完全不連結空間
概要
完全不連結空間（totally disconnected space）とは、非空の連結部分集合がすべて一点集合である位相空間である。離散空間や有理数空間、超距離空間、Cantor集合が例となるが、完全不連結でも離散とは限らない。この性質は任意の部分空間と積位相を入れた直積に保たれるが、連続像や商空間には保たれない。開閉集合で二点を分けられる完全分離性はこれより強いが、コンパクトHausdorff空間では準成分と連結成分が一致するので両者は同値になり、局所コンパクトHausdorffな完全不連結空間は開閉集合の開基をもつ。
定義
位相空間 $X$ の部分集合 $A\subset X$ には、$A\cap U$（$U$ は $X$ の開集合）を開集合とする相対位相を入れる。$A$ が連結であるとは、$A$ を互いに交わらない二つの非空な相対開集合の和に分けられないことをいう。本稿では空集合も連結とする。
位相空間 $X$ が完全不連結空間（totally disconnected space）であるとは、$X$ の非空な連結部分集合がすべて一点集合であることをいう。「全不連結空間」とも呼ぶ。すなわち、連結な $A\subset X$ と $x,y\in A$ に対して必ず $x=y$ となる。
空空間も完全不連結である。一点空間も連結かつ完全不連結であり、この二つの性質が常に対立するわけではない。
点 $x$ の連結成分（連結成分）は、$x$ を含む最大の連結部分集合である。これは $x$ を含む連結部分集合をすべて合わせた集合として得られる。したがって完全不連結性は「各点の連結成分がその一点だけ」という条件とも同値である。
直感
二点以上ある空間については、「空間全体が一度は分かれる」という非連結性よりも、どの部分を取り出しても二点以上からなる連結な塊が残らないことを要求する。ただし、各点が開集合になって孤立するとは限らない。有理数空間がその違いを示す。
開閉集合による判定
部分集合 $A$ が異なる二点 $x,y$ を含むとする。条件を満たす $U$ を取れば、$A\cap U$ と $A\cap(X\setminus U)$ は互いに交わらない相対開集合で、和は $A$ である。前者は $x$、後者は $y$ を含むので両方とも非空であり、$A$ は連結ではない。よって非空の連結部分集合は一点に限られる。$\square$
完全分離性を点ごとに言い換えるために、準成分を導入する。
位相空間 $X$ の点 $x$ の準成分（quasi-component）とは、$x$ を含む $X$ の開閉集合すべての共通部分 $Q(x)$ をいう。
定義から、$X$ が完全分離であることは、すべての点 $x$ で $Q(x)=\{x\}$ となることと同値である。
位相空間 $X$ の点 $x$ の連結成分 $C(x)$ は準成分 $Q(x)$ に含まれる。
$U$ を $x$ を含む開閉集合とする。$C(x)\cap U$ と $C(x)\setminus U$ は $C(x)$ の互いに交わらない相対開集合で、和は $C(x)$ であり、前者は $x$ を含んで空でない。$C(x)$ は連結なので後者は空であり、$C(x)\subset U$ である。$U$ は任意なので $C(x)\subset Q(x)$ である。$\square$
一般には包含は真であり、したがって完全分離は完全不連結より強い。しかしコンパクト Hausdorff 空間では両者は一致する。
$X$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。任意の $x\in X$ について、準成分 $Q(x)$ は連結であり、したがって連結成分 $C(x)$ に一致する。
$Q:=Q(x)$ は閉集合の共通部分なので閉集合である。$Q=A\cup B$、$A\cap B=\emptyset$、$A,B$ は $Q$ の相対閉集合で $x\in A$ とする。$Q$ は閉なので $A,B$ は $X$ の閉集合である。コンパクト Hausdorff 空間は正規なので（コンパクト空間 の命題「コンパクトHausdorff空間の正規性」）、$A\subset U$、$B\subset V$ となる互いに交わらない開集合 $U,V$ がある。
$x$ を含む開閉集合の全体を $\mathcal F$ とすると、$\bigcap\mathcal F=Q\subset U\cup V$ である。よって閉集合 $X\setminus(U\cup V)$ は開集合族 $\{X\setminus F\mid F\in\mathcal F\}$ で覆われる。$X\setminus(U\cup V)$ はコンパクトなので、有限個の $F_1,\ldots,F_k\in\mathcal F$ で $X\setminus(U\cup V)\subset\bigcup_i(X\setminus F_i)$、すなわち $F:=F_1\cap\cdots\cap F_k\subset U\cup V$ となる。$F$ は $x$ を含む開閉集合である。
$G:=F\cap U$ とおく。$G$ は開集合である。また $F\subset U\cup V$ かつ $U\cap V=\emptyset$ なので $G=F\setminus V$ であり、閉集合 $F$ と閉集合 $X\setminus V$ の共通部分として閉集合でもある。$x\in A\subset U$ より $x\in G$ なので、準成分の定義から $Q\subset G\subset U$ である。すると $B\subset Q\subset U$ かつ $B\subset V$ で、$U\cap V=\emptyset$ だから $B=\emptyset$ である。
以上より $Q$ は二つの空でない相対閉集合に分けられず、連結である。$x\in Q$ なので $Q\subset C(x)$ であり、prop-tdisc-component-in-quasi と合わせて $Q=C(x)$ を得る。$\square$
この定理は Eng89 Theorem 6.1.23（p. 357）である。
$X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とし、完全不連結とする。このとき $X$ の開閉集合全体は開基をなす（$X$ は零次元である）。特に $X$ がコンパクトなら、$X$ は完全分離である。
$x\in X$ と $x$ を含む開集合 $V$ をとる。局所コンパクト性から、$x$ の開近傍 $W$ で $W\subset V$ かつ閉包 $\overline W$ がコンパクトなものがある。$\overline W$ はコンパクト Hausdorff 空間で、完全不連結空間の部分空間として完全不連結である（prop-tdisc-subspace）。thm-tdisc-compact-quasi により、$\overline W$ における $x$ の準成分は連結成分 $\{x\}$ に等しい。よってコンパクト集合 $\overline W\setminus W$ は、$x$ を含む $\overline W$ の開閉集合の補集合で覆われ、有限個 $F_1,\ldots,F_k$ で $F:=F_1\cap\cdots\cap F_k\subset W$ となる。$F$ は $\overline W$ の開閉集合である。$F$ は閉集合 $\overline W$ の閉部分集合なので $X$ の閉集合であり、$F\subset W$ と $F$ が $\overline W$ で開であることから $F=F\cap W$ は $W$ の開集合、したがって $X$ の開集合である。ゆえに $x\in F\subset V$ となる開閉集合 $F$ がある。
$X$ がコンパクトなら、$x\neq y$ について $V:=X\setminus\{y\}$（完全不連結空間は $T_1$ なので開）に前半を適用すれば、$x$ を含み $y$ を含まない開閉集合が得られる。$\square$
この系は Eng89 Theorem 6.2.9（p. 362）である。コンパクト性（または局所コンパクト性）と Hausdorff 性のどちらを外しても成り立たないことを、下の反例で見る。
例
すべての部分集合が開である空間を離散空間という。そのすべての部分集合は補集合も開なので開閉集合である。異なる二点 $x,y$ は $\{x\}$ とその補集合で分けられるため、離散空間は完全不連結である。
有理数空間 $\mathbb Q$ に通常の実数直線からの相対位相を入れる。$a< b$ を有理数とし、無理数 $c$ を $a< c< b$ となるように取る。例えば $c=a+(b-a)/\sqrt2$ とすればよい。$\mathbb Q\cap(-\infty,c)$ と $\mathbb Q\cap(c,\infty)$ は互いに補集合で、ともに相対開である。従って二点を開閉集合で分けられ、$\mathbb Q$ は完全不連結である。
一方、任意の $q\in\mathbb Q$ と $\varepsilon>0$ に対し、正整数 $n$ を $1/n<\varepsilon$ となるように取れば、$q+1/n$ は $q$ と異なる有理数で $|q+1/n-q|<\varepsilon$ を満たす。したがって一点集合は開でなく、$\mathbb Q$ は離散空間ではない。同じ議論で、無理数全体の空間も完全不連結で離散でない（Eng89 Examples 6.2.18, p. 364）。
距離 $d$ が強三角不等式 $d(x,z)\leq\max\{d(x,y),d(y,z)\}$ を満たすとき、これを超距離という。超距離空間では正の半径の開球が開閉集合になり、異なる二点 $x,y$ は $r=d(x,y)$ の開球 $B(x,r)$ で分けられるので、prop-tdisc-clopen により完全不連結である（証明は 超距離空間 の命題「開球と正半径の閉球の開閉性」と命題「完全不連結性」）。$p$ 進数体 $\mathbb Q_p$ や、二値の無限列の空間 $\{0,1\}^{\mathbb N}$ に距離 $d(x,y)=2^{-\min\{n\mid x_n\neq y_n\}}$ を入れたものがこの例である。
Cantor集合 $C\subset[0,1]$ はコンパクトで完全不連結であり、孤立点をもたない（その記事の命題「完全性と完全不連結性」）。コンパクト Hausdorff なので cor-tdisc-locally-compact-zero-dim により開閉集合の開基をもつ。実際、構成の各段階の閉区間と $C$ の共通部分が、そのような開閉集合を与える。
反例
通常の実数直線の部分空間 $X=[0,1]\cup[2,3]$ は非連結である。実際、$[0,1]=X\cap(-1,3/2)$ と $[2,3]=X\cap(3/2,4)$ が非空の相対開分割を与える。しかし部分集合 $[0,1]$ は二点以上を含む連結な区間なので、$X$ は完全不連結ではない。
この例は「非連結なら完全不連結」を否定し、上の有理数空間の例は「完全不連結なら離散」を否定する。
$X:=\mathbb N\sqcup\{a,b\}$ に次の位相を入れる。$\mathbb N$ の各点は孤立点とし、$a$ の基本近傍を $\{a\}\cup(\mathbb N\setminus E)$、$b$ の基本近傍を $\{b\}\cup(\mathbb N\setminus E)$（$E\subset\mathbb N$ は有限集合）とする。
$X$ はコンパクトである。開被覆から $a$ を含む成員と $b$ を含む成員を一つずつ選ぶと、覆われない点は $\mathbb N$ の有限個だけで、それらを一つずつ覆う成員を足せばよい。$X$ は $T_1$ だが Hausdorff でない（$a$ と $b$ の近傍は必ず $\mathbb N$ の有限集合の補集合どうしで交わる）。
$X$ は完全不連結である。$n\in\mathbb N$ について $\{n\}$ は開であり、その補集合も各点の近傍を含むので開である。よって $n$ を含む連結集合 $A$ は、相対開閉集合 $A\cap\{n\}$ が空でないので $A=\{n\}$ である。$\mathbb N$ の点を含まない部分集合は $\{a,b\}$ の部分集合で、$\{a\}=\{a,b\}\cap(\{a\}\cup\mathbb N)$ は相対開なので $\{a,b\}$ は連結でない。
しかし $X$ は完全分離でない。$a$ を含む開閉集合 $U$ は、開なので $\mathbb N$ の有限集合を除いた部分を含む。$b\notin U$ なら $X\setminus U$ は $b$ を含む開集合で、やはり $\mathbb N$ の有限集合を除いた部分を含むが、この二つは交わり、$U\cap(X\setminus U)=\emptyset$ に反する。したがって $a$ と $b$ は開閉集合で分けられない。この例は、cor-tdisc-locally-compact-zero-dim と thm-tdisc-compact-quasi で Hausdorff 性を外せないことを示す（$a$ の準成分は $\{a,b\}$ である）。
完全不連結空間の連続像は完全不連結とは限らない。実際、Cantor 集合 $C$ から $[0,1]$ への連続な全射がある。
Cantor 関数 $\varphi\colon[0,1]\to[0,1]$ は連続な単調増加の全射で、構成で取り除く各開区間の上で定数である（Cantor集合 の命題「Cantor関数の構成」）。取り除く開区間 $(s,t)$ の上の値は端点 $s\in C$ での値に等しいので、$\varphi(C)=\varphi([0,1])=[0,1]$ である。よって $\varphi|_C\colon C\to[0,1]$ は連続な全射であり、完全不連結な $C$ の像 $[0,1]$ は連結で完全不連結でない。$\square$
この写像で $C$ を割った商空間は $[0,1]$ と同相になるので、完全不連結性は商空間にも遺伝しない（Eng89 p. 364）。
完全分離だが零次元でない距離空間として、Erdős の空間がある（この記事では証明しない。Eng89 Example 6.2.19, p. 364）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 二点以上の連結集合がないこと（非連結で代用） | $[0,1]\cup[2,3]$ | 非連結だが完全不連結でない |
| 開閉集合による分離（離散で代用） | $\mathbb Q$ | 完全不連結だが離散でない |
| Hausdorff 性（thm-tdisc-compact-quasi） | 極限点が二つある列 $\mathbb N\sqcup\{a,b\}$ | コンパクトで完全不連結なのに完全分離でない |
| 局所コンパクト性（cor-tdisc-locally-compact-zero-dim） | Erdős の空間 | 完全不連結な距離空間でも零次元とは限らない |
| 部分空間・直積であること（像・商） | Cantor 関数 $C\to[0,1]$ | 連続像・商空間が連結になる |
性質
完全不連結空間 $X$ の任意の部分空間 $Y\subset X$ は完全不連結である。
$A\subset Y$ に $Y$ から相対位相を入れたときの開集合は、$A\cap(Y\cap U)=A\cap U$（$U$ は $X$ の開集合）の形である。従ってこれは $X$ から直接入れる相対位相と同じである。$Y$ 内で非空かつ連結な $A$ は $X$ 内でも同じ連結部分集合なので、一点集合となる。$\square$
非空の連結部分集合 $A\subset P$ を取る。各座標射影 $\pi_i\colon P\to X_i$ は連続（連続写像）、すなわち開集合の逆像が開である。実際、その逆像は一座標だけを制限する基本開集合である。
像 $\pi_i(A)$ が二つの非空な相対開集合へ分割できれば、$A$ 内でその逆像を取ることにより $A$ も同様に分割されてしまう。よって $\pi_i(A)$ は連結であり、各 $X_i$ の完全不連結性から一点集合となる。従って $A$ のどの二点もすべての座標が等しく、同じ点である。
積が空なら結論は定義から従う。$I=\emptyset$ の空積は一点空間なので、この場合も含まれる。$\square$
部分空間と直積については Eng89 Theorem 6.2.11・6.2.14（pp. 362–363）にも同じ主張がある。$\{0,1\}^{\mathbb N}$ や $\{0,1\}^{I}$（Cantor 立方体）が完全不連結であることは、この命題からも分かる。
$Y$ が連結で $X$ が完全不連結なら、連続写像 $f\colon Y\to X$ は定数である。
連結空間の連続像は連結である。実際、$f(Y)$ が相対開集合 $A,B$ で非自明に分けられれば、$f^{-1}(A),f^{-1}(B)$ が $Y$ を非自明に分けてしまう。よって $f(Y)$ は $X$ の空でない連結部分集合であり、一点集合である（$Y=\emptyset$ なら主張は自明）。$\square$
特に完全不連結空間の中の道は定数であり、完全不連結空間の道成分はすべて一点集合である。
関連項目
参考文献
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