余極限(圏論)
概要
余極限(圏論)（colimit）とは、小圏 $\mathcal J$ を添字とする図式 $D$ からの余錐 $(C,(\iota_j)_j)$ で、任意の余錐 $(X,(\lambda_j)_j)$ に対して $u\circ\iota_j=\lambda_j$ を満たす射 $u:C\to X$ がただ一つ存在するものであり、極限と双対な概念である。始対象・余積・余等化子・押し出しはその特別な場合で、余極限は余錐を保つ同型を除いて一意である。すべての小さい余積と余等化子をもつ圏はすべての小さい余極限をもち、左随伴は余極限を保つ。添字圏が終対象をもてば余極限はそこでの値であり、二重の添字の余極限は一変数ずつ順にとってよいが、余極限と極限は一般に交換しない。
定義
余極限は、図式の各対象から出る写像を、整合条件を保ったまま一つにまとめる普遍的な対象である。以下、$\mathcal J$ は小さい圏、$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ は 関手 とする。小さいとは対象と射が集合をなすこと、関手とは対象と射を移し、恒等射と合成を保つ対応である。Rie16 §3.1
頂点 $X$ を持つ $D$ からの余錐（cocone）は、各対象 $j$ に射 $\lambda_j\colon D(j)\to X$ を与え、任意の射 $\alpha\colon j\to k$ について
$$
\lambda_k\circ D(\alpha)=\lambda_j
$$
を満たすものである。すべての対象を $X$、すべての射を $\operatorname{id}_X$ に送る定値関手を $\Delta X$ と書くと、これは 自然変換 $D\Rightarrow\Delta X$ である。
余極限（colimit）とは余錐 $(C,(\iota_j)_j)$ で、任意の余錐 $(X,(\lambda_j)_j)$ に対し、
$$
u\circ\iota_j=\lambda_j\quad\text{for all }j
$$
を満たす射 $u\colon C\to X$ がただ一つ存在するものをいう。$C=\operatorname{colim}_{\mathcal J}D$ と書くが、余極限には脚 $\iota_j$ の指定も含まれる。
余極限からの射を作るには、図式の各部分からの射を作って、重なりや関係に沿って一致することを確かめればよい。これが貼り合わせや商構成を統一する見方である。
例と反例
$\mathcal J$ が空なら、条件は任意の $X$ への射 $C\to X$ がただ一つあることになる。このような $C$ を 始対象 という。集合の圏では空集合 $\emptyset$ が始対象である。空集合からの写像には値を指定する元が一つもなく、空の対応が唯一の写像となる。
二対象と恒等射だけからなる図式の余極限を 余積(圏論) という。集合 $A,B$ の余積は、タグを付けた非交和
$$
A\sqcup B=(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})
$$
である。写像 $a\colon A\to X,\ b\colon B\to X$ に対し、$u(a_0,0)=a(a_0),\ u(b_0,1)=b(b_0)$ とすれば写像 $A\sqcup B\to X$ が一意に定まる。
$A=B=\{0\}$ の普通の和集合は一元集合だが、余積ではない。二つの写像 $a,b\colon\{0\}\to\{0,1\}$ を $a(0)=0,\ b(0)=1$ とすると、一元集合 $A\cup B$ からの一つの写像では両方を同時に延長できない。余積のタグは、元がたまたま等しくても出所を区別するために必要である。
集合の写像 $f,g\colon A\rightrightarrows B$ に対し、すべての $a\in A$ について $f(a)\sim g(a)$ を含む最小の 同値関係 $\sim$ を取り、商写像 $q\colon B\to B/{\sim}$ を考える。これを 余等化子 という。
写像 $h\colon B\to X$ が $hf=hg$ を満たすとき、「$h$ の値が等しい」という同値関係は生成関係を含むので、$\sim$ も含む。従って $u([b])=h(b)$ は well-defined で、$uq=h$ を満たす。$q$ は全射なので $u$ は唯一である。平行二射への余錐の $A$ 成分は $hf=hg$ により定まるため、これが余極限の性質である。
図式 $A\xleftarrow f C\xrightarrow g B$ の余極限を 押し出し という。集合の圏では、$A\sqcup B$ で $(f(c),0)$ と $(g(c),1)$ を同一視して得る商集合である。
$a\colon A\to X,\ b\colon B\to X$ が $af=bg$ を満たすと、非交和上の写像はすべての生成関係で値が等しいので商へ一意に降りる。逆に商からの写像はこの等式を満たす二つの写像を与える。
基本性質と作り方
同じ図式の二つの余極限 $(C,\iota),(C',\iota')$ の間には、$u\iota_j=\iota'_j$ を満たす同型 $u\colon C\to C'$ がただ一つある。
$C$ の普遍性で $u\colon C\to C'$、$C'$ の普遍性で $v\colon C'\to C$ を得る。$vu\iota_j=v\iota'_j=\iota_j$ なので、$C$ の唯一性から $vu=\operatorname{id}_C$ である。同様に $uv=\operatorname{id}_{C'}$ となる。$u$ の唯一性も普遍性から従う。$\square$
すべての小さい余積と、任意の平行二射の余等化子を持つ圏は、すべての小さい余極限を持つ。
図式 $D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ に対し、
$$
P=\coprod_{j\in\operatorname{Ob}\mathcal J}D(j),\qquad
Q=\coprod_{\alpha:j\to k}D(j)
$$
を取り、$D(j)\to P$ を $i_j$ と書く。$s,t\colon Q\rightrightarrows P$ を、$\alpha:j\to k$ に対応する $D(j)$ 上でそれぞれ
$$
s_\alpha=i_j,\qquad t_\alpha=i_kD(\alpha)
$$
と定める。ここでは二つの写像の出発点を合わせるため、$Q$ に射の始域の $D(j)$ を並べている。
余等化子 $q\colon P\to C$ を取り $\iota_j=qi_j$ とすると、$qs=qt$ より余錐になる。任意の余錐 $\lambda_j\colon D(j)\to X$ は、余積の普遍性によりただ一つの $h\colon P\to X$ を定める。余錐条件から $hs=ht$ なので、ただ一つの $u\colon C\to X$ が存在して $uq=h$ となる。従って $u\iota_j=\lambda_j$ である。逆にこの等式から余積の唯一性により $uq=h$ が従い、余等化子の唯一性により $u$ が一意となる。$\square$
集合の圏では、この構成は「すべての $D(j)$ の非交和を取り、$(j,x)$ と $(k,D(\alpha)x)$ を同一視する」という具体式になる。存在と一意性の証明は上の構成で同時に与えられている（Rie16 Theorem 3.5.11, p. 112、Proposition 3.6.1, p. 115）。同一視に使う同値関係の具体的な作り方は 余等化子 の命題「集合における一般構成」にある。
随伴との関係
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal A,\ G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ に両変数で自然な全単射
$$
\Phi_{Y,X}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(FY,X)
\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y,GX)
$$
があるとき、$F$ を左随伴という（随伴関手）。$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ の余極限 $(C,\iota)$ が存在すれば、$(FC,F\iota)$ は $FD$ の余極限になる。
余錐 $\lambda_j\colon FD(j)\to X$ を $\bar\lambda_j=\Phi_{D(j),X}(\lambda_j)$ に移す。第1変数に関する自然性から $\bar\lambda_k D(\alpha)=\bar\lambda_j$ なので、$C$ の普遍性によりただ一つの $h\colon C\to GX$ が存在して $h\iota_j=\bar\lambda_j$ となる。$u=\Phi^{-1}_{C,X}(h)$ とすれば、自然性から $uF\iota_j=\lambda_j$ である。逆にそのような $u$ は $\Phi$ によって同じ $h$ に移るので唯一である。$\square$
この保存定理は Rie16 Theorem 4.5.2（p. 158）にある。左随伴だから元の圏のすべての余極限が存在する、という主張ではない。右随伴は一般に余極限を保たない。たとえばアーベル群の圏から集合の圏への忘却関手は自由アーベル群をとる関手の右随伴だが、下の反例の表のとおり余積を保たない。
余極限の計算規則
頂点 $X$ の余錐全体の集合を $\operatorname{Cocone}(D,X)$ と書く。余錐 $(C,\iota)$ が余極限であることは、任意の対象 $X$ について写像
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(C,X)\longrightarrow\operatorname{Cocone}(D,X),\qquad u\longmapsto(u\circ\iota_j)_j
$$
が全単射であることと同じである（全射が因子化の存在、単射が一意性にあたる）。$\operatorname{Cocone}(D,X)$ は集合値の関手 $j\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(D(j),X)$（$\mathcal J^{\mathrm{op}}$ 上の関手）の極限と一致するので、これは $X$ について自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\operatorname{colim}_{\mathcal J}D,X)\cong\lim_{j\in\mathcal J^{\mathrm{op}}}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(D(j),X)
$$
と書ける（Rie16 Theorem 3.5.6, p. 111）。以下の証明では、余極限からの射を「余錐を一つ与えること」と読み替えて使う。
添字圏 $\mathcal J$ が終対象 $t$ をもつとし、$j\in\mathcal J$ から $t$ への唯一の射を $!_j$ と書く。任意の図式 $D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ について、$(D(t),(D(!_j))_{j})$ は $D$ の余極限である。
余錐であること：射 $\alpha\colon j\to k$ について、$!_k\circ\alpha$ と $!_j$ はともに $j\to t$ の射なので等しい。関手性から $D(!_k)\circ D(\alpha)=D(!_j)$ である。
普遍性：余錐 $(X,(\lambda_j)_j)$ を任意にとり、$u=\lambda_t$ とおく。余錐の条件を射 $!_j\colon j\to t$ に使うと $\lambda_t\circ D(!_j)=\lambda_j$、すなわち $u\circ D(!_j)=\lambda_j$ である。一意性：$u'\circ D(!_j)=\lambda_j$ がすべての $j$ で成り立つなら、$j=t$ とすると $!_t=\operatorname{id}_t$ なので $u'=\lambda_t=u$ である。$\square$
たとえば $0\to1\to\cdots\to n$ という有限の列の余極限は最後の $D(n)$ であり、最大の元をもつ有向集合の上の余極限はその元での値である。この命題は極限についての Rie16 Exercise 3.1.vii（p. 92）の双対であり、上の証明はその解にあたる。
図式 $D,D'\colon\mathcal J\to\mathcal C$ が余極限 $(C,\iota)$、$(C',\iota')$ をもち、$\alpha\colon D\Rightarrow D'$ を自然変換とする。このとき
$$
\bar\alpha\circ\iota_j=\iota'_j\circ\alpha_j\qquad(j\in\mathcal J)
$$
を満たす射 $\bar\alpha\colon C\to C'$ がただ一つある。さらに、余極限をもつ $D''$ への自然変換 $\beta\colon D'\Rightarrow D''$ について $\overline{\beta\alpha}=\bar\beta\circ\bar\alpha$ であり、$\overline{\operatorname{id}_D}=\operatorname{id}_C$ である。
射 $f\colon j\to k$ について、$\alpha$ の自然性 $\alpha_k\circ D(f)=D'(f)\circ\alpha_j$ と $\iota'$ が余錐であることから
$$
\iota'_k\circ\alpha_k\circ D(f)=\iota'_k\circ D'(f)\circ\alpha_j=\iota'_j\circ\alpha_j
$$
である。よって $(\iota'_j\alpha_j)_j$ は $D$ からの余錐であり、$C$ の普遍性から $\bar\alpha$ がただ一つ定まる。合成については $\bar\beta\bar\alpha\iota_j=\bar\beta\iota'_j\alpha_j=\iota''_j\beta_j\alpha_j$ なので、$\bar\beta\bar\alpha$ は $\overline{\beta\alpha}$ を定める条件を満たし、一意性から等しい。恒等変換については $\operatorname{id}_C$ が条件を満たす。$\square$
すべての $\mathcal J$ 型の図式に余極限が一つずつ選んであれば、この命題により $\operatorname{colim}$ は関手圏 $\mathcal C^{\mathcal J}$ から $\mathcal C$ への関手になる（極限についての Rie16 Proposition 3.3.1, p. 98 の双対）。
$\mathcal I,\mathcal J$ を小さい圏、$F\colon\mathcal I\times\mathcal J\to\mathcal C$ を関手とし、各 $i$ について $F(i,-)$ の余極限 $(G(i),(\kappa_{i,j})_j)$ が存在するとする。
- 射 $f\colon i\to i'$ に対し、$G(f)\circ\kappa_{i,j}=\kappa_{i',j}\circ F(f,\operatorname{id}_j)$ で定まる射により、$G$ は関手 $\mathcal I\to\mathcal C$ になる。
- $G$ の余極限 $(C,(\lambda_i)_i)$ が存在すれば、$(C,(\lambda_i\circ\kappa_{i,j})_{(i,j)})$ は $F$ の余極限である。
- $f\colon i\to i'$ に対し、$(F(f,\operatorname{id}_j))_j$ は $F$ の関手性により自然変換 $F(i,-)\Rightarrow F(i',-)$ である。prop-colimit-category-ordinary-functorial により $G(f)$ がただ一つ定まり、同じ命題の後半から $G$ は恒等射と合成を保つ。
- 余錐であること：射 $(f,g)\colon(i,j)\to(i',j')$ は $F(f,g)=F(f,\operatorname{id}_{j'})\circ F(\operatorname{id}_i,g)$ と分かれる。
$$ \lambda_{i'}\kappa_{i',j'}F(f,\operatorname{id}_{j'})F(\operatorname{id}_i,g)=\lambda_{i'}G(f)\kappa_{i,j'}F(\operatorname{id}_i,g)=\lambda_{i'}G(f)\kappa_{i,j}=\lambda_i\kappa_{i,j} $$
で、一つ目の等号は $G(f)$ の定義、二つ目は $\kappa_{i,-}$ が $F(i,-)$ からの余錐であること、三つ目は $\lambda$ が $G$ からの余錐であることによる。
普遍性：$F$ からの余錐 $(X,(\mu_{i,j}))$ をとる。$i$ を固定すると $(\mu_{i,j})_j$ は $F(i,-)$ からの余錐なので、$v_i\kappa_{i,j}=\mu_{i,j}$ となる $v_i\colon G(i)\to X$ がただ一つある。$f\colon i\to i'$ について、すべての $j$ で
$$ v_{i'}G(f)\kappa_{i,j}=v_{i'}\kappa_{i',j}F(f,\operatorname{id}_j)=\mu_{i',j}F(f,\operatorname{id}_j)=\mu_{i,j}=v_i\kappa_{i,j} $$
なので、$G(i)$ の普遍性の一意性から $v_{i'}G(f)=v_i$ である。よって $(v_i)$ は $G$ からの余錐で、$u\lambda_i=v_i$ となる $u\colon C\to X$ がただ一つあり、$u\lambda_i\kappa_{i,j}=\mu_{i,j}$ を満たす。逆に $u'$ がこの等式を満たせば、各 $i$ で $u'\lambda_i$ は $v_i$ の条件を満たすので $u'\lambda_i=v_i$、したがって $u'=u$ である。$\square$
$\mathcal I$ と $\mathcal J$ の役割を入れ替えても同じことが言えるので、両方の順序の反復余極限が存在すれば、それらはともに $\mathcal I\times\mathcal J$ 上の余極限であり、prop-colimit-category-ordinary-unique により同型である。これは極限についての Rie16 Theorem 3.8.1（p. 125）の双対である。余極限と極限を入れ替えることは一般にはできない（下の表の最後の行）。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 余錐の頂点となる上界がある | 正の整数の順序圏の $1\to2\to3\to\cdots$ | 余極限が存在する |
| 関手が左随伴 | 忘却関手 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Set}$ と $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ | 余積を保つ |
| 添字圏が終対象をもつ | 二対象の離散圏、$D(a)=D(b)=\{*\}$ | 余極限がある対象での値に一致する |
| 同じ種類の普遍性どうしの交換 | 添字は二対象の離散圏 $\{0,1\}$、値は順序集合 $\{0< 1\}$ で $f(x,y)=1$（$x=y$）、$0$（$x\neq y$） | 余極限と極限を入れ替えても同じ |
2 行目：集合の余積では、すべての元がどれかの構造写像の像に入る。$\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ の台集合 $\mathbb Z\times\mathbb Z$ で、元 $(1,1)$ は二つの包含 $n\mapsto(n,0)$、$n\mapsto(0,n)$ のどちらの像にも入らない。実際、二つの定値写像 $0$ から $\{0,1\}$ への延長は、定値写像 $0$ と、二つの像の和の外で $1$ をとる写像の二つがあり、一意でない。3 行目：余極限は非交和 $\{*\}\sqcup\{*\}$（二元集合）で、どちらの一元集合とも同型でない。4 行目：順序集合を圏とみると、離散圏で添字づけた余極限は上限、極限は下限なので、$\sup_x\inf_yf(x,y)=\sup\{0,0\}=0$ だが $\inf_y\sup_xf(x,y)=\inf\{1,1\}=1$ である。
補足
極限との双対性と存在
圏の射をすべて反転した 反対圏 を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ と書く。余錐 $D(j)\to C$ とその普遍性を反転すると、$D^{\mathrm{op}}\colon\mathcal J^{\mathrm{op}}\to\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の極限（極限(圏論)）の定義になる。これが極限と余極限の双対性である。どちらも常に存在するとは限らない。例えば正の整数の順序圏では、$1\to2\to3\to\cdots$ の余錐の頂点は全正整数の上界を要するが、そのような正整数はない。
豊穣圏での余極限
Hom がモノイダル圏 $\mathcal V$ の対象である豊穣圏では、余錐の普遍性も Hom 対象の同型として扱う。さらに重みが、各対象をどう組み合わせるかを指定する重み付き余極限を用いる。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ の定値一点の重みでは、本記事の余錐と一意な因子化が得られる。台圏における普通の余極限と、豊穣余極限が自動的に同じとは限らない。詳説は 余極限(豊穣圏) で扱う。Kel82 §§3.1, 3.4, 3.8
∞圏での余極限
準圏モデルでは図式は単体的写像 $p\colon K\to\mathcal C$、余錐は右に頂点を加える延長 $K\star\Delta^0\to\mathcal C$ である。余錐の準圏 $\mathcal C_{p/}$ の始対象を余極限と定義する。これは他の余錐への射の空間が可縮、すなわちホモトピー的に一点と同じであることを要求する。HTT09 §§1.2.12–1.2.13
普通の圏の図式を脈体で移した場合は、離散的な射の空間が可縮であることは「射がただ一つ」に戻る。一方、一般の空間を扱うときには、単なる集合の商だけでは同一視に伴うホモトピーの情報を表せない。詳説は 余極限(∞圏) で扱う。
関連項目
参考文献
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