コンパクト生成空間

要点：1 点空間からの写像を考えると弱 Hausdorff 空間の点は閉である。2 では、像の 2 点のファイバーを $K$ の正規性で開集合 $U,V$ に分け、閉集合 $u(K\setminus U)$、$u(K\setminus V)$ の補集合で 2 点を分ける。3 は 2 により試験写像を像への写像とみればよい。

1：$A\subset X$ が閉でないとする。$X$ は点列空間なので、$A$ の点列 $(a_n)$ で、$A$ に属さない点 $x$ に収束するものがある。$\mathbb{N}^+:=\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ を $\mathbb{N}$ の一点コンパクト化（$\{0\}\cup\{1/(n+1)\mid n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{R}$ と同相なコンパクト Hausdorff 空間）とし、$u(n)=a_n$、$u(\infty)=x$ とおく。$\infty$ の近傍は有限個を除くすべての $n$ を含む集合を含み、$a_n\to x$ なので $u$ は連続である。$u^{-1}(A)$ は $\mathbb{N}$ を含み $\infty$ を含まないが、$\infty$ は $\mathbb{N}$ の閉包に属するので、$u^{-1}(A)$ は閉集合でない。よって $A$ は $k$-閉集合でない。第1可算空間・距離空間は点列空間である（点列空間 の命題「可算性公理との階層」）。
2：$A$ を $k$-閉集合、$x\in\overline{A}$ とする。$x$ のコンパクト近傍 $C$ をとる。$C$ はコンパクト Hausdorff 部分空間なので、包含写像を試験写像とみて $A\cap C$ は $C$ の閉集合であり、$C$ は Hausdorff 空間 $X$ のコンパクト集合として閉なので、$A\cap C$ は $X$ の閉集合である。$x$ の任意の開近傍 $V$ について $V\cap\operatorname{Int}C$ も $x$ の開近傍なので $A$ と交わり、$V\cap(A\cap C)\neq\emptyset$ である。よって $x\in\overline{A\cap C}=A\cap C\subset A$ であり、$A$ は閉集合である。
3：Hausdorff 空間は弱 Hausdorff である（prop-cg-weak-hausdorff の 1）。$\square$

$f$ が連続なら $f\circ u$ は連続である。逆に、$B\subset Y$ を閉集合とすると、各試験写像 $u$ について $u^{-1}(f^{-1}(B))=(f\circ u)^{-1}(B)$ は閉集合なので、$f^{-1}(B)$ は $k$-閉集合であり、$X$ は $k$-空間なので閉集合である。後半：$f|_C$ がすべて連続なら、試験写像 $u$ について $u(K)=C$ はコンパクト Hausdorff 部分空間（prop-cg-weak-hausdorff の 2）で、$f\circ u=f|_C\circ u'$（$u'\colon K\to C$）は連続である。逆は、包含写像が試験写像であることから従う。$\square$

$k$-閉集合全体が閉集合系の公理を満たすことを確かめる。$\emptyset$ と $X$ は $k$-閉集合であり、逆像は有限個の和と任意個の共通部分を保つので、$k$-閉集合の有限個の和と任意個の共通部分は $k$-閉集合である。
1：閉集合は $k$-閉集合なので、$kX$ の位相は $X$ の位相より細かい。$u\colon K\to X$ が試験写像なら、$kX$ の閉集合 $A$（$X$ の $k$-閉集合）について $u^{-1}(A)$ は定義により閉なので、$u\colon K\to kX$ も連続である。逆は $u=\varepsilon\circ u$ から従う。
2：$A$ を $kX$ の $k$-閉集合とする。1 により、$X$ へのすべての試験写像 $u$ は $kX$ への試験写像でもあるので $u^{-1}(A)$ は閉集合であり、$A$ は $X$ の $k$-閉集合、すなわち $kX$ の閉集合である。後半は定義から明らかである。
3：$u\colon K\to kX$ を試験写像とすると、1 により $u\colon K\to X$ も試験写像であり、$u(K)$ は $X$ の閉集合である。$kX$ の位相は細かいので、$u(K)$ は $kX$ でも閉集合である。
4：$f\colon Z\to kX$ が連続なら $f=\varepsilon\circ f$ も連続である。逆に $f\colon Z\to X$ が連続で、$A$ を $X$ の $k$-閉集合とする。$Z$ への試験写像 $v\colon K\to Z$ について $f\circ v$ は $X$ への試験写像なので、$v^{-1}(f^{-1}(A))=(f\circ v)^{-1}(A)$ は閉集合である。よって $f^{-1}(A)$ は $Z$ の $k$-閉集合であり、$Z$ は $k$-空間なので閉集合である。$\square$

$W\subset X\times L$ を $k$-開集合とし、$W$ が開集合であることを示す。$(x_0,l_0)\in W$ とする。
段 1：$W_{x_0}:=\{l\in L\mid(x_0,l)\in W\}$ は $L$ の開集合である。実際、$L$ への試験写像 $v\colon K\to L$ について、$k\mapsto(x_0,v(k))$ は $X\times L$ への試験写像なので、その逆像 $v^{-1}(W_{x_0})$ は $K$ の開集合である。よって $W_{x_0}$ は $L$ の $k$-開集合であり、$L$ は $k$-空間（prop-cg-examples の 2）なので開集合である。
段 2：$l_0\in W_{x_0}$ であり、$L$ は局所コンパクト Hausdorff なので、$l_0$ のコンパクト近傍 $N$ で $N\subset W_{x_0}$ となるものがある（局所コンパクト空間 の定理「コンパクト近傍の同値な形」の 4）。$N$ はコンパクト Hausdorff である。
段 3：$V:=\{x\in X\mid\{x\}\times N\subset W\}$ とおくと、段 2 より $x_0\in V$ である。$V$ が $X$ の $k$-開集合であることを示す。試験写像 $u\colon K\to X$ をとる。$K\times N$ はコンパクト Hausdorff であり（Tychonoffの定理、直積位相 の命題「Hausdorff性と可算公理の遺伝」）、$u\times\iota\colon K\times N\to X\times L$（$\iota$ は包含写像）は試験写像なので、$O:=(u\times\iota)^{-1}(W)$ は $K\times N$ の開集合である。$u^{-1}(V)=\{k\in K\mid\{k\}\times N\subset O\}$ である。$k\in u^{-1}(V)$ とすると、各 $n\in N$ について $(k,n)\in P_n\times Q_n\subset O$ となる開集合 $P_n\subset K$、$Q_n\subset N$ がある。$N$ はコンパクトなので有限個の $Q_{n_1},\dots,Q_{n_r}$ で覆われ、$P:=P_{n_1}\cap\dots\cap P_{n_r}$ は $k$ を含む開集合で $P\times N\subset O$ を満たす。よって $P\subset u^{-1}(V)$ であり、$u^{-1}(V)$ は開集合である。$X$ は $k$-空間なので $V$ は開集合である。
段 4：$V\times\operatorname{Int}N$ は $(x_0,l_0)$ を含む $X\times L$ の開集合であり、$V$ の定義から $W$ に含まれる。$(x_0,l_0)\in W$ は任意だったので、$W$ は開集合である。$\square$

$p_X$ は直積位相の射影と恒等写像 $\varepsilon\colon k(X\times Y)\to X\times Y$ の合成なので連続である。$f,g$ に対し、写像 $h=(f,g)\colon Z\to X\times Y$ は直積位相の普遍性（直積位相 の定理「直積位相の普遍性」）により連続であり、$Z$ は $k$-空間なので prop-cg-k-ification の 4 により $h\colon Z\to k(X\times Y)$ も連続である。$p_X\circ h=f$、$p_Y\circ h=g$ を満たす写像は集合の写像として $(f,g)$ に限るので一意である。最後の主張は thm-cg-product-locally-compact と prop-cg-k-ification の 2 による。$\square$