラスの点として測られる。Deligne コホモロジー（Deligne cohomology）$H^{q}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))$ は、整数係数の構造と Hodge フィルトレーションを一つの層の複体にまとめたコホモロジーで、$H^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))$ は中間 Jacobi 多様体による Hodge 類の群の拡大になる。$p=1$ では正則直線束の Picard 群そのものである。
この記事では Deligne 複体と Deligne コホモロジーを定義し、整数係数コホモロジーとの長完全列を導く。主定理として、$\mathbb{Z}(1)$ の Deligne コホモロジーが正則関数の単数群と Picard 群を与えること、およびコンパクト Kähler 多様体で完全列 $0\to J^p(X)\to H^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))\to\operatorname{Hdg}^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))\to0$ が成り立つことを証明する。
定義
以下 $X$ を複素多様体、$\mathcal{O}_X$ を正則関数の層、$\Omega^k_X$ を正則 $k$ 形式の層とする。整数 $p$ について $\mathbb{Z}(p):=(2\pi i)^p\mathbb{Z}\subset\mathbb{C}$ とおき、同じ記号で $X$ 上の定数層も表す。部分環 $A\subset\mathbb{R}$ について $A(p):=(2\pi i)^pA$ とする。$\mathbb{Z}(p)$ を $\mathbb{Z}$ と区別するのは、比較の写像で現れる $2\pi i$ の冪を係数に組み込むためである（Tate捻り）。
$p\ge0$ とする。層の複体
$$
\mathbb{Z}(p)_{\mathcal D}:\quad \mathbb{Z}(p)\longrightarrow\mathcal{O}_X\xrightarrow{\ d\ }\Omega^1_X\xrightarrow{\ d\ }\cdots\xrightarrow{\ d\ }\Omega^{p-1}_X
$$
（$\mathbb{Z}(p)$ を次数 $0$、$\Omega^{k-1}_X$ を次数 $k$ に置き、最初の写像は包含）を Deligne 複体という。$p=0$ では $\mathbb{Z}(0)_{\mathcal D}=\mathbb{Z}$ とする。その超コホモロジー
$$
H^q_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p)):=\mathbf{H}^q\bigl(X,\mathbb{Z}(p)_{\mathcal D}\bigr)
$$
を Deligne コホモロジーという。$\mathbb{Z}(p)$ を $A(p)$ に替えたものを $A(p)_{\mathcal D}$、$H^q_{\mathcal D}(X,A(p))$ と書く。
これは EV87 §1.1 の定義である。打ち切った正則 de Rham 複体を
$$
\Omega^{< p}_X:\quad \mathcal{O}_X\to\Omega^1_X\to\cdots\to\Omega^{p-1}_X\qquad(\text{次数 }0,\dots,p-1)
$$
とすると、包含 $\varepsilon\colon\mathbb{Z}(p)\to\Omega^{< p}_X$（$\mathbb{Z}(p)\subset\mathbb{C}\subset\mathcal{O}_X$）は複体の射であり、Deligne 複体はその写像錐をずらしたもの $\operatorname{Cone}(\varepsilon)[-1]$（下の lem-dc-cone の規約）と同型である。実際 $\operatorname{Cone}(\varepsilon)[-1]$ は次数 $0$ に $\mathbb{Z}(p)$、次数 $k\ge1$ に $\Omega^{k-1}_X$ を置き、微分が $\varepsilon$ と $-d$ の複体なので、次数 $k\ge1$ の項に $(-1)^{k-1}$ を掛ける写像が $\mathbb{Z}(p)_{\mathcal D}$ との同型を与える（EV87 Definition 2.6・2.7 は同じ形の複体を代数多様体の良いコンパクト化の上で定める）。
基本の長完全列
$f\colon M^\bullet\to K^\bullet$ を $X$ 上の下に有界な層の複体の射、$L^\bullet:=\operatorname{Cone}(f)[-1]$（次数 $k$ の項 $M^k\oplus K^{k-1}$、微分 $(m,x)\mapsto(dm,f(m)-dx)$）とする。射影 $L^\bullet\to M^\bullet$ と包含 $K^\bullet[-1]\to L^\bullet$ から、超コホモロジーの長完全列
$$
\cdots\to\mathbf H^{q-1}(X,M^\bullet)\xrightarrow{\ f_*\ }\mathbf H^{q-1}(X,K^\bullet)\to\mathbf H^q(X,L^\bullet)\to\mathbf H^q(X,M^\bullet)\xrightarrow{\ f_*\ }\mathbf H^q(X,K^\bullet)\to\cdots
$$
が得られる。
要点：入射分解に持ち上げた $f$ の写像錐で計算し、連結写像を直接求める。
詳細
$\eta_M\colon M^\bullet\to I^\bullet$、$\eta_K\colon K^\bullet\to J^\bullet$ を入射複体への擬同型（超コホモロジー の定義「複体の入射分解」）とし、同記事の定理「入射複体への射の持ち上げ」により $\tilde f\colon I^\bullet\to J^\bullet$ と、$\tilde f\eta_M-\eta_Kf=dh+hd$ を満たすホモトピー $h\colon M^k\to J^{k-1}$ をとる。$(m,x)\mapsto(\eta_M(m),\eta_K(x)+h(m))$ は、この式により複体の射 $L^\bullet\to\operatorname{Cone}(\tilde f)[-1]$ になる。これは項ごとに分裂する短完全列 $0\to K[-1]\to L\to M\to0$ と $0\to J[-1]\to\operatorname{Cone}(\tilde f)[-1]\to I\to0$ の間の射で、両端は擬同型なので、コホモロジー層の長完全列と五項補題により擬同型である。$\operatorname{Cone}(\tilde f)[-1]$ は各項が入射層の下に有界な複体である。よって $\mathbf H^q(X,L^\bullet)$ は $\Gamma(X,\operatorname{Cone}(\tilde f)[-1])=\operatorname{Cone}(\Gamma\tilde f)[-1]$ のコホモロジーである。アーベル群の複体の、項ごとに分裂する短完全列 $0\to\Gamma J[-1]\to\operatorname{Cone}(\Gamma\tilde f)[-1]\to\Gamma I\to0$ からコホモロジーの長完全列が得られ、その連結写像は、$\Gamma I$ の $q$ 次の輪体 $m$ を $(m,0)$ に持ち上げて微分した $(0,\tilde f(m))$ の第 $2$ 成分、すなわち $\tilde f(m)$ の類を与える。よって連結写像は $f_*$ である。$\square$
$\varepsilon\colon\mathbb{Z}(p)\to\Omega^{< p}_X$ にこの補題を当てると、すべての複素多様体について長完全列
$$
\cdots\to H^{q-1}(X,\mathbb{Z}(p))\xrightarrow{\varepsilon_*}\mathbf H^{q-1}(X,\Omega^{< p}_X)\to H^q_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))\to H^q(X,\mathbb{Z}(p))\xrightarrow{\varepsilon_*}\mathbf H^q(X,\Omega^{< p}_X)\to\cdots
$$
が得られる。これを Deligne コホモロジーの基本列と呼ぶ。ここで $H^q(X,\mathbb{Z}(p))$ は定数層の層コホモロジーで、多様体では特異コホモロジーと一致する（特異コホモロジー）。代数多様体の Deligne–Beilinson コホモロジーについての対応する列は EV87 Corollary 2.10 b) にある（そこでは $\mathbf H^q(X,\Omega^{< p}_X)$ の位置に $H^q(X,\mathbb{C})/F^p$ が来る）。
主定理 1：重さ 1 の場合と Picard 群
複素多様体 $X$ について、指数写像は擬同型 $\mathbb{Z}(1)_{\mathcal D}\to\mathcal{O}_X^\times[-1]$ を与える。したがって
$$
H^q_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(1))\cong H^{q-1}(X,\mathcal{O}_X^\times)
$$
であり、とくに $H^1_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(1))\cong\Gamma(X,\mathcal{O}_X^\times)$（$X$ 上の至るところ $0$ でない正則関数の群）、$H^2_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(1))\cong H^1(X,\mathcal{O}_X^\times)$ である。後者は $X$ 上の正則直線束の同型類の群である。
$\mathbb{Z}(1)_{\mathcal D}$ は次数 $0$ に $2\pi i\mathbb{Z}$、次数 $1$ に $\mathcal{O}_X$ を置いた複体 $2\pi i\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathcal{O}_X$ である。$\mathcal{O}_X^\times$ を次数 $1$ に置いた複体 $\mathcal{O}_X^\times[-1]$ への射を、次数 $0$ では $0$、次数 $1$ では $\exp\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^\times$ で定める。$\exp(2\pi in)=1$ だから $\exp$ と包含の合成は単位元に写り、これは複体の射である。
コホモロジー層を比べる。$\mathbb{Z}(1)_{\mathcal D}$ の次数 $0$ のコホモロジー層は包含の核で $0$、次数 $1$ は $\mathcal{O}_X/2\pi i\mathbb{Z}$ である。$\exp$ はこれを $\mathcal{O}_X^\times$ へ単射に写す（$\exp f=1$ なら $f$ は連結な開集合上で $2\pi i\mathbb{Z}$ の値をとる定数）。全射でもある：$x\in X$ と $\mathcal{O}_X^\times$ の切断 $g$ について、$x$ の座標近傍で $g(x)$ を中心とする $\mathbb{C}^\times$ の円板に値をとる小さな連結近傍をとると、その円板上の対数の分枝 $\log$ について $\log\circ g$ は正則で $\exp(\log\circ g)=g$ である。よって射はコホモロジー層の同型を与え擬同型である。超コホモロジー の命題「擬同型による不変性」と例「単独の層とそのずらし」により $H^q_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(1))\cong\mathbf H^q(X,\mathcal{O}_X^\times[-1])=H^{q-1}(X,\mathcal{O}_X^\times)$ である。$q=1$ では $H^0(X,\mathcal{O}_X^\times)=\Gamma(X,\mathcal{O}_X^\times)$ である。$q=2$ の $H^1(X,\mathcal{O}_X^\times)$ が正則直線束の同型類の群であることは、直線束を局所自明化の変換関数（$\mathcal{O}_X^\times$ に値をもつ $1$ コサイクル）で表すことによる（Picard群 の定理「1次コホモロジーとの同型」、Čechコホモロジー の例「直線束の変換関数」）。$\square$
これは EV87 1.4 ii) の計算である。このとき基本列は指数完全列 $0\to\mathbb{Z}(1)\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^\times\to0$ の長完全列
$$
H^1(X,\mathbb{Z}(1))\to H^1(X,\mathcal{O}_X)\to\operatorname{Pic}(X)\xrightarrow{\ c_1\ }H^2(X,\mathbb{Z}(1))\to H^2(X,\mathcal{O}_X)
$$
と一致する。$\operatorname{Pic}(X)\to H^2(X,\mathbb{Z}(1))$ は第 1 Chern 類（$\mathbb{Z}(1)$ を $\mathbb{Z}$ と同一視すれば通常の $c_1$）である。Deligne コホモロジーは「位相的な類 $c_1$」と「正則な構造」をあわせもつ不変量として直線束を捉えている。
主定理 2：中間 Jacobi 多様体と Hodge 類
以下 $X$ をコンパクト Kähler多様体 とする。$F^pH^k(X,\mathbb{C})$ を Hodge フィルトレーション、すなわち $C^\infty$ 級形式の空間の段 $F^pA^k(X)=\bigoplus_{a\ge p}A^{a,k-a}(X)$ に属する閉形式で代表される類の全体とする（Hodge分解 の系「Hodge–de Rham スペクトル系列の退化と Hodge フィルトレーション」により $F^pH^k=\bigoplus_{a\ge p}H^{a,k-a}(X)$）。$H^k(X,\mathbb{Z}(p))\to H^k(X,\mathbb{C})$ を係数の包含が誘導する写像とする。
$p\ge1$ とする。
$$
J^p(X):=\frac{H^{2p-1}(X,\mathbb{C})}{F^pH^{2p-1}(X,\mathbb{C})+\operatorname{im}\bigl(H^{2p-1}(X,\mathbb{Z}(p))\bigr)},\qquad
\operatorname{Hdg}^{2p}(X,\mathbb{Z}(p)):=\bigl\{\xi\in H^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))\ \big|\ \text{像が }F^pH^{2p}(X,\mathbb{C})\text{ に入る}\bigr\}
$$
とおく。$\operatorname{Hdg}^{2p}$ の元を（整数係数の）Hodge 類という。
$(2\pi i)^p$ 倍は $H^{2p-1}(X,\mathbb{Z})$ の像を $H^{2p-1}(X,\mathbb{Z}(p))$ の像に写し、複素部分空間 $F^p$ を保つので、$J^p(X)$ は $H^{2p-1}(X,\mathbb{C})/(F^p+\operatorname{im}H^{2p-1}(X,\mathbb{Z}))$ と同型な複素トーラスである。後者は Abel–Jacobi写像 の注意「Poincaré 双対による記述」の形である。$H^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))$ の像は $H^{2p}(X,\mathbb{R})$ の実数倍か純虚数倍なので複素共役で $\pm1$ 倍になり、$F^p$ に入ることは $F^p\cap\overline{F^p}=H^{p,p}(X)$ に入ることと同値である。
$X$ をコンパクト Kähler 多様体、$p\ge1$ とする。
- すべての $k$ について、自然な写像 $H^k(X,\mathbb{C})\to\mathbf H^k(X,\Omega^{< p}_X)$ は全射で、核は $F^pH^k(X,\mathbb{C})$ である。
- 完全列
$$ 0\longrightarrow J^p(X)\longrightarrow H^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))\longrightarrow\operatorname{Hdg}^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))\longrightarrow0 $$
がある。右の写像は基本列の $H^{2p}_{\mathcal D}\to H^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))$ である。 - $J^p(X)$ は複素次元 $\tfrac12b_{2p-1}(X)$ のコンパクトな複素トーラスである（$b_k$ は Betti 数）。
2 は EV87 7.8–(7.9) の完全列である（同書は $X$ を滑らかな完備代数多様体とし、Hodge 理論を引用して述べている）。ここでは Hodge分解 と Abel–Jacobi写像 の補題から直接証明する。
1. 層の複体の短完全列 $0\to\Omega^{\ge p}_X\to\Omega^\bullet_X\to\Omega^{< p}_X\to0$（$\Omega^{\ge p}_X$ は次数 $p$ 以上の部分）から超コホモロジーの長完全列
$$
\mathbf H^k(X,\Omega^{\ge p}_X)\xrightarrow{\ \iota_k\ }\mathbf H^k(X,\Omega^\bullet_X)\to\mathbf H^k(X,\Omega^{< p}_X)\to\mathbf H^{k+1}(X,\Omega^{\ge p}_X)\xrightarrow{\ \iota_{k+1}\ }\mathbf H^{k+1}(X,\Omega^\bullet_X)
$$
を得る（超コホモロジー の定理「複体の短完全列と長完全列」）。正則 Poincaré の補題により $\mathbb{C}\to\Omega^\bullet_X$ は擬同型なので $\mathbf H^k(X,\Omega^\bullet_X)=H^k(X,\mathbb{C})$ である（Poincaréの補題 の定理「正則 Poincaré の補題」）。すべての $k$ で $\iota_k$ が単射で像が $F^pH^k$ であることを示せば、1 はこの列から従う。
$\mathcal{A}^{a,b}$ を型 $(a,b)$ の $C^\infty$ 級形式の層とする。Dolbeaultの定理 の系「Dolbeault 分解」により $\Omega^a_X\to\mathcal{A}^{a,\bullet}$ は擬同型で、$\mathcal{A}^{a,b}$ は細層である。複体の射 $\Omega^{\ge p}_X\to F^p\mathcal{A}^\bullet:=\bigoplus_{a\ge p}\mathcal{A}^{a,\bullet-a}$ は、$a$ に関する有限なフィルトレーションの各段で Dolbeault 分解に一致するので、五項補題を段の数について繰り返して擬同型である。各項は細層で $\Gamma$ 非輪状なので（超コホモロジー の命題「非輪状な項をもつ複体」）、$\mathbf H^k(X,\Omega^{\ge p}_X)=H^k(F^pA^\bullet(X))$ であり、$p=0$ の場合と合わせて $\iota_k$ は $H^k(F^pA^\bullet(X))\to H^k(A^\bullet(X))$ になる。その像は定義から $F^pH^k$ である。単射性：$\omega\in F^pA^k(X)$ が閉で $A^\bullet(X)$ の中で完全なら、Abel–Jacobi写像 の補題「完全形式の原始形式の段」（同記事は $X$ を射影的とするが、その証明は Hodge分解 の系「Hodge–de Rham スペクトル系列の退化と Hodge フィルトレーション」の $E_1$ 退化だけを使うので、コンパクト Kähler の $X$ でそのまま通る）により $\omega=d\eta$、$\eta\in F^pA^{k-1}(X)$ と書けるので、$H^k(F^pA^\bullet(X))$ で $0$ である。
2. $\varepsilon\colon\mathbb{Z}(p)\to\Omega^{< p}_X$ は $\mathbb{Z}(p)\to\mathbb{C}\to\Omega^\bullet_X\to\Omega^{< p}_X$ の合成なので、1 により $\varepsilon_*\colon H^k(X,\mathbb{Z}(p))\to\mathbf H^k(X,\Omega^{< p}_X)\cong H^k(X,\mathbb{C})/F^pH^k$ は「$H^k(X,\mathbb{C})$ への写像の後に商をとる写像」である。基本列を $q=2p$ で切り出すと
$$
0\to\operatorname{coker}\bigl(\varepsilon_*\text{ on }H^{2p-1}\bigr)\to H^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))\to\ker\bigl(\varepsilon_*\text{ on }H^{2p}\bigr)\to0
$$
であり、余核は $J^p(X)$、核は $\operatorname{Hdg}^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))$ である。
3. $V:=H^{2p-1}(X,\mathbb{C})$、$F:=F^pV=\bigoplus_{a\ge p}H^{a,2p-1-a}$ とおく。Hodge分解 の定理「Hodge 分解定理」の 1・2 により $\overline F=\bigoplus_{a\le p-1}H^{a,2p-1-a}$ で、$V=F\oplus\overline F$、$\dim_{\mathbb C}F=\tfrac12\dim V$ である。$\lambda\in\{1,i\}$ について、実ベクトル空間の写像 $\lambda H^{2p-1}(X,\mathbb{R})\to V/F$ は単射である：$v=\lambda w$（$w$ 実）が $F$ に入れば $\bar v=\pm v$ も $\overline F$ に入り、$v\in F\cap\overline F=0$。両辺の実次元はともに $b_{2p-1}$ なので同型である。$(2\pi i)^p$ は正の実数と $\lambda=i^p$（$\pm1$ または $\pm i$）の積だから、$\operatorname{im}H^{2p-1}(X,\mathbb{Z}(p))$ は $\lambda H^{2p-1}(X,\mathbb{R})$ の中の格子（$H^{2p-1}(X,\mathbb{Z})$ の捩れでない部分の像を正の実数倍と $\lambda$ 倍したもの）であり、$V/F$ の格子に写る。よって $J^p(X)$ はコンパクトな複素トーラスである。$\square$
例
$X$ が一点なら $\Omega^k_X=0$（$k\ge1$）、$\mathcal{O}_X=\mathbb{C}$ なので、$p\ge1$ で $\mathbb{Z}(p)_{\mathcal D}$ は $\mathbb{Z}(p)\hookrightarrow\mathbb{C}$ である。よって $H^1_{\mathcal D}(\mathrm{pt},\mathbb{Z}(p))=\mathbb{C}/(2\pi i)^p\mathbb{Z}$、ほかは $0$ である。$p=1$ では $\exp$ により $\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}\cong\mathbb{C}^\times=\Gamma(\mathrm{pt},\mathcal{O}^\times)$ で、thm-dc-weight-one と合う。
$p=1$ では $F^1H^1=H^{1,0}$ で $H^1(X,\mathbb{C})/F^1\cong H^{0,1}\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)$ だから $J^1(X)=H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z}(1))$ であり、thm-dc-weight-one により $H^2_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(1))=\operatorname{Pic}(X)$ である。thm-dc-jacobian の完全列は
$$
0\to\operatorname{Pic}^0(X)\to\operatorname{Pic}(X)\xrightarrow{\ c_1\ }\operatorname{Hdg}^2(X,\mathbb{Z}(1))\to0
$$
となる。$\operatorname{Pic}^0(X)$ は $c_1=0$ の直線束の群で、右端の全射性は Hodge分解 の定理「Lefschetz の $(1,1)$ 定理」にほかならない。像 $\operatorname{Hdg}^2$ は Néron–Severi 群（Néron–Severi群）である。$X$ がコンパクト Riemann 面なら、$J^1(X)$ は Serre 双対を通して Jacobi 多様体（Jacobi多様体）と同型な複素トーラスである（Abel–Jacobi写像 の例「低い次元の中間 Jacobi 多様体」の 2 と注意「Poincaré 双対による記述」。この記事では証明しない）。
$X$ を $n$ 次元複素多様体、$p>n$ とする。$\Omega^k_X=0$（$k>n$）なので $\Omega^{< p}_X=\Omega^\bullet_X$ である。次数 $0,1$ に $\mathbb{Z}(p)\hookrightarrow\mathbb{C}$ を置いた複体から $\mathbb{Z}(p)_{\mathcal D}$ への射（$\mathbb{Z}(p)$ では恒等、$\mathbb{C}\subset\mathcal{O}_X$）は、lem-dc-cone の短完全列の間の射で、$\mathbb{Z}(p)$ の部分では恒等、残りの部分では正則 Poincaré の補題の擬同型 $\mathbb{C}\to\Omega^\bullet_X$ なので、擬同型である。$\mathbb{Z}(p)\hookrightarrow\mathbb{C}$ は単射だから、この複体は $(\mathbb{C}/\mathbb{Z}(p))[-1]$ と擬同型で、$H^q_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))\cong H^{q-1}(X,\mathbb{C}/\mathbb{Z}(p))$ を得る。$\mathbb{C}/\mathbb{Z}(p)\cong\mathbb{C}^\times$（$z\mapsto\exp(z/(2\pi i)^{p-1})$）なので、これは $\mathbb{C}^\times$ 係数のコホモロジーである。
反例
thm-dc-jacobian の仮定（コンパクト、Kähler、正則な形式の複体）は一つずつ外せない。次の表で「成り立たなくなること」は、$H^{2p}_{\mathcal D}\to H^{2p}(X,\mathbb{Z}(p))$ の核が次元 $\tfrac12b_{2p-1}$ の複素トーラスになることを指す（$p=1$）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| コンパクト性 | $X=\mathbb{C}^\times$ | 核が次元 $\tfrac12b_1$ の複素トーラス（$b_1=1$ は奇数） |
| Kähler 性 | Hopf 曲面 $(\mathbb{C}^2\setminus\{0\})/\langle z\mapsto2z\rangle$ | 同上（$b_1=1$ は奇数） |
| 正則な関数（$\mathcal{O}_X$）を使うこと | 楕円曲線 $X=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\tau\mathbb{Z})$ で $\mathcal{O}_X$ を $C^\infty$ 級関数の層 $\mathcal{E}_X$ に替える | 核が $0$ になり、$b_1=2$ なのに $1$ 次元のトーラスが現れない |
要点：1・2 行目は Betti 数の偶奇、3 行目は細層のコホモロジーの消滅による。
各行の確認を開く
1 行目：$\mathbb{C}^\times$ は円周にホモトピー同値で $b_1=1$ である。核は基本列により $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ の $H^1(X,\mathbb{Z}(1))$ の像による商で、何であれ複素次元 $\tfrac12$ のトーラスにはなりえない。$\mathbb{C}^\times$ は Kähler 多様体で、正則な複体を使っており、外したのはコンパクト性だけである。
2 行目：Hopf 曲面はコンパクト複素曲面で $b_1=1$ である（Hodge分解 の例「反例：Hopf 曲面」。$b_1$ が奇数なので Kähler でない）。核は基本列により $H^1(X,\mathcal{O}_X)/\operatorname{im}H^1(X,\mathbb{Z}(1))$ で、同記事のとおり $\dim H^1(X,\mathcal{O}_X)=1$、$H^1(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ だから、$\mathbb{C}$ を階数 $1$ 以下の部分群で割ったものになり、コンパクトでない。
3 行目：複体 $\mathbb{Z}(1)\to\mathcal{E}_X$ は、thm-dc-weight-one の証明と同じく $\exp$ により $\mathcal{E}_X^\times[-1]$ と擬同型である（$C^\infty$ 級の非零関数は局所的に $C^\infty$ 級の対数をもつ）。$\mathcal{E}_X$ は細層なので $H^q(X,\mathcal{E}_X)=0$（$q\ge1$）で、指数完全列から $H^1(X,\mathcal{E}_X^\times)\cong H^2(X,\mathbb{Z}(1))$ となり、$H^2$ からの写像の核は $0$ である。一方、楕円曲線はコンパクト Kähler で $b_1=2$ である。正則性を外すと、位相的な情報 $H^2(X,\mathbb{Z}(1))$（$C^\infty$ 級の直線束の分類）しか残らない。
補足：サイクル類と Abel–Jacobi 写像
$X$ を滑らかな射影多様体とすると、余次元 $p$ の代数的サイクル $Z$ に Deligne コホモロジーの類 $\psi(Z)\in H^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))$ が対応し、thm-dc-jacobian の右の写像で $\psi(Z)$ は位相的なサイクル類（サイクル類写像 の定義「位相的なサイクル類写像」の類を $\mathbb{Z}(p)$ 係数に写したもの）に写る。$Z$ がホモロジー的に $0$ なら $\psi(Z)$ は $J^p(X)$ に入り、こうして得られる写像は Griffiths の Abel–Jacobi 写像（Abel–Jacobi写像）と一致する（EV87 §7、Theorem 7.11。この記事では証明しない）。$\psi$ は有理同値で不変で、Chow 環からの環準同型 $\mathrm{CH}^\bullet(X)\to\bigoplus_pH^{2p}_{\mathcal D}(X,\mathbb{Z}(p))$ を与える（同 Corollary 7.7。この記事では証明しない）。積は Deligne 複体の間の積 $\mathbb{Z}(p)_{\mathcal D}\otimes\mathbb{Z}(p')_{\mathcal D}\to\mathbb{Z}(p+p')_{\mathcal D}$ から来る（同 1.2）。
コンパクトでない代数多様体には、良いコンパクト化の上で対数極をもつ形式を使う Deligne–Beilinson コホモロジーがあり、Beilinson の高次レギュレーター写像の値域になる（EV87 §2。この記事では扱わない）。
関連項目
- 前提: 超コホモロジー, Hodge分解, Hodgeフィルトレーション, 特異コホモロジー
- 基礎: Picard群, Dolbeaultの定理, Poincaréの補題
- 応用: Abel–Jacobi写像, サイクル類写像, Jacobi多様体, Néron–Severi群
- 比較: Bettiコホモロジー, Hodge構造, 非可換コホモロジー
参考文献
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