弱可縮空間

1 ⇔ 2：1 ⇒ 2 は明らかである。2 を仮定し、$x\in X$ をとる。$X$ は弧状連結なので $x_0$ から $x$ への道 $\gamma$ があり、道に沿った基点の取り替え $\beta_\gamma\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(X,x_0)$ は群の同型である（ホモトピー群の記事の命題「被覆空間と$n$-単純性」）。よって $\pi_n(X,x)$ も自明である。
1 ⇔ 3：$c_*\colon\pi_0(X)\to\pi_0(\{\ast\})$ が全単射であることは、$\pi_0(X)$ がちょうど一点であること、すなわち $X$ が空でなく弧状連結であることと同値である。$\pi_n(\{\ast\},\ast)$ は自明な群なので、$c_*\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(\{\ast\},\ast)$ が同型であることは $\pi_n(X,x)$ が自明であることと同値である。
3 ⇔ 4：$X\ne\emptyset$ のとき、各 $p\in X$ について $c\circ\iota_p=\operatorname{id}_{\{\ast\}}$ は弱ホモトピー同値である。弱ホモトピー同値の記事の定理「2 つのうち 2 つの性質」により、$c$ が弱ホモトピー同値なら $\iota_p$ もそうであり、ある一つの $\iota_p$ が弱ホモトピー同値なら $c$ もそうである。3 から $X\ne\emptyset$ は $\pi_0$ の全単射性から従う。
1 ⇒ 5：$n=0$ では、弧状連結性により $S^0$ の二点の像が道で結べる。$n\ge1$ では、写像 $\varphi\colon S^n\to X$ を基点 $s_0$ から $\varphi(s_0)$ への基点付き写像とみると、$[\varphi]\in\pi_n(X,\varphi(s_0))$ は自明なので、CW近似の記事の補題「円板への延長と零ホモトピー」により $\varphi$ は $D^{n+1}$ に延長できる。
5 ⇒ 1：$S^0$ からの写像が $D^1$ に延長できるので、$X$ の任意の二点は道で結べる。$n\ge1$ と $x\in X$、基点付き写像 $\varphi\colon(S^n,s_0)\to(X,x)$ について、$\varphi$ は $D^{n+1}$ に延長できるので、同じ補題により $[\varphi]=0$ である。
3 ⇒ 6：Whiteheadの定理の記事の定理「弱ホモトピー同値とホモトピー類」により、$c_*\colon[K,X]\to[K,\{\ast\}]$ は全単射であり、$[K,\{\ast\}]$ は一点である。
6 ⇒ 5：$K=\{\ast\}$ とすると $[\{\ast\},X]$ が空でないので $X\ne\emptyset$ である。点 $x\in X$ をとる。$n\ge0$ と連続写像 $\varphi\colon S^n\to X$ について、$S^n$ は CW 複体なので、6 により $\varphi$ は定値写像 $x$ とホモトピックである。$H\colon S^n\times I\to X$ を $H(\cdot,0)=\varphi$、$H(\cdot,1)\equiv x$ となるホモトピーとすると、CW近似の記事の補題「円板への延長と零ホモトピー」の証明の後半と同じく、$c(s,u):=(1-u)s$ による商 $S^n\times I\to D^{n+1}$ を通じて $H$ は $\varphi$ の延長 $D^{n+1}\to X$ を定める（後半の議論は基点を使っていない）。$\square$

1：可縮空間 $X$ は空でなく、一点空間とホモトピー同値である（可縮空間の記事の命題「一点とのホモトピー同値による特徴づけ」）。$c\colon X\to\{\ast\}$ はホモトピー同値なので弱ホモトピー同値であり（弱ホモトピー同値の記事の命題「ホモトピー同値は弱ホモトピー同値」）、thm-wc-equivalent の 3 により $X$ は弱可縮である。
2：$X$ は空でないので $0$ 胞体をもつ。実際、$0$ 骨格が空なら、空でない $S^{n-1}$（$n\ge1$）から空集合への写像はないので、帰納的にすべての骨格が空になる。$0$ 胞体 $x_0$ をとる。thm-wc-equivalent の 4 により、包含 $\{x_0\}\hookrightarrow X$ は弱ホモトピー同値であり、$\{x_0\}$ は $X$ の部分複体である。Whiteheadの定理の記事の定理「Whitehead の定理」の 2 により、$\{x_0\}$ は $X$ の強変位レトラクトである。その強変位レトラクションは $\operatorname{id}_X$ から定値写像 $x_0$ へのホモトピーなので、$X$ は可縮である。
3：可縮なら弱可縮であることは 1 による。逆に、CW 複体 $K$ とホモトピー同値写像 $a\colon K\to X$ があり、$X$ が弱可縮とする。$a$ は弱ホモトピー同値で、$c\colon X\to\{\ast\}$ も弱ホモトピー同値なので、$c\circ a\colon K\to\{\ast\}$ は弱ホモトピー同値であり、$K$ は弱可縮である（thm-wc-equivalent の 3）。2 により $K$ は可縮で、一点とホモトピー同値である。ホモトピー同値は同値関係なので（ホモトピー同値の記事の命題「合成と同値関係」）、$X$ も一点とホモトピー同値であり、可縮である。$\square$

thm-wc-equivalent の 5 を使う。
1：各 $X_\lambda$ は空でないので、選択公理により直積は空でない。連続写像 $\varphi\colon S^n\to\prod_\lambda X_\lambda$ は、射影との合成 $\varphi_\lambda\colon S^n\to X_\lambda$ の族と一対一に対応する（直積位相の普遍性）。各 $\varphi_\lambda$ は $\Phi_\lambda\colon D^{n+1}\to X_\lambda$ に延長でき、$\Phi:=(\Phi_\lambda)_\lambda\colon D^{n+1}\to\prod_\lambda X_\lambda$ は連続で $\varphi$ の延長である。
2：$X$ は空でないので $A\ni r(x)$ も空でない。$\iota\colon A\hookrightarrow X$ を包含とし、連続写像 $\varphi\colon S^n\to A$ をとる。$\iota\circ\varphi$ は $\Phi\colon D^{n+1}\to X$ に延長でき、$r\circ\Phi\colon D^{n+1}\to A$ は $r\circ\iota\circ\varphi=\varphi$ の延長である。
3：一点への写像を $c_X,c_Y$ とすると $c_Y\circ f=c_X$ である。弱ホモトピー同値の記事の定理「2 つのうち 2 つの性質」により、$c_X$ が弱ホモトピー同値であることと $c_Y$ が弱ホモトピー同値であることは同値であり、thm-wc-equivalent の 3 により主張が従う。ホモトピー同値は弱ホモトピー同値である（同記事の命題「ホモトピー同値は弱ホモトピー同値」）。$\square$

$X$ は (a) により空でない。$n\ge0$ と連続写像 $\varphi\colon S^n\to X$ をとる。$\varphi(S^n)$ はコンパクトなので、(b) によりある $X_i$ に含まれる。(c) のホモトピー $X_i\times I\to X_{i+1}$ と $\varphi$ を合成し、$X_{i+1}\hookrightarrow X$ と合成すると、$\varphi$ は $X$ の中で定値写像とホモトピックになる。thm-wc-equivalent の 6 ⇒ 5 の証明と同じく、定値写像へのホモトピーから $\varphi$ の延長 $D^{n+1}\to X$ が得られる。thm-wc-equivalent の 5 により $X$ は弱可縮である。
$X$ が CW 複体で $X_i$ が部分複体のとき、$X$ のコンパクト部分集合は有限部分複体に含まれる（CW複体の記事の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）。部分複体は胞体の和なので、各胞体はそれと交わる $X_i$ に丸ごと含まれ、有限個の胞体は十分大きな $X_i$ に含まれる。よって (b) が成り立つ。thm-wc-cw の 2 により $X$ は可縮である。$\square$