捩れ3次曲線

1 は $s^3,s^2t,st^2,t^3$ の 1 次独立性と、代数閉体上の 0 でない 2 変数 3 次斉次式が重複度込みで 3 個の根を $\mathbb{P}^1$ にもつことによる。2：4 点が平面 $H$ 上にあれば $h\circ\nu$ が 4 個の相異なる根をもち、1 に反する。3 点が直線 $\ell$ 上にあれば、$C_0$ のほかの 1 点（$C_0$ は無限集合）と $\ell$ を含む平面がとれて、4 点が同一平面上にある。3：$a+b=3m$ となる単項式 $s^at^b$ は 3 次の単項式 $m$ 個の積に書けるので（$s^3$ を $\lfloor a/3\rfloor$ 個とり、残りを $s^2t,st^2,t^3$ で埋める）、$\varphi(S_m)=k[s,t]_{3m}$ である。核の主張は 射影多様体 の定理による。次元は $\dim k[s,t]_{3m}=3m+1$ である。$\square$

1：$d$ についての帰納法による。$d=0$ のとき、$0\ne f\in\mathcal{L}(D)$ について、主因子の次数は $0$ なので（Har77 II, Corollary 6.10）$\operatorname{div}f+D$ は次数 $0$ の有効因子、すなわち $0$ で、$\operatorname{div}f=-D$ である。$f,f'$ がともにそうなら $\operatorname{div}(f/f')=0$ で、射影多様体上の正則関数は定数なので（Har77 I, Theorem 3.4 (a)、p. 18）$f/f'\in k$、よって $\dim\mathcal{L}(D)\le1$ である。$d\ge1$ のとき、点 $P$ をとり、$D$ の $P$ での係数を $n$、$P$ での一意化元を $\pi$ とすると、$f\mapsto(\pi^nf)(P)$ は $\mathcal{L}(D)\to k$ の線型写像で、核は $\mathcal{L}(D-P)$ である。よって $\dim\mathcal{L}(D)\le\dim\mathcal{L}(D-P)+1\le d+1$ である。
2：点 $P_1,\dots,P_{d-1}$ をとり $D':=D-P_1-\dots-P_{d-1}$ とすると、1 の議論を $d-1$ 回使って $\dim\mathcal{L}(D')\ge2$ である。1 次独立な $f,g\in\mathcal{L}(D')$ をとると、$\operatorname{div}f+D'$ と $\operatorname{div}g+D'$ は次数 1 の有効因子、すなわち点 $P,Q$ である。$P=Q$ なら $\operatorname{div}(f/g)=0$ で $f/g$ は定数となり、1 次独立性に反する。よって $P\ne Q$ で $P-Q=\operatorname{div}(f/g)$ である。相異なる 2 点が線型同値な滑らかな射影曲線は $\mathbb{P}^1$ と同型である（Har77 II, Example 6.10.1、p. 138）。$\square$

平面 $H_0=V_+(h_0)$ を 1 つとり、$D:=H_0\cdot C$（次数 $3$）とする。1 次式 $h$ に $(h/h_0)|_C$ を対応させると、$\operatorname{div}(h/h_0)+D=H\cdot C\ge0$（$h\ne0$）なので、線型写像 $S_1\to\mathcal{L}(D)$ が得られる。$h|_C=0$ なら $C\subset V_+(h)$ なので $h=0$ であり、この写像は単射である。よって $\dim\mathcal{L}(D)\ge4=\deg D+1$ で、lem-tc-bound により $C\cong\mathbb{P}^1$ である。
同型 $\psi\colon\mathbb{P}^1\to C\subset\mathbb{P}^3$ をとる。アフィン座標 $u=t/s$ の上で $\psi$ の座標は $u$ の有理関数で、共通の分母を払い共通因子で割ると、共通根をもたない多項式 $p_0(u),\dots,p_3(u)$ で $\psi=[p_0:\dots:p_3]$ と書ける。$e:=\max_i\deg p_i$ とし $F_i(s,t):=s^ep_i(t/s)$ とおくと、$F_i$ は $e$ 次斉次式で、$s=0$ でも全部は消えない（次数 $e$ の $p_i$ の最高次の係数が残る）。2 つの射 $\psi$ と $[F_0:\dots:F_3]$ は $\mathbb{P}^1$ の稠密な開集合で一致するので等しい。$C$ を含まない平面 $H=V_+(h)$ について、因子 $H\cdot C$ の $\psi$ による引き戻しは、$F_i(P)\ne0$ となる $i$ で $h/x_i$ を引き戻した $h(F_0,\dots,F_3)/F_i$ の位数を数えるので、$e$ 次斉次式 $h(F_0,\dots,F_3)\ne0$ の零点の因子であり、次数は $e$ である。$\psi$ は同型なので $e=\deg C=3$ である。
$C$ はどの平面にも含まれないので、$F_0,\dots,F_3$ は $k[s,t]_3$ の中で 1 次独立であり、$\dim k[s,t]_3=4$ から基底である。定義の後の注意により $C$ はねじれ 3 次曲線である。$\square$

$P\notin C_0$ なので $f$ は 1 次式の 3 乗でなく、3 重根をもたない。よって $f$ は 1 か 2 のどちらかに当たる。
割線上の点の根は相異なる：$P=\alpha l^3+\beta m^3$ が割線上にあり $P\notin C_0$ なら $\alpha\beta\ne0$ である。$s,t$ の 1 次変換で $l=s$、$m=t$ とすると $f=\alpha s^3+\beta t^3$ で、根は $(s/t)^3=-\beta/\alpha$ の 3 個の相異なる解である（標数 3 でないので $X^3-c$（$c\ne0$）は重根をもたない）。1 次変換は根の重複度を変えない。一方、接線上の点 $l^2n$ は根 $l=0$ を重根にもつ。よって割線上の点と接線上の点は重ならず、1 の点は接線に、2 の点は割線に乗らない。
存在：2 の $f$ は $l^2n$ と書けるので、点 $l^3$ での接線上にある。1 の $f$ については、$\mathbb{P}^1$ の射影変換は相異なる 3 点を任意の相異なる 3 点に移すので（射影変換と複比）、$s,t$ の 1 次変換 $\gamma$ で $f\circ\gamma$ の 3 根が $s^3+t^3$ の 3 根（標数 3 でないので相異なる）になるものがある。根が重複度込みで一致する 3 次式は定数倍の違いしかないので $f\circ\gamma=c(s^3+t^3)$ であり、$f=c(l^3+m^3)$（$l,m$ は $s\circ\gamma^{-1},t\circ\gamma^{-1}$ で、比例しない）となって、$P$ は $l^3,m^3$ を通る割線上にある。
一意性：$f=\alpha l^3+\beta m^3=\alpha'l'^3+\beta'm'^3$ で $\{[l],[m]\}\ne\{[l'],[m']\}$ なら、たとえば $[l']\notin\{[l],[m]\}$ として、$C_0$ の相異なる高々 4 点 $l^3,m^3,l'^3,m'^3$ の間に $l'^3$ の係数が $\alpha'\ne0$ の 1 次関係ができる。これは prop-tc-basic の 2 に反する（相異なる 4 点は同一平面上にないので 1 次独立で、相異なる高々 4 点も $C_0$ の点を補えば 1 次独立である）。接線については、$f=l^2n=l'^2n'$ で $n,n'$ がそれぞれ $l,l'$ に比例しなければ、因数分解の一意性から $[l]=[l']$ であり、接線は $l$ で決まる。$\square$

$p_1,\dots,p_4$ は 1 次独立なので、射影変換で $p_{i+1}=e_i:=[\delta_{0i}:\dots:\delta_{3i}]$（$i=0,\dots,3$）とできる。$p_5$ の座標がどれか $0$ なら $p_5$ は 3 つの $e_i$ と同一平面上にあるので、座標はすべて $0$ でなく、対角行列で $p_5=[1:1:1:1]$ とできる。$p_6=[c_0:\dots:c_3]$ も同じ理由で $c_i\ne0$ であり、$c_i=c_j$（$i\ne j$）なら $p_6$ は $p_5$ と残りの 2 つの $e_k,e_l$ とともに平面 $x_i=x_j$ 上にあるので、$c_i$ は相異なる。