平面3次曲線

射影変換で $P=(0:0:1)$、$T_P=\{y=0\}$ とし、$F$ を定数倍して $f(x,y):=F(x,y,1)=y+ax^2+bxy+cy^2+(\text{3 次以上の項})$ としてよい。$T_P$ との交点数は $f(x,0)=ax^2+(\text{3 次以上})$ の $x=0$ での位数なので（点の重複度 の定理「直線による重複度の特徴づけ」の 3）、$P$ が変曲点であることは $a=0$ と同値である。
$F_i:=\partial F/\partial x_i$ は $d-1$ 次の斉次式なので、Euler の等式 $\sum_jx_j\,\partial F_i/\partial x_j=(d-1)F_i$ と $\sum_jx_jF_j=dF$ が成り立つ。$P=(0,0,1)$ を代入すると、$F_{iz}(P)=(d-1)F_i(P)$、$F_z(P)=dF(P)=0$ である。$F_x(P)=f_x(0,0)=0$、$F_y(P)=f_y(0,0)=1$ なので、$F_{xz}(P)=0$、$F_{yz}(P)=d-1$、$F_{zz}(P)=0$ であり、$F_{xx}(P)=2a$、$F_{xy}(P)=b$、$F_{yy}(P)=2c$ である。よって
$$ H_F(P)=\det\begin{pmatrix}2a&b&0\\b&2c&d-1\\0&d-1&0\end{pmatrix}=-2a(d-1)^2 $$
であり、標数が $2$ でなく $d-1\ne0$ なので、$H_F(P)=0$ と $a=0$ は同値である。$\square$

非特異な射影平面曲線は既約なので（Bézoutの定理 の系「非特異な射影平面曲線は既約」）、直線を成分にもたず、prop-pc-hessian が $d=3$（$d-1=2\ne0$）で全点に使える。$H_F=0$ か、$H_F$ が $F$ で割り切れるなら、$C$ のすべての点が変曲点である。そうでなければ $H_F$ は $F$ と共通成分をもたない 3 次式で、Bézoutの定理 により $C\cap V(H_F)$ は重複度込みで $9$ 点、とくに空でなく、その点は変曲点である。$\square$

前半は 点の重複度 の定理「射影平面曲線の重複度と次数」の 2 と 4 である。$S=(0:0:1)$ とすると、$F(x,y,1)$ の最低次の成分が 2 次なので $F=z\,f_2(x,y)+f_3(x,y)$（$f_j$ は $j$ 次の斉次式、$f_2\ne0$）と書ける。
1：$f_2$ は比例しない 2 つの 1 次式の積で、$(x,y)$ の 1 次変換で $f_2=xy$ とできる。$f_3=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3$ とし、$z$ を $z-bx-cy$ に替えると $F=xyz+ax^3+dy^3$ となる。$a=0$ なら $y$ が、$d=0$ なら $x$ が $F$ を割り切るので、既約性から $ad\ne0$ である。$d\beta^3=a$ となる $\beta\in k$ をとり、$y$ を $\beta y$ に、$z$ を $-(a/\beta)z$ に替えると $F=a(x^3+y^3-xyz)$ となる。
標数が $2$ でないとき、$G:=y^2z-x^3-x^2z=z(y^2-x^2)-x^3$ は $z$ について 1 次で、係数 $y^2-x^2$ と $x^3$ は互いに素なので既約である。原点 $(0:0:1)$ での接錐は $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$ で、2 つの因子は比例しないから結節点である。よって前段により $V(G)$ も $V(x^3+y^3-xyz)$ と射影同値である。
2：1 次変換で $f_2=y^2$ とし、$z$ を $z$ と $x,y$ の 1 次式の和に替えて $f_3$ の $xy^2$、$y^3$ の項を消すと、$F=y^2z+ax^3+bx^2y$ となる。$a=0$ なら $y$ が $F$ を割り切るので $a\ne0$ であり、尖点(特異点) の定理「尖点の判定」により $S$ は接線 $y=0$ の尖点である。標数が $3$ でなければ、同記事の定理「尖点をもつ 3 次曲線の標準形」により $C$ は $V(y^2z-x^3)$ と射影同値である。$\square$

要点：$C\cdot T_O=3O$ から $F(x,y,0)$ は $x^3$ の定数倍で、$O$ の非特異性から $y^2z$ の係数が $0$ でない。あとは平方完成と平行移動である。

$P\in C_{\mathrm{ns}}$ で $P$ を通らない直線の 1 次式 $m$ をとると、$\ell/m$ の $P$ での零の位数は $I(P,C\cap L)$ に等しい（交点数(平面曲線) の性質 (viii)）。よって $\ell/\ell'=(\ell/m)/(\ell'/m)$ の位数は $I(P,C\cap L)-I(P,C\cap L')$ である。特異点 $S$ があれば $\ell,\ell'$ は $S$ で $0$ でないので、$\ell/\ell'$ は $S$ の局所環の単元である。したがって $\ell/\ell'$ の Cartier 因子は、$S$ の近くで $0$、$C_{\mathrm{ns}}$ の上で $C\cdot L-C\cdot L'$ である。$\square$

1：射影変換で $\kappa$ の性質は変わらないので、thm-pc-weierstrass の 2 により $C$ は $y^2z=x^3+\alpha xz^2+\beta z^3$、$O=(0:1:0)$ としてよい。$C$ が非特異なら $(C,O)$ は楕円曲線で（楕円曲線 の命題「滑らかさと判別式」）、$\kappa$ は同記事の定理「群構造と因子類群」の写像なので全単射である。$C$ が特異なら、thm-pc-weierstrass の 3 により $C$ は $y^2z=x^3+x^2z$ か $y^2z=x^3$ で $O=(0:1:0)$ としてよく、特異曲線のPicard群 の例「射影3次曲線の次数0のPicard群」により $\kappa$ は全単射である。
2：$C\cdot T_O=3O$ で、$T_O$ は特異点を通らない（通れば $C\cdot T_O$ が $O$ と特異点の両方を含む）。$C\cdot L=P+Q+R$ なら $L$ も特異点を通らない（節「定義と記号」の最後の注意）。lem-pc-line-class により $P+Q+R-3O$ は主因子で、$\kappa(P)+\kappa(Q)+\kappa(R)=0$ である。逆に $\kappa(P)+\kappa(Q)+\kappa(R)=0$ とする。$P,Q$ を通る直線（$P=Q$ なら $T_P$）を $L$ とすると、$L$ は $C_{\mathrm{ns}}$ の点を重複度込みで 2 つ含むので特異点を通らず、$C\cdot L=P+Q+R'$（$R'\in C_{\mathrm{ns}}$）と書ける。前半により $\kappa(R')=-\kappa(P)-\kappa(Q)=\kappa(R)$ で、1 により $R'=R$ である。
3：$C\cdot T_P=2P+R$（$R\in C_{\mathrm{ns}}$）と書くと、2 により $\kappa(R)=-2\kappa(P)$ である。よって $2\kappa(P)=0$ は $\kappa(R)=0=\kappa(O)$、すなわち $R=O$ と同値である。$R=O$ なら $O\in T_P$ である。逆に $O\in T_P$ のとき、$O\ne P$ なら $O$ は $C\cdot T_P=2P+R$ に現れるので $R=O$ であり、$O=P$ なら $C\cdot T_O=3O$ から $R=O$ である。
4：$P$ が変曲点なら $C\cdot T_P=3P$ で、2 により $3\kappa(P)=0$ である。逆に $3\kappa(P)=0$ なら、3 の記号で $\kappa(R)=-2\kappa(P)=\kappa(P)$ なので $R=P$、すなわち $C\cdot T_P=3P$ で $P$ は変曲点である。
最後の主張：$P,Q$ を通る直線の 3 番目の交点を $R$、$O$ と $R$ を通る直線の 3 番目の交点を $R'$ とすると、2 により $\kappa(R)=-\kappa(P)-\kappa(Q)$、$\kappa(R')=-\kappa(O)-\kappa(R)=\kappa(P)+\kappa(Q)$ である。$\square$