単体的ホモトピー論

$n\ge1$、$0\le k\le n$ とし、$G_{n-1}$ の元の両立する族 $(x_i)_{i\ne k}$ を任意にとる。$d_jx=x_j$（すべての $j\ne k$）をみたす $x\in G_n$ を作ればよい。使う単体的恒等式は、単体的集合 の命題「単体的恒等式」の
$$ d_id_j=d_{j-1}d_i\ (i< j),\quad d_is_j=s_{j-1}d_i\ (i< j),\quad d_js_j=d_{j+1}s_j=\operatorname{id},\quad d_is_j=s_jd_{i-1}\ (i>j+1) $$
である。
手順 1（$k$ より小さい添字）． $w_{-1}:=e\in G_n$ とおき、$i=0,1,\dots,k-1$ について順に
$$ u_i:=(d_iw_{i-1})^{-1}x_i\in G_{n-1},\qquad w_i:=w_{i-1}\cdot s_i(u_i)\in G_n $$
と定める（$i\le k-1\le n-1$ なので $s_i\colon G_{n-1}\to G_n$ が定義される）。$0\le j\le i$ について $d_jw_i=x_j$ となることを $i$ についての帰納法で示す。$j=i$ なら、$d_is_i=\operatorname{id}$ より $d_iw_i=d_iw_{i-1}\cdot u_i=x_i$ である。$j< i$ なら $d_js_i=s_{i-1}d_j$ であり、
$$ d_ju_i=(d_jd_iw_{i-1})^{-1}d_jx_i=(d_{i-1}d_jw_{i-1})^{-1}d_jx_i=(d_{i-1}x_j)^{-1}d_jx_i=e $$
となる。ここで二つ目の等号は $d_jd_i=d_{i-1}d_j$、三つ目は帰納法の仮定 $d_jw_{i-1}=x_j$、最後は両立条件 $d_jx_i=d_{i-1}x_j$（$j< i< k$）による。よって $d_js_i(u_i)=s_{i-1}(e)=e$ で、$d_jw_i=d_jw_{i-1}=x_j$ である。
手順 2（$k$ より大きい添字）． $v_{n+1}:=w_{k-1}$ とおき（$k=0$ なら $v_{n+1}=e$）、$i=n,n-1,\dots,k+1$ について順に
$$ u'_i:=(d_iv_{i+1})^{-1}x_i\in G_{n-1},\qquad v_i:=v_{i+1}\cdot s_{i-1}(u'_i)\in G_n $$
と定める。$j< k$ または $i\le j\le n$ をみたす $j$ について $d_jv_i=x_j$ となることを、$i$ を下げる帰納法で示す（$v_{n+1}$ については手順 1 の結果である）。

• $j=i$ のとき：$d_is_{i-1}=\operatorname{id}$ より $d_iv_i=d_iv_{i+1}\cdot u'_i=x_i$。
• $j>i$ のとき：$d_js_{i-1}=s_{i-1}d_{j-1}$ であり、$d_{j-1}d_i=d_id_j$ と帰納法の仮定 $d_jv_{i+1}=x_j$ から $d_{j-1}u'_i=(d_ix_j)^{-1}d_{j-1}x_i$ となる。両立条件 $d_ix_j=d_{j-1}x_i$（$k< i< j$）によりこれは $e$ で、$d_jv_i=d_jv_{i+1}=x_j$。
• $j< k$ のとき：$j\le k-1\le i-2$ なので $d_js_{i-1}=s_{i-2}d_j$ であり、$d_jd_i=d_{i-1}d_j$ と $d_jv_{i+1}=x_j$ から $d_ju'_i=(d_{i-1}x_j)^{-1}d_jx_i$ となる。両立条件 $d_jx_i=d_{i-1}x_j$（$j< k< i$）によりこれは $e$ で、$d_jv_i=d_jv_{i+1}=x_j$。
  以上から $x:=v_{k+1}$（$k=n$ なら $x=w_{n-1}$）は、すべての $j\ne k$ について $d_jx=x_j$ をみたす。

$n\ge1$、$0\le k\le n$ とし、$G_{n-1}$ の両立する族 $(x_i)_{i\ne k}$ と、$d_iy=f(x_i)$（$i\ne k$）をみたす $y\in H_n$ をとる。$d_jx=x_j$（$j\ne k$）かつ $f(x)=y$ となる $x\in G_n$ を作ればよい。$f_n$ は全射なので $f(z)=y$ となる $z\in G_n$ がある。$x'_i:=x_i\cdot(d_iz)^{-1}$ とおくと、$f(x'_i)=f(x_i)\cdot d_i(f(z))^{-1}=d_iy\cdot(d_iy)^{-1}=e$ なので $x'_i$ は核 $K_{n-1}:=\ker f_{n-1}$ に入る。各 $K_m=\ker f_m$ は面写像・退化写像で保たれるので、$K$ は $G$ の部分単体的群である。さらに $i< j$（$i,j\ne k$）について
$$ d_ix'_j=d_ix_j\cdot(d_id_jz)^{-1}=d_{j-1}x_i\cdot(d_{j-1}d_iz)^{-1}=d_{j-1}x'_i $$
なので、$(x'_i)$ は $K$ の両立する族である。thm-sht-moore を $K$ に当てると、$d_iw=x'_i$（$i\ne k$）をみたす $w\in K_n$ がある。$x:=w\cdot z$ とおけば $d_ix=x'_i\cdot d_iz=x_i$（$i\ne k$）、$f(x)=f(w)f(z)=y$ である。

$N$ は部分群 $\ker d_1$ の準同型 $d_0$ による像なので部分群である。$g\in G_0$、$z\in\ker d_1$ について $z_g:=s_0(g)\,z\,s_0(g)^{-1}$ とおくと、$d_1s_0=\operatorname{id}$ より $d_1z_g=geg^{-1}=e$、$d_0s_0=\operatorname{id}$ より $d_0z_g=g\,d_0(z)\,g^{-1}$ である。よって $N$ は正規である。
$d_1z=x$、$d_0z=y$ をみたす辺 $z\in G_1$ があるとする。$z':=z\cdot s_0(x)^{-1}$ は $d_1z'=xx^{-1}=e$、$d_0z'=yx^{-1}$ をみたすので $yx^{-1}\in N$ である。逆に $yx^{-1}=d_0z'$、$d_1z'=e$ なら、$z:=z'\cdot s_0(x)$ は $d_1z=x$、$d_0z=yx^{-1}x=y$ をみたす辺である。最後の主張は、Kan 複体では辺で結ばれる関係が同値関係で、それが同じ連結成分に入る関係と一致すること（Kan複体 の命題「Kan 複体の連結成分」）と thm-sht-moore から従う。