特定点位相

1．有限集合は、相対開被覆から各点を含む元を一つずつ選べば有限部分被覆を得るのでコンパクトである。$K$ を無限集合とする。$p\notin K$ なら、任意の $B\subset K$ について $B=K\cap(\{p\}\cup B)$ は相対開集合なので $K$ は離散であり、一点集合による被覆が有限部分被覆をもたない。$p\in K$ なら、$\{\{p,q\}\mid q\in K\setminus\{p\}\}$ は $K$ を覆う開集合族だが、有限個の合併は有限集合なので $K$ を覆わない。可算コンパクト性については、$X$ が無限なら可算無限集合 $Q\subset X\setminus\{p\}$ をとり、開被覆 $\{X\setminus Q\}\cup\{\{p,q\}\mid q\in Q\}$（$X\setminus Q$ は $p$ を含むので開）を考えると、可算だが有限部分被覆をもたない。

2．$X$ が高々可算なら、開被覆から各点を含む元を一つずつ選べば（可算個の選択）高々可算な部分被覆を得る。$X$ が非可算なら、開被覆 $\{\{p,q\}\mid q\neq p\}$ の高々可算な部分族の合併は高々可算なので $X$ を覆わない。

3．$\{p\}$ と $\{p,x\}$ は有限なのでコンパクトな開集合であり、prop-ppt-closure の 1 によりそれぞれの点の最小開近傍だから近傍基をなす。

4．$X$ が有限なら $X$ 自身がコンパクトな閉包をもつ開近傍である。$X$ が無限なら、どの点の開近傍も空でないので $p$ を含み、その閉包は $X$ であって、1 によりコンパクトでない。

5．$X$ が有限なら無限部分集合がないので条件は自明に成り立つ。$X$ が無限なら $A=X\setminus\{p\}$ は無限集合で、$p\notin A$ だから prop-ppt-closure の 5 により $A'=\emptyset$ である。

6．$f(a)\neq f(b)$ とすると、$f(a)$ と $f(b)$ を含む互いに素な開区間の逆像は互いに素な空でない開集合になるが、空でない開集合はどれも $p$ を含むので矛盾する。$\square$

1. 各点の最小開近傍一つが局所基になる。

2. $X$ が高々可算なら、$\{\{p\}\}\cup\{\{p,q\}\mid q\neq p\}$ は高々可算な開基である（空でない開集合 $U$ は、$U$ の各点の最小開近傍の合併である）。逆に $\mathcal{B}$ を開基とし、$q\neq p$ とすると、開集合 $\{p,q\}$ の点 $q$ について $q\in B\subset\{p,q\}$ となる $B\in\mathcal{B}$ があり、$B$ は空でないので $p$ も含み、$B=\{p,q\}$ である。よって $q\mapsto\{p,q\}$ は $X\setminus\{p\}$ から $\mathcal{B}$ への単射であり、$X$ が非可算なら $\mathcal{B}$ も非可算である。

3. prop-ppt-closure の 6 により、$\{p\}$ が稠密である。

4. 任意の $B\subset X\setminus\{p\}$ は $(X\setminus\{p\})\cap(\{p\}\cup B)$ と書けるので相対開集合であり、補集合 $\{p\}$ は開集合である。非可算な離散空間は可分でない。$\square$

1. 空でない開集合はどれも $p$ を含むので交わる。既約空間の空でない開集合はどれも連結である（既約空間 の命題「既約性の同値条件」の (R6)）から、$X$ は連結であり、空でない開集合全体が連結な開集合からなる開基になるので局所連結である。

2. $|X|\ge3$ なら、相異なる $q,r\neq p$ について $\{q\}$ と $\{r\}$ は互いに素な空でない閉集合である。$|X|=1$ なら空でない閉集合は $X$ だけであり、$X=\{p,q\}$ なら空でない閉集合は $\{q\}$ と $X$ だけで、どの二つも交わる。

3. 空でない開集合 $U$ は $p$ を含むので、$f^{-1}(U)$ は $(0,1)$ に、$a\in U$ なら $0$ を、$b\in U$ なら $1$ を加えた集合であり、$[0,1]$ の開集合である。空でない開集合 $W$ は $p$ を含むので、$a,b\in W$ ならこの $f$ の像は $W$ に入り、$W$ は弧状連結である。よって空でない開集合全体が弧状連結な開集合からなる開基になる。

4. 連続な単射 $h\colon[0,1]\to X$ があったとする。像が $p$ を含むなら、$h^{-1}(\{p\})$ は一点集合であり、$\{p\}$ が開集合なので $[0,1]$ の開集合になるが、$[0,1]$ の一点集合は開集合でない。像が $p$ を含まないなら、像の点 $q=h(t)$ について $h^{-1}(\{p,q\})=\{t\}$ が同じ矛盾を与える。弧（弧状連結空間 の定義「弧連結性」）は連続な単射なので、相異なる二点を結ぶ弧もない。

5. 空でない $A\subset X$ をとる。$p\in A$ なら $\{p\}$ が開集合なので $p$ は $A$ の孤立点である。$p\notin A$ なら、prop-ppt-countability の 4 と同じ理由で $A$ の相対位相は離散であり、$A$ のすべての点が孤立点である。

6. 1 により $X$ は連結である。$X\setminus\{p\}$ は離散空間（prop-ppt-countability の 4）なので、二点以上の部分集合は一点とその補集合に分けられて連結でなく、完全不連結である。$\square$

1. $p\notin A$ なら $\overline{A}=A$ で、その内部は空である（prop-ppt-closure の 3・4）。$p\in A$ なら $\overline{A}=X$ で内部は $X\neq\emptyset$ である。

2. 疎集合の可算個の合併は $p$ を含まない。逆に $p$ を含まない集合はそれ自身が疎集合である。$p\in X$ なので $X$ は第1類でない。

3. 稠密な開集合はすべて $p$ を含む（prop-ppt-closure の 6）ので、その可算個の共通部分も $p$ を含み、稠密である。$\square$

標準単体 $\Delta^{n+1}$ の重心座標を $(t_0,\dots,t_{n+1})$ とし、面 $\{t_0=0\}$ を $(t_1,\dots,t_{n+1})$ で $\Delta^n$ と同一視する。特異単体 $\sigma\colon\Delta^n\to X$ に対し、$c\sigma\colon\Delta^{n+1}\to X$ を、$t_0>0$ なら $p$、$t_0=0$ なら $\sigma(t_1,\dots,t_{n+1})$ と定める。$X$ 以外の閉集合 $F$ は $p$ を含まないので、$(c\sigma)^{-1}(F)$ は面 $\{t_0=0\}$ の中の閉集合 $\sigma^{-1}(F)$ であり、$\Delta^{n+1}$ でも閉である。よって $c\sigma$ は連続である。頂点 $0$ の向かいの面への制限は $\sigma$、$i\ge1$ のとき頂点 $i$ の向かいの面への制限は $c(\sigma$ の頂点 $i-1$ の向かいの面への制限$)$ なので、$n\ge1$ で $\partial(c\sigma)=\sigma-c(\partial\sigma)$、$n=0$ で $\partial(c\sigma)=\sigma-[p]$ となる。$c$ を線形に延ばし、$\varepsilon\colon C_0\to\mathbb{Z}$ を各点を $1$ に送る写像とすると、$\partial c+c\partial=\mathrm{id}-[p]\varepsilon$（右辺の第 2 項は次数 $0$ だけ）が成り立つ。よって $n>0$ の輪体 $z$ は $z=\partial(cz)$ で境界であり、次数 $0$ では $z-\varepsilon(z)[p]$ が境界なので $\varepsilon$ が $H_0\cong\mathbb{Z}$ を与える。コチェインは $\varphi\mapsto\varphi\circ c$ を前合成して同様に縮み、$H^0$ は全点で同じ値をとる関数 $\mathbb{Z}$、$n>0$ で $H^n=0$ である。次数 $0$ の cup積 は値の積なので、環として $\mathbb{Z}$ である。

Čech の側：開被覆 $\mathcal{U}$ の空でない元はすべて $p$ を含むので、空でない元の有限個の共通部分は空でなく、脈体は $\mathcal{U}$ の空でない元の全体を頂点集合とする全単体である。全単体は一頂点 $v$ への錐 $[w_0,\dots,w_n]\mapsto[v,w_0,\dots,w_n]$ で縮むので、単体的コホモロジーは次数 $0$ の定数関数 $\mathbb{Z}$ だけである。細分の写像は定数関数を定数関数に送るので、順極限も $\mathbb{Z}$ である。$\square$

1. 空でない元の族の合併は $\{p\}\cup\bigcup U_i$、二つの空でない元の共通部分は $\{p\}\cup(U\cap V)$ で、どちらも $\tau^*$ に属する。$U=\emptyset$、$U=Y$ から $\{p\}$ と $Y^*$ が属する。

2. $F\neq Y^*$ が閉なら補集合は空でない開集合なので $p$ を含み、$F\subset Y$ である。$Y^*\setminus F=\{p\}\cup(Y\setminus F)$ が開であることと $Y\setminus F\in\tau$ は同値である。

3. $(\{p\}\cup U)\cap Y=U$ である。

4. $\tau$ が $Y$ のすべての部分集合からなれば、$\tau^*$ は空集合と $p$ を含むすべての部分集合からなる。$\square$

1．$Y$ の相異なる二点を区別する $Y^*$ の開集合 $\{p\}\cup U$ と、同じ二点を区別する $U\in\tau$ は対応する。$p$ と $y\in Y$ は $\{p\}$ で区別される。

2．$Y$ は空でないので $y\in Y$ がとれる。$y$ を含み $p$ を含まない開集合はないので $T_1$ でない。空でない開集合はすべて交わるので $T_2$ でない。閉集合 $Y$ と点 $p$ を含む開集合はどちらも $p$ を含むので、正則性条件も成り立たない。

3．$Y^*$ の互いに素な閉集合 $A,B$ の一方が $Y^*$ なら他方は空である。そうでなければ両方とも $Y$ の閉集合である。両方が空でなければ、それらを含む開集合は $p$ で交わるので分けられない。一方が空なら空集合と $Y^*$ で分けられる。

4．$A\ni p$ なら空でない開集合はすべて $A$ と交わるので $\overline{A}=Y^*$ であり、$B$ と分離されるには $B=\emptyset$ が要る。$A\subset Y$ なら、$A$ を含む $Y^*$ の閉集合は $Y^*$ と $A$ を含む $Y$ の閉集合なので、$Y^*$ での閉包は $Y$ での閉包に等しい。よってともに空でない分離された二集合は、$Y$ の中のともに空でない分離された二集合にちょうど一致し、それがあれば $p$ で交わるので開集合で分けられない。空集合を含む組は 3 と同様に分けられる。

5．既約であることと連結・局所連結は thm-ppt-connected の 1 と同じ議論による。弧状連結性と局所弧状連結性は、$0< t<1$ で値 $p$ をとる thm-ppt-connected の 3 の道が、そのまま連続な道になることから従う（証明は $Y$ の位相を使わない）。

6．$p\notin A$ なら閉包は $Y$ に含まれ、空でない開集合は $p$ を含むので内部は空である。$p\in A$ なら閉包は $Y^*$ である。以下は prop-ppt-baire と同じである。$\square$