一般化されたSchoenfliesの定理

両側カラー $c$ があれば局所平坦である：$x\in\Sigma$ の $\Sigma$ での近傍 $V$ で $\mathbb{R}^{n-1}$ と同相なもの（$\Sigma\cong S^{n-1}$ から）をとると、$c(V\times(-1,1))$ は $c(\Sigma\times(-1,1))$ の開集合なので $S^n$ の開集合で、$\mathbb{R}^{n-1}\times(-1,1)\cong\mathbb{R}^n$ と同相であり、$\Sigma$ との共通部分は $c(V\times\{0\})$、つまり $\mathbb{R}^{n-1}\times\{0\}$ に対応する。

逆を示す。Jordan–Brouwer の分離定理（Jordan曲線定理、Hat02 Proposition 2B.1, p. 169）により、$S^n\setminus\Sigma$ はちょうど 2 つの成分 $U_1,U_2$ をもち、どちらも開集合で、$\Sigma$ はどちらの境界にも一致する。$x\in\Sigma$ と gs-def-flat の $\varphi\colon U\to\mathbb{R}^n$ をとると、$U\setminus\Sigma$ は 2 つの開いた半空間の逆像 $\varphi^{-1}(H_+)$、$\varphi^{-1}(H_-)$ の和で、それぞれ連結なのでどちらかの成分に入る。両方が同じ $U_i$ に入ると、他方の成分 $U_j$ は $U$ と交わらず、$x$ が $U_j$ の境界にあることに反する。よって $U\cap U_i$ はちょうど一方の半空間の逆像で、$U\cap\overline{U_i}$ はその閉半空間の逆像である。したがって $C_i:=\overline{U_i}=U_i\cup\Sigma$ はコンパクトな $n$ 次元の境界付き多様体で、境界は $\Sigma$ である。

Hat02 Proposition 3.42 により、$C_i$ の開集合 $N_i\supset\Sigma$ と同相写像 $d_i\colon\Sigma\times[0,1)\to N_i$ で $d_i(\Sigma\times\{0\})=\Sigma$ となるものがある。$d_i(\cdot,0)$ は $\Sigma$ の同相写像なので、その逆を第 1 成分に合成して $d_i(x,0)=x$ としてよい。$c(x,t):=d_1(x,t/2)$（$t\ge0$）、$c(x,t):=d_2(x,-t/2)$（$t\le0$）とおく。2 つの閉集合 $\Sigma\times[0,1]$、$\Sigma\times[-1,0]$ の上で連続で $t=0$ で一致するので $c$ は連続であり、$t>0$ の像は $U_1$、$t<0$ の像は $U_2$ に入るので単射である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射なので $c$ は埋め込みである。

$N:=c(\Sigma\times(-1,1))=d_1(\Sigma\times[0,\tfrac12))\cup d_2(\Sigma\times[0,\tfrac12))$ が開集合であることを示す。$d_i(\Sigma\times[0,\tfrac12))$ は $C_i$ の開集合なので、$S^n$ の開集合 $O_i$ で $d_i(\Sigma\times[0,\tfrac12))=C_i\cap O_i$ となるものがある。$\Sigma$ の点は $O_1\cap O_2$ に入り、$O_1\cap O_2\subset(C_1\cap O_1)\cup(C_2\cap O_2)=N$ である（$S^n=C_1\cup C_2$）。$\Sigma$ の外の点は、$U_i$ の開集合 $d_i(\Sigma\times(0,\tfrac12))$ の中にある。よって $N$ は開集合で、$c$ は両側カラーである。

最後の主張：任意の両側カラー $c$ について、$c(\Sigma\times(0,1])$ は連結で $\Sigma$ と交わらないので一方の成分に入り、$c(\Sigma\times[-1,0))$ も同様である。両方が同じ成分に入ると、他方の成分は開集合 $c(\Sigma\times(-1,1))$ と交わらず、$\Sigma$ がその境界であることに反する。

$\psi\colon D^n\to B$ を同相写像とする。$\psi^{-1}(L)$ は $\operatorname{int}D^n$ のコンパクト集合なので、ある $0< r<1$ で $\lvert\psi^{-1}(L)\rvert\le r$ となる。$0< t< r$ について、$z\in S^{n-1}$ に対し $\rho_t(sz):=(t/r)s\,z$（$0\le s\le r$）、$\rho_t(sz):=\bigl(t+(1-t)(s-r)/(1-r)\bigr)z$（$r\le s\le1$）とおくと、半径を単調に写すので $\rho_t$ は $D^n$ の同相写像で、$S^{n-1}$ 上で恒等写像、$\rho_t(rD^n)=tD^n$ である。$\sigma_t:=\psi\rho_t\psi^{-1}$ を $B$ 上で、恒等写像を $S^n\setminus\mathring B$ 上で考えると、2 つの閉集合の共通部分 $\partial B$ で一致するので $S^n$ の連続な全単射を貼り合わせて得る。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相写像である。$\sigma_t(L)\subset\psi(tD^n)$ で、$\psi$ は一様連続だから $t\to0$ で $\operatorname{diam}\psi(tD^n)\to0$ となる。小さい $t$ をとればよい。

同相写像の列 $h_0=\mathrm{id},h_1,h_2,\dots$ を帰納的に作る。$h_{k-1}$ ができたとき、閉 $n$ 胞体 $h_{k-1}(B_k)$ の内部にあるコンパクト集合 $h_{k-1}(B_{k+1})$ に gs-lem-shrink を当てて、$h_{k-1}(\mathring B_k)$ の外で恒等写像、$h_{k-1}(B_k)$ を保ち、$\operatorname{diam}\sigma_k\bigl(h_{k-1}(B_{k+1})\bigr)<1/k$ となる $\sigma_k$ をとり、$h_k:=\sigma_kh_{k-1}$ とおく。すると $h_k$ は $\mathring B_k$ の外で $h_{k-1}$ に一致し、$\operatorname{diam}h_k(B_{k+1})<1/k$ である。

$l\ge k$ について、$h_l$ は $\mathring B_{k+1}$ の外で $h_k$ に一致し、$h_l(B_{k+1})=h_k(B_{k+1})$ である。

したがってすべての点 $x$ で（$\mathring B_{k+1}$ の外では両者が一致し、$B_{k+1}$ の点では両者とも $h_k(B_{k+1})$ に入るので）$\lvert h_l(x)-h_k(x)\rvert\le\operatorname{diam}h_k(B_{k+1})<1/k$ となり、$h_k$ は一様収束する。極限 $G$ は連続で、$\mathring B_1$ の外で恒等写像である。各 $h_k$ は $B_1$ を保つので $G(B_1)\subset B_1$ であり、$B_1$ 上の全射 $h_k|_{B_1}$ の一様極限なので $G(B_1)=B_1$ である（$y\in B_1$ について $h_k(x_k)=y$ となる $x_k$ の収束部分列の極限 $x$ が $G(x)=y$ を満たす）。したがって $G$ は全射である。

$x\notin X$ なら、ある $k$ で $x\notin B_{k+1}$ となり、$l\ge k$ で $h_l(x)=h_k(x)$ だから $G(x)=h_k(x)$ である。$x\in X$ なら、$l\ge k$ で $h_l(x)\in h_k(B_{k+1})$ なので $G(x)\in h_k(B_{k+1})$ である。集合 $h_k(B_{k+1})$ は $k$ について減少し（$h_{k+1}(B_{k+2})\subset h_{k+1}(B_{k+1})=h_k(B_{k+1})$）、直径が $0$ に近づくので、共通部分はただ 1 点 $m$ で、$G(X)=\{m\}$ である。$x,y\notin X$ が異なれば、両方が $B_{k+1}$ の外にある $k$ をとると $G(x)=h_k(x)\ne h_k(y)=G(y)$ である。$x\notin B_{k+1}$ なら $G(x)=h_k(x)\notin h_k(B_{k+1})\ni m$ である。

最後に、$G$ は商空間 $S^n/X$ から $S^n$ への連続な全単射を引き起こす（商空間(位相)）。$S^n/X$ はコンパクト、$S^n$ は Hausdorff なので、これは同相写像である。

$z$ からの立体射影に平行移動を合成し、同相写像 $s\colon S^n\setminus\{z\}\to\mathbb{R}^n$ で $s(p)=0$ となるものをとる。$s(K)$ は有界なので、ある $R$ で $s(K)$ は開球体 $\{\lvert y\rvert< R\}$ に入る。$0< r< R$ を $s^{-1}(\{\lvert y\rvert< r\})\subset W$ となるようにとる。狭義単調増加な全単射 $\lambda\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ を、$[0,r/3]$ 上で $\lambda(t)=t$、$[r/3,R]$ 上で $r/3$ から $2r/3$ への 1 次関数、$[R,\infty)$ 上で $\lambda(t)=t-R+2r/3$ と定め、$\rho(y):=\lambda(\lvert y\rvert)\,y/\lvert y\rvert$（$\rho(0)=0$）とおくと、$\rho$ は $\mathbb{R}^n$ の同相写像である（逆写像は $\lambda^{-1}$ で同じ形に書ける）。$h:=s^{-1}\rho s$、$h(z)=z$ とおく。$\lvert\rho(y)\rvert\ge\lvert y\rvert-R$ なので $h$ は $z$ でも連続で、逆写像も同様に連続である。$V:=s^{-1}(\{\lvert y\rvert< r/3\})$ 上で $h$ は恒等写像で、$s(K)$ の点 $y$ は $\lvert\rho(y)\rvert<2r/3$ を満たすので $h(K)\subset W$ である。$r$ を小さくとれば、$V$ を $p$ の任意の近傍の中にとれる。

非自明なファイバーは $\mathring Q$ にあるので、$F$ は $\partial Q$ 上で単射で、$F(\partial Q)\cap F(\mathring Q)=\emptyset$ である。$F(\partial Q)$ は $S^{n-1}$ と同相なので、Jordan–Brouwer の分離定理（Jordan曲線定理）により $S^n\setminus F(\partial Q)$ はちょうど 2 つの開いた成分 $U_1,U_2$ をもつ。連結な $F(\mathring Q)$ はその一方、たとえば $U_1$ に入る。非自明なファイバーの像の有限集合を $P$ とする。$F$ は開集合 $\mathring Q\setminus F^{-1}(P)$（$\mathring Q\cong\operatorname{int}D^n$ の開集合）の上で単射で、像は $S^n\setminus\{q\}$（$q\in F(\partial Q)$）に入るので、$q$ からの立体射影と 領域不変性 により $F(\mathring Q)\setminus P$ は開集合である。一方 $F(\mathring Q)=F(Q)\cap U_1$ は $U_1$ の閉集合である。$n\ge2$ なので連結な開集合 $U_1$ から有限個の点を除いた $U_1\setminus P$ も連結であり（道が $P$ の点を通るときは、その点のまわりの小さな球体の中で迂回できる）、$F(\mathring Q)\setminus P$ はその空でない開かつ閉な部分集合だから（$F^{-1}(P)$ はコンパクト、$\mathring Q$ はコンパクトでないので空でない）、$U_1\setminus P$ 全体に一致する。$F(\mathring Q)$ は $U_1$ で閉じていて $U_1\setminus P$ は $U_1$ で稠密だから $F(\mathring Q)=U_1$ である。最後に $S^n\setminus F(Q)=S^n\setminus(U_1\cup F(\partial Q))=U_2$ である。

$p:=F(M)$ とおく。gs-lem-image により $F(\mathring Q)$ は開集合で、$z\in S^n\setminus F(Q)$ がとれる。$W:=F(\mathring Q)\setminus F(Q\setminus O)$ は $p$ を含む開集合で、$W\subset F(O)$ である（$W$ の点 $F(x)$、$x\in\mathring Q$ は $x\notin Q\setminus O$ を満たす）。gs-lem-push を $K=F(Q)$ と上の $z$ に当てて、$p$ の開近傍 $V$ の上で恒等写像で $h(F(Q))\subset W$ となる同相写像 $h$ をとる。

$F$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像であり、$Q\setminus M=F^{-1}\bigl(F(Q)\setminus\{p\}\bigr)$ への制限も像の上への閉写像である。よって $F$ の制限 $F_0$ は $Q\setminus M$ から $F(Q)\setminus\{p\}$ への同相写像で、その逆を $F_0^{-1}$ と書く。$G\colon Q\to S^n$ を $$G(x)=x\quad(x\in M),\qquad G(x)=F_0^{-1}\bigl(h(F(x))\bigr)\quad(x\in Q\setminus M)$$ で定める。$x\notin M$ なら $F(x)\ne p=h(p)$ なので $h(F(x))\in W\setminus\{p\}\subset F(O)\setminus\{p\}$ であり、$G$ は定義できて $G(Q\setminus M)\subset O\setminus M$ となる。$M$ の開近傍 $F^{-1}(V)$ の上では $h(F(x))=F(x)$ なので $G$ は恒等写像であり、$G$ は連続である。$G$ は単射なので、閉 $n$ 胞体 $Q$ の埋め込みであり、$B:=G(Q)$ は閉 $n$ 胞体で $B\subset O$ を満たす。さらに $\mathring B=G(\mathring Q)\supset G\bigl(F^{-1}(V)\cap\mathring Q\bigr)=F^{-1}(V)\cap\mathring Q\supset M$ である。

胞体的であること：$O_1:=\mathring Q$ から閉 $n$ 胞体 $B_1$ を作り、$B_k$ ができたら $O:=\mathring B_k\cap\{x\mid\operatorname{dist}(x,M)<1/(k+1)\}$ に当てて $B_{k+1}$ を作ると、$B_{k+1}\subset\mathring B_k$ で $\bigcap_kB_k=M$ となる。

$h(b)\in W\setminus\{a\}$ なので $G(K_-)=\{f_0^{-1}(h(b))\}$ は 1 点である。$Q\setminus(K_+\cup K_-)$ 上で $G$ は単射の合成なので単射で、値は $S^n\setminus(K_+\cup K_-)$ にあり、$h(f(x))\ne h(b)$ だから $G(K_-)$ の点とも異なる。$K_+$ 上で $G$ は恒等写像で、その値 $K_+$ は他の点の値と交わらない。