擬指標(位相)

1. $\mathcal{B}$ を $x$ の開基本近傍系とする。$y\ne x$ なら、$T_1$ 性により $X\setminus\{y\}$ は $x$ の開近傍なので、$x\in B\subset X\setminus\{y\}$ となる $B\in\mathcal{B}$ がある。よって $\bigcap\mathcal{B}=\{x\}$ であり、$\mathcal{B}$ は $\psi$ 基である。したがって $\psi_0(x,X)\le\chi_0(x,X)$ で、$\aleph_0$ で補正して上限をとれば 1 を得る。
2. 定義の直後に述べた族 $\{X\setminus\{y\}\mid y\ne x\}$ は濃度 $|X|$ 以下の $\psi$ 基である。
3. $\psi(x,X)=\aleph_0$ は $\psi_0(x,X)\le\aleph_0$、すなわち $\{x\}$ が高々可算個の開集合の共通部分であることと同じであり、これが $G_\delta$-集合の定義である（G_δ-集合 の命題「一点集合が $G_\delta$-集合になる条件」の 2）。
4. $\mathcal{V}$ が $y$ の $X$ における $\psi$ 基なら、$\{V\cap Y\mid V\in\mathcal{V}\}$ は $Y$ の開集合の族で、共通部分は $\{y\}\cap Y=\{y\}$ である。$Y$ も $T_1$ なので左辺は定義されている。$\square$

$\psi(x,X)\le\chi(x,X)$ は prop-psc-basic の 1 である。逆向きを示すため、$x$ の $\psi$ 基 $\mathcal{V}$ を一つとり、$\kappa:=\max\{|\mathcal{V}|,\aleph_0\}$ とおく。$x$ の開基本近傍系で濃度 $\kappa$ 以下のものを作れば $\chi(x,X)\le\kappa$ となり、$\mathcal{V}$ は任意だったので $\chi(x,X)\le\psi(x,X)$ が従う。
（準備）$X$ の全体を $x$ の開近傍として $\mathcal{V}$ に加えても、$\psi$ 基であることは変わらず、$\kappa$ も変わらない。そこで $X\in\mathcal{V}$ としてよい。
（閉包がコンパクトな開集合に縮める）局所コンパクト空間 の定理「コンパクト近傍の同値な形」の 3 により、各 $V\in\mathcal{V}$ について、開集合 $W_V$ で
$$ x\in W_V\subset\overline{W_V}\subset V,\qquad \overline{W_V}\text{ はコンパクト} $$
となるものがある。$\mathcal{V}$ の各元について一つずつ選ぶ（選択公理を使う）。$\overline{W_V}\subset V$ なので
$$ \bigcap_{V\in\mathcal{V}}\overline{W_V}\subset\bigcap\mathcal{V}=\{x\} $$
であり、左辺は $x$ を含むので $\{x\}$ に等しい。
（有限個の共通部分が基本近傍系になる）$\mathcal{W}$ を、$W_{V_1}\cap\dots\cap W_{V_n}$（$n\ge1$、$V_i\in\mathcal{V}$）の形の集合全体とする。各元は $x$ を含む開集合であり、$\mathcal{V}$ の有限部分集合の全体の濃度は $\kappa$ 以下なので $|\mathcal{W}|\le\kappa$ である。$\mathcal{W}$ が $x$ の基本近傍系であることを示す。$O$ を $x$ の開近傍とする。$V_0:=X\in\mathcal{V}$ に対する $K:=\overline{W_{V_0}}$ はコンパクトである。$K$ の閉集合の族
$$ \mathcal{F}:=\{\overline{W_V}\cap K\setminus O\mid V\in\mathcal{V}\} $$
を考えると、その共通部分は $\{x\}\setminus O=\emptyset$ である。コンパクト空間 $K$ の閉集合の族で共通部分が空なものは、有限個の元の共通部分がすでに空になる（コンパクト空間 の命題「有限交叉性による言い換え」）。よって $V_1,\dots,V_n\in\mathcal{V}$ があって
$$ K\cap\overline{W_{V_1}}\cap\dots\cap\overline{W_{V_n}}\subset O $$
となる。$W_{V_0}\cap W_{V_1}\cap\dots\cap W_{V_n}$ は $\mathcal{W}$ の元で、左辺に含まれるので $O$ に含まれる。したがって $\mathcal{W}$ は濃度 $\kappa$ 以下の開基本近傍系であり、$\chi_0(x,X)\le\kappa$ である。$\square$

1. prop-psc-basic の 3 により、$\{x\}$ が $G_\delta$ であることは $\psi(x,X)=\aleph_0$ と同じであり、thm-psc-locally-compact によりこれは $\chi(x,X)=\aleph_0$、すなわち $x$ で第1可算であることと同じである。
2. 1 によりすべての点で第1可算である。コンパクトな第1可算 Hausdorff 空間の濃度は $2^{\aleph_0}$ 以下である（Arhangel’skiiの不等式 の系「第1可算 Lindelöf Hausdorff 空間の濃度」）。
3. コンパクト空間は Lindelöf なので $L(X)=\aleph_0$ であり、Arhangel’skiiの不等式 の定理「Arhangel’skiiの不等式」により $|X|\le2^{\chi(X)L(X)}=2^{\chi(X)}$ である。thm-psc-locally-compact により $\chi(X)=\psi(X)$ である。$\square$

（Hausdorff）$\mathbb{Z}$ に属さない 2 点は、$\mathbb{Z}$ と交わらない十分小さい開区間で分離できる。$t\notin\mathbb{Z}$ と $\ast$ は、$r:=\min_{n\in\mathbb{Z}}\lvert t-n\rvert/2>0$ として、$q((t-r,t+r))$ と $q\bigl(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(n-r,n+r)\bigr)$ で分離できる。どちらも逆像が開集合で（逆像はそれぞれ $(t-r,t+r)$ と $\bigcup_n(n-r,n+r)$）、互いに交わらない。
（$\psi(\ast,X)=\aleph_0$）$k\ge2$ について $U_k:=q\bigl(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(n-1/k,n+1/k)\bigr)$ とおくと、逆像は $\bigcup_n(n-1/k,n+1/k)$ なので $U_k$ は開集合であり、$\bigcap_k q^{-1}(U_k)=\mathbb{Z}$ から $\bigcap_kU_k=\{\ast\}$ である。
（$\chi(\ast,X)>\aleph_0$）$\ast$ の開近傍の可算族 $\{N_k\}_{k\ge1}$ を任意にとる。各 $q^{-1}(N_k)$ は $\mathbb{Z}$ を含む開集合なので、各 $n\ge1$ について $(n-\varepsilon_{k,n},n+\varepsilon_{k,n})\subset q^{-1}(N_k)$ となる $0<\varepsilon_{k,n}<1/2$ がある。$n\ge1$ について $\delta_n:=\varepsilon_{n,n}/2$、$n\le0$ について $\delta_n:=1/4$ とおき、$N:=q\bigl(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(n-\delta_n,n+\delta_n)\bigr)$ とする。$N$ は $\ast$ の開近傍である。各 $k\ge1$ について $t_k:=k+\tfrac34\varepsilon_{k,k}$ とおくと、$t_k\in q^{-1}(N_k)$ で $t_k\notin\mathbb{Z}$ である。また $\lvert t_k-k\rvert=\tfrac34\varepsilon_{k,k}>\delta_k$ であり、$n\ne k$ については $\lvert t_k-n\rvert\ge1-\tfrac38>\tfrac14\ge\delta_n$ なので、$t_k\notin q^{-1}(N)$ である。よって $q(t_k)\in N_k\setminus N$ であり、どの $N_k$ も $N$ に含まれない。したがって可算な基本近傍系は存在しない。$\square$