対合

1. $\mathbb{R}$ 上の $x\mapsto-x$ と、$a\in\mathbb{R}$ についての $x\mapsto a-x$ は対合で、不動点はそれぞれ $0$ と $a/2$ である。
2. $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 上の $x\mapsto1/x$ は対合で、不動点は $\pm1$ である。
3. $a,b,c\in\mathbb{R}$、$c\neq0$、$a^2+bc\neq0$ とし、$X=\mathbb{R}\setminus\{a/c\}$ 上で $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx-a}$ とおく。$f(x)=a/c$ とすると $c(ax+b)=a(cx-a)$、すなわち $a^2+bc=0$ となるので、$f$ は $X$ を $X$ に写す。さらに
   $$ f(f(x))=\frac{a(ax+b)+b(cx-a)}{c(ax+b)-a(cx-a)}=\frac{(a^2+bc)x}{a^2+bc}=x $$
   なので $f$ は対合である。これは行列 $\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$ の 2 乗が $(a^2+bc)I$ であることに対応する（Möbius変換）。
4. $\mathbb{R}$ 上の対合 $f$ のグラフ $\{(x,f(x))\}$ は、直線 $y=x$ について対称である。$(x,y)$ がグラフ上にあれば $y=f(x)$、$f(y)=x$ なので $(y,x)$ もグラフ上にあるからである。
5. $\mathbb{C}$ 上の複素共役 $z\mapsto\bar z$ は対合で、不動点の全体は $\mathbb{R}$ である（複素共役）。

1. 集合 $U$ の冪集合の上の写像 $A\mapsto U\setminus A$ は対合である（補集合 の記事の命題「補集合の基本法則」の 1）。包含の向きを逆にする（同命題の 4）。$U\neq\emptyset$ なら $A=U\setminus A$ となる $A$ はないので不動点はない。
2. $\{1,\dots,n\}$ の置換 $\sigma$ が対合であることは、$\sigma$ が互いに素な互換の積（$0$ 個の積は恒等置換）であることと同値である。実際、置換 の記事の定理「互いに素な巡回置換の積への分解」で $\sigma$ を分解すると、$\sigma^2=e$ は各巡回置換の長さが $2$ であることと同値である（長さ $k\ge3$ の巡回置換 $(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)$ の 2 乗は $a_1$ を $a_3\neq a_1$ に送る）。これは prop-inv-basic の 2 の置換の言葉での言い換えである。
3. 群 $G$ の上の $x\mapsto x^{-1}$ は対合で、不動点は $x^2=e$ を満たす元である。

$p\equiv1\pmod4$ を素数とし、正の整数の組の有限集合 $S=\{(x,y,z)\mid x^2+4yz=p\}$ を考える。D. Zagier は、$S$ の上の場合分けで定まる対合で、不動点がちょうど 1 個 $(1,1,(p-1)/4)$ であるものを与えた（Cri24 §13.6、Proposition 13.6.1、p. 233）。thm-inv-parity により $\lvert S\rvert$ は奇数なので、もう 1 つの対合 $(x,y,z)\mapsto(x,z,y)$ も不動点 $(x,y,y)$ をもち、$p=x^2+4y^2=x^2+(2y)^2$ となる。その対合が実際に対合で不動点が 1 個であることの検証は、Fermatの二平方定理 の記事の証明「Zagierの対合による証明」にある。

$n\ge1$ とし、$X$ を $\{1,\dots,n\}$ の部分集合全体、$\varepsilon(A)=(-1)^{\lvert A\rvert}$ とする。$f(A)$ を、$1\in A$ なら $A\setminus\{1\}$、$1\notin A$ なら $A\cup\{1\}$ と定めると、$f$ は不動点のない対合で、$\lvert A\rvert$ の偶奇を変える。prop-inv-sign-reversing により
$$ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk=\sum_{A\subset\{1,\dots,n\}}(-1)^{\lvert A\rvert}=0 $$
であり、偶数個の元からなる部分集合と奇数個の元からなる部分集合は同じ個数 $2^{n-1}$ だけある。$n=0$ では $f$ がこのように定義できず（$\{1,\dots,n\}=\emptyset$）、和は $1$ である。

1. 鏡映：$\mathbb{R}^n$ の $0$ でないベクトル $a$ について $s_a(v):=v-2\dfrac{v\cdot a}{a\cdot a}a$ は線形な対合で、$V_+=a^\perp$（$a$ に直交するベクトルの全体）、$V_-=\mathbb{R}a$ である。$\det s_a=-1$ である。
2. 転置：$K$ の標数が $2$ でないとき、$n$ 次正方行列の空間 $M_n(K)$ の上の $A\mapsto{}^tA$ は線形な対合で、$V_+$ は対称行列、$V_-$ は交代行列（${}^tA=-A$）の全体である。分解は $A=\frac12(A+{}^tA)+\frac12(A-{}^tA)$ である。
3. 偶関数と奇関数：$\mathbb{R}$ 上の実数値関数の空間で $(Tf)(x):=f(-x)$ は線形な対合で、$V_+$ は偶関数、$V_-$ は奇関数の全体である。分解は $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2+\frac{f(x)-f(-x)}2$ で、$e^x=\cosh x+\sinh x$ はその例である。
4. Clifford代数 の主対合は、偶部分代数の上で恒等写像、奇の部分で $-1$ 倍になる線形な対合で、$V_+$ が偶部分代数、$V_-$ が奇の部分である（Clifford代数 の記事の節「偶部分代数と主対合」）。

2 元体 $\mathbb{F}_2$ の上で $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ とすると $T^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=I$ なので $T$ は線形な対合である。$\mathbb{F}_2$ では $-1=1$ なので $V_+=V_-=\{v\mid Tv=v\}=\mathbb{F}_2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ であり、$V_++V_-$ は $1$ 次元で $\mathbb{F}_2^2$ にならない。$T$ の固有値は $1$ だけで、$T\neq I$ なので $T$ は対角化できない。この例は thm-inv-linear の仮定「標数が $2$ でない」を外すと、結論 1 と 4 が成り立たなくなることを示す。

1. 行列環 $M_n(K)$（$K$ は可換環）の転置 $A\mapsto{}^tA$ は $K$ 上の対合である（${}^t(AB)={}^tB\,{}^tA$）。
2. $M_n(\mathbb{C})$ の共役転置 $A\mapsto A^*:={}^t\bar A$ は対合だが $\mathbb{C}$ 線形ではない（$(\lambda A)^*=\bar\lambda A^*$）。$A^*=A$ となる行列が Hermite行列 である。
3. 四元数環 $(a,b)_K$ の共役 $q\mapsto\bar q$ は $K$ 上の対合である（四元数環 の記事の命題「共役と被約ノルムの基本性質」の 1）。$q\bar q$ が $K$ の元になることが、被約ノルムの定義の出発点である。
4. 群 $G$ の群環 $K[G]$ の上の $\sum_ga_gg\mapsto\sum_ga_gg^{-1}$ は $K$ 上の対合である（$(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$）。
5. $d$ を平方数でない整数とするとき、$\mathbb{Z}[\sqrt d]$ の上の $a+b\sqrt d\mapsto a-b\sqrt d$ は可換環の対合（位数 $2$ の自己同型）である。