Jordan標準形

$H_i:=\ker(A-\lambda_iI)^{m_i}$ とおく。$A$ は $(A-\lambda_iI)^{m_i}$ と可換なので、$v\in H_i$ なら $(A-\lambda_iI)^{m_i}Av=A(A-\lambda_iI)^{m_i}v=0$ で、$AH_i\subset H_i$ である。
第 1 段：$K^n=H_1+\cdots+H_r$。$q_i:=p_A/(x-\lambda_i)^{m_i}=\prod_{j\ne i}(x-\lambda_j)^{m_j}$ とおく（$r=1$ なら $q_1=1$）。多項式環 の記事の定理「体上の多項式環は単項イデアル整域」により、$q_1,\dots,q_r$ の生成するイデアルは最高次係数 $1$ のある $d$ で生成され、$d$ は各 $q_i$ を割り切る。$d\ne1$ とすると、$d$ の最高次係数 $1$ の既約な因子は 1 次式の積 $q_1$ を割り切るので、同記事の定理「体上の一意分解」によりある $x-\lambda_j$ である。ところが $q_j(\lambda_j)=\prod_{i\ne j}(\lambda_j-\lambda_i)^{m_i}\ne0$ なので $x-\lambda_j$ は $q_j$ を割り切らず、$d\mid q_j$ に反する。よって $d=1$ であり、$h_1q_1+\cdots+h_rq_r=1$ となる $h_i\in K[x]$ がある。$E_i:=h_i(A)q_i(A)$ とおくと、多項式への行列の代入は和と積を保つ（Cayley–Hamiltonの定理 の記事の命題「代入と和・積」）ので $E_1+\cdots+E_r=I$ である。また $(x-\lambda_i)^{m_i}h_iq_i=h_ip_A$ と Cayley–Hamiltonの定理（$p_A(A)=O$）から $(A-\lambda_iI)^{m_i}E_i=h_i(A)p_A(A)=O$ であり、$E_i$ の像は $H_i$ に含まれる。よって任意の $v=E_1v+\cdots+E_rv$ は $H_1+\cdots+H_r$ に入る。
第 2 段：和は直和である。$j\ne i$ なら $(x-\lambda_i)^{m_i}$ は $q_j$ を割り切るので、$v\in H_i$ について $q_j(A)v=0$、したがって $E_jv=h_j(A)q_j(A)v=0$ である。よって $v\in H_i$ なら $v=\sum_jE_jv=E_iv$ である。$v_1+\cdots+v_r=0$（$v_i\in H_i$）とし、$E_j$ を施すと $E_jv_j=0$ が残り、$v_j=E_jv_j=0$ である。
第 3 段：$H_i=G_i$。$m_i\le n$ なので $H_i\subset G_i$ である。逆に $v\in G_i$ を第 1・2 段により $v=v_1+\cdots+v_r$（$v_j\in H_j$）と書く。$0=(A-\lambda_iI)^nv=\sum_j(A-\lambda_iI)^nv_j$ で、各項は $H_j$ に入る（$H_j$ は $A$ で保たれる）ので、直和性から各項は $0$ である。$j\ne i$ のとき、$A-\lambda_iI$ は $H_j$ の上で単射である。実際 $w\in H_j$、$Aw=\lambda_iw$ なら $0=(A-\lambda_jI)^{m_j}w=(\lambda_i-\lambda_j)^{m_j}w$ から $w=0$ である。よって $(A-\lambda_iI)^n$ も $H_j$ の上で単射で、$v_j=0$（$j\ne i$）、すなわち $v=v_i\in H_i$ である。これで 1 と 2 が示された。
第 4 段：$\dim G_i=m_i$。$d_i:=\dim G_i$ とし、各 $G_i$ の基底を順に並べて $K^n$ の基底を作り（2 による）、それを列とする正則行列を $Q$ とする。各 $G_i$ は $A$ で保たれるので $Q^{-1}AQ=A_1\oplus\cdots\oplus A_r$（$A_i\in M_{d_i}(K)$ は $G_i$ の上の $A$ の表現行列）となり、固有値 の記事の命題「固有多項式の相似不変性」と 行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」により $p_A=p_{A_1}\cdots p_{A_r}$ である。$p_{A_i}$ は $p_A$ を割り切るので $K$ 上の 1 次式の積に分解し、その根 $\mu$ は $A_i$ の固有値である。$A_iy=\mu y$（$y\ne0$）は $G_i$ の $0$ でない元 $w$ で $Aw=\mu w$ となることを意味し、$0=(A-\lambda_iI)^{m_i}w=(\mu-\lambda_i)^{m_i}w$ から $\mu=\lambda_i$ である。よって $p_{A_i}=(x-\lambda_i)^{d_i}$ で、$\prod_i(x-\lambda_i)^{d_i}=\prod_i(x-\lambda_i)^{m_i}$ と一意分解から $d_i=m_i$ である。$\square$

$\dim V$ についての数学的帰納法で示す。$V=\{0\}$ なら $s=0$（空の基底）でよく、$N=0$ なら $V$ の任意の基底 $u_1,\dots,u_s$ と $\ell_j=1$ でよい。$V\ne\{0\}$、$N\ne0$ とし、次元の小さい空間では正しいとする。
$N$ は単射でない（単射なら $N^k$ も単射だが $N^k=0$ で $V\ne\{0\}$）ので、線形代数学 の記事の定理「次元定理」により $W:=\operatorname{im}N$ は $\dim W<\dim V$ を満たす。$N(W)\subset W$ で、$N$ の $W$ への制限も冪零なので、帰納法の仮定により $w_1,\dots,w_t\in W$ と $\ell'_1,\dots,\ell'_t\ge1$ で、$N^{\ell'_j}w_j=0$ かつ $N^iw_j$（$0\le i<\ell'_j$）が $W$ の基底になるものがある（$W\ne\{0\}$ なので $t\ge1$）。$w_j\in\operatorname{im}N$ なので $Nu_j=w_j$ となる $u_j$ をとり、$\ell_j:=\ell'_j+1$ とおく。$N^{\ell_j}u_j=N^{\ell'_j}w_j=0$ である。
$S:=\{N^iu_j\mid1\le j\le t,\ 0\le i<\ell_j\}$ は線形独立である。実際 $\sum_{j,i}c_{ij}N^iu_j=0$ とし、$N$ を施すと、$N^{\ell_j-1}u_j$ の項は $0$ になり、$N^{i+1}u_j=N^iw_j$ なので $\sum_j\sum_{i\le\ell_j-2}c_{ij}N^iw_j=0$ となる。これは $W$ の基底の線形関係なので $c_{ij}=0$（$i\le\ell_j-2$）である。残りは $\sum_jc_{\ell_j-1,j}N^{\ell_j-1}u_j=\sum_jc_{\ell_j-1,j}N^{\ell'_j-1}w_j=0$ で、これも $W$ の基底の線形関係なので残りの係数も $0$ である。
$W$ の基底の元 $N^iw_j=N(N^iu_j)$（$i<\ell'_j$）はどれも $N$ による $\operatorname{span}S$ の元の像なので、$W=N(\operatorname{span}S)$ である。線形代数学 の記事の補題「部分空間の基底と基底の延長」の 2 により、$y_1,\dots,y_p$ を付け加えて $S\cup\{y_1,\dots,y_p\}$ を $V$ の基底にする。$Ny_q\in W=N(\operatorname{span}S)$ なので $Nx_q=Ny_q$ となる $x_q\in\operatorname{span}S$ がある。$z_q:=y_q-x_q$ とおくと $Nz_q=0$ であり、$S\cup\{z_1,\dots,z_p\}$ は $S\cup\{y_1,\dots,y_p\}$ と同じ空間 $V$ を張り、元の個数も $\dim V$ に等しいので $V$ の基底である（基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 2）。$u_1,\dots,u_t$（長さ $\ell_j$）と $z_1,\dots,z_p$（長さ $1$）が求める鎖である。
最後に、1 本の鎖を $b_1:=N^{\ell-1}u,\ b_2:=N^{\ell-2}u,\ \dots,\ b_\ell:=u$ と並べると $Nb_1=N^\ell u=0$、$Nb_m=b_{m-1}$（$m\ge2$）なので、この部分の表現行列は $(m-1,m)$ 成分だけが $1$ の $J_\ell(0)$ である。鎖ごとに張る部分空間は $N$ で保たれるので、全体の表現行列はこれらを対角に並べたものになる。$\square$

$P^{-1}AP=J$ が Jordan 行列なら、$J$ は上三角行列なので $p_J(x)=\prod_t(x-\mu_t)^{k_t}$（$J=\bigoplus_tJ_{k_t}(\mu_t)$）は 1 次式の積であり、相似不変性から $p_A=p_J$ である。とくに $\lambda_i$ の代数重複度は $\mu_t=\lambda_i$ となる $k_t$ の和である。
逆に $p_A$ が分解するとする。lem-jnf-decomposition により $K^n=G_1\oplus\cdots\oplus G_r$ で、$G_i$ の上で $N_i:=A-\lambda_iI$ は $N_i^{m_i}=O$ を満たす。thm-jnf-nilpotent を $V=G_i$、$N=N_i$ に使って $G_i$ の基底をとると、その基底に関する $A=\lambda_iI+N_i$ の $G_i$ の上の表現行列は $\bigoplus_jJ_{\ell_j}(\lambda_i)$ である（$J_\ell(\lambda)=\lambda I+J_\ell(0)$）。$G_1,\dots,G_r$ のこれらの基底を順に並べて列とする行列を $P$ とすると、$P$ は正則で、各 $G_i$ は $A$ で保たれるので $P^{-1}AP$ はこれらの Jordan 細胞を対角に並べた Jordan 行列である。$\square$

$J:=P^{-1}AP$ とおく。$(A-\lambda I)^j=P(J-\lambda I)^jP^{-1}$ であり、正則行列を掛けても階数は変わらない（階数(線形代数) の記事の命題「積の階数の不等式」の 2）ので、$r_j(\lambda)=\operatorname{rank}(J-\lambda I)^j$ である。区分対角行列の冪は各区分の冪を並べたもので、その列空間は各区分の列空間を別々の座標に置いたものの直和なので、階数は各区分の階数の和である：
$$ r_j(\lambda)=\sum_{t=1}^s\operatorname{rank}\bigl(J_{k_t}(\mu_t)-\lambda I\bigr)^j. $$
$\mu_t\ne\lambda$ なら $J_{k_t}(\mu_t)-\lambda I$ は対角成分がすべて $\mu_t-\lambda\ne0$ の上三角行列なので行列式が $0$ でなく正則であり、その冪も正則で階数は $k_t$ である。$\mu_t=\lambda$ なら $(J_{k_t}(\mu_t)-\lambda I)^j=J_{k_t}(0)^j$ の階数は $\max(k_t-j,0)$ である（def-jnf-generalized の後の段落）。よって
$$ r_{j-1}(\lambda)-r_j(\lambda)=\sum_{\mu_t=\lambda}\bigl(\max(k_t-j+1,0)-\max(k_t-j,0)\bigr) $$
で、各項は $k_t\ge j$ なら $1$、$k_t< j$ なら $0$ である。これが 1 つ目の式であり、$j$ と $j+1$ の場合の差をとれば 2 つ目の式を得る。右辺は $A$ だけで決まるので、固有値 $\lambda$、大きさ $j$ の細胞の個数は $P$ によらない。$\square$

1 ⇒ 3：$(B-\lambda I)^j=Q^{-1}(A-\lambda I)^jQ$ なので階数は等しい。3 ⇒ 2：thm-jnf-uniqueness の式により、$A$ と $B$ の Jordan 標準形に現れる各 $J_j(\lambda)$ の個数は等しい。2 ⇒ 1：Jordan 細胞の並べ方を変えることは、基底の順序を並べ替えること（置換行列による相似）である。したがって $A$ と $B$ は同じ Jordan 行列 $J$ に相似であり、$A=PJP^{-1}$、$B=RJR^{-1}$ から $B=(P R^{-1})^{-1}A(PR^{-1})$ である。$\square$

$A$ が対角化可能で $P^{-1}AP=D$ が対角行列なら、$D$ は大きさ $1$ の細胞だけからなる Jordan 行列であり、$p_A=p_D$ は分解する。thm-jnf-uniqueness により、$A$ の Jordan 標準形はどれも $D$ と同じ細胞の組をもつので、すべての細胞の大きさは $1$ である。逆にすべての細胞の大きさが $1$ なら、Jordan 標準形は対角行列であり、$A$ は対角化可能である。最後の条件は、thm-jnf-uniqueness の式で大きさ $2$ 以上の細胞の個数 $r_1(\lambda)-r_2(\lambda)$ が $0$ であることにあたる。$\square$

1. $P^{-1}AP=J=\bigoplus_tJ_{k_t}(\mu_t)$ とする。$f\in K[x]$ について $f(A)=Pf(J)P^{-1}$（$A^m=PJ^mP^{-1}$ による）で、$f(J)=\bigoplus_tf(J_{k_t}(\mu_t))$ なので、$f(A)=O$ はすべての $t$ で $f(J_{k_t}(\mu_t))=O$ であることと同値である。1 つの細胞 $J_k(\mu)=\mu I+N$（$N=J_k(0)$）について、$f$ を $x-\mu$ の多項式として $f(x)=\sum_jc_j(x-\mu)^j$ と書き直すと $f(J_k(\mu))=\sum_jc_jN^j$ である。$N^j$（$0\le j< k$）は $(i,i+j)$ 成分だけが $1$ の行列で互いに線形独立であり、$N^j=O$（$j\ge k$）なので、$f(J_k(\mu))=O$ は $c_0=\cdots=c_{k-1}=0$、すなわち $(x-\mu)^k\mid f$ と同値である。したがって $f(A)=O$ は、すべての $i$ で $(x-\lambda_i)^{\ell_i}\mid f$ であること、一意分解によりこれは $\prod_i(x-\lambda_i)^{\ell_i}\mid f$ であることと同値である。最小多項式は $A$ を零化する最高次係数 $1$ の多項式で次数最小のもの（Cayley–Hamiltonの定理 の記事の命題「最小多項式は零化多項式を割り切る」）なので、$m_A=\prod_i(x-\lambda_i)^{\ell_i}$ である。
2. thm-jnf-uniqueness の $j=1$ の場合により、固有値 $\lambda_i$ の細胞の個数は $n-\operatorname{rank}(A-\lambda_iI)=\dim\ker(A-\lambda_iI)$ である（線形代数学 の記事の定理「次元定理」）。大きさの和が $m_i$ であることは thm-jnf-existence で示した。$\square$

$\lambda I$ と $N$ は可換なので、二項定理（可換な 2 元の和の冪）により $(\lambda I+N)^m=\sum_{j=0}^m\binom mj\lambda^{m-j}N^j$ である。$j\ge k$ では $N^j=O$、$j< k$ では $N^j$ は $(i,i+j)$ 成分だけが $1$ の行列である。$\square$