特殊ユニタリ群

$W\in\mathrm{U}(n)$ に対し、$\zeta^n=\det W$ となる $\zeta\in\mathrm{U}(1)$ をとり $W':=\zeta^{-1}W$ とおくと、$\det W'=\zeta^{-n}\det W=1$ なので $W'\in\mathrm{SU}(n)$ であり、スカラー行列はすべての行列と可換なので $W'AW'^{-1}=WAW^{-1}$ である。よって $\mathrm{U}(n)$ の元による共役は $\mathrm{SU}(n)$ の元による共役で実現でき、2 の (a) ⇔ (b) が成り立つ。(b) ⇔ (c) と、どの元も $\mathrm{U}(n)$ の元による共役で対角行列 $D$ に写ることは ユニタリ群 の定理「共役類は固有値で決まる」である。$A\in\mathrm{SU}(n)$ なら $\det D=\det A=1$ なので $D\in T'$ であり、1 が従う。$\square$

段 1（$\mathrm{SU}(2)$ の対角行列）：$w\in\mathrm{U}(1)$ に対し $D_w:=\operatorname{diag}(w,\bar w)\in\mathrm{SU}(2)$、$J:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in\mathrm{SU}(2)$ とおく。$Je_1=e_2$、$Je_2=-e_1$ なので、$J$ による共役は 2 つの対角成分を入れ替え、$JD_wJ^{-1}=\operatorname{diag}(\bar w,w)=D_w^{-1}$ である。両辺の逆元をとると $JD_w^{-1}J^{-1}=D_w$ なので
$$ [D_w,J]=D_w\bigl(JD_w^{-1}J^{-1}\bigr)=D_w^2=D_{w^2} $$
である。どの $z\in\mathrm{U}(1)$ も $z=w^2$（$w\in\mathrm{U}(1)$）と書けるので、$\operatorname{diag}(z,\bar z)$ は $\mathrm{SU}(2)$ の交換子である。
段 2（$\mathrm{SU}(n)$ の対角行列）：$D=\operatorname{diag}(z_1,\dots,z_n)\in T'$ とし、$c_l:=z_1z_2\cdots z_l$（$1\le l\le n-1$）とおく。$\lvert c_l\rvert=1$ である。対角行列どうしは可換なので
$$ D=\prod_{l=1}^{n-1}\iota_l\bigl(\operatorname{diag}(c_l,\bar c_l)\bigr) $$
である。実際、右辺の第 $l$ 対角成分は、$2\le l\le n-1$ なら $c_l\bar c_{l-1}=z_l$、$l=1$ なら $c_1=z_1$、$l=n$ なら $\bar c_{n-1}=(z_1\cdots z_{n-1})^{-1}=z_n$（$z_1\cdots z_n=1$）である。段 1 により各因子は $\iota_l([D_w,J])=[\iota_l(D_w),\iota_l(J)]$ の形なので、$D$ は $\mathrm{SU}(n)$ の交換子 $n-1$ 個の積である。
段 3（一般の元）：$A\in\mathrm{SU}(n)$ は、prop-sun-conj の 1 により $W\in\mathrm{SU}(n)$ と $D\in T'$ で $A=WDW^{-1}$ と書ける。$W[x,y]W^{-1}=[WxW^{-1},WyW^{-1}]$ なので、段 2 の表示を $W$ で共役すると、$A$ も $\mathrm{SU}(n)$ の交換子 $n-1$ 個の積である。これで 1 が示され、2 が従う（$[\mathrm{SU}(n),\mathrm{SU}(n)]\subset\mathrm{SU}(n)$ は明らか）。
段 4（$\mathrm{U}(n)$）：$\det[x,y]=1$ なので $[\mathrm{U}(n),\mathrm{U}(n)]\subset\mathrm{SU}(n)$ であり、2 から逆の包含 $\mathrm{SU}(n)=[\mathrm{SU}(n),\mathrm{SU}(n)]\subset[\mathrm{U}(n),\mathrm{U}(n)]$ も成り立つ。$\det\colon\mathrm{U}(n)\to\mathrm{U}(1)$ は全射で核が $\mathrm{SU}(n)$ なので（ユニタリ群 の命題「行列式による分解」）、準同型定理によりアーベル化は $\mathrm{U}(1)$ と同型である。$\square$

要点：$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ の極分解 $A=UP$（ユニタリ群 の定理「極分解と極大コンパクト性」）で、$\det P>0$ と $\lvert\det U\rvert=1$ から $\det A=1$ なら $\det P=\det U=1$ である。$\mathcal{P}_n^1$ は凸集合 $\mathcal{P}_n$ を行列式で正規化した像として可縮であり、3 は中心の円周を掛けて $\mathrm{U}(n)$ の極大性に帰着する。

1：$N(px\bar q)=N(p)N(x)N(\bar q)=N(x)$ なので $R(p,q)$ は長さを保つ線形写像、すなわち直交変換である。$R(pp',qq')(x)=pp'x\bar q'\bar q=R(p,q)\bigl(R(p',q')(x)\bigr)$ なので準同型であり、成分は $p,q$ の成分の多項式なので連続である。$\det R(p,q)\in\{\pm1\}$ は $(p,q)$ について連続で、$\mathrm{Sp}(1)\times\mathrm{Sp}(1)=S^3\times S^3$ は弧状連結、$R(1,1)=I$ なので、行列式はつねに $1$ である。
全射：$A\in\mathrm{SO}(4)$ とし、$a:=A(1)$ とおく。$N(a)=1$ なので $a\in\mathrm{Sp}(1)$ で、$B:=R(\bar a,1)\circ A\in\mathrm{SO}(4)$ は $B(1)=\bar aa=1$ を満たす。$B$ は直交変換なので $1$ の直交補空間である純四元数の空間 $\mathrm{Im}\,\mathbb{H}$ を保ち（$x$ と $1$ の内積は $x$ の実部）、$\mathrm{Im}\,\mathbb{H}$ 上の制限は行列式 $\det B=1$ の直交変換である。二重被覆群 の定理「$\mathrm{SU}(2)$ による $\mathrm{SO}(3)$ の二重被覆」により、$q\in\mathrm{Sp}(1)$ で $B(x)=qx\bar q$（$x\in\mathrm{Im}\,\mathbb{H}$）となるものがある。$x=1$ でも $q\bar q=1=B(1)$ なので、線形性から $B=R(q,q)$ である。よって $A=R(a,1)\circ B=R(aq,q)$ である。
核：$px\bar q=x$ がすべての $x$ で成り立つなら、$x=1$ として $p\bar q=1$、すなわち $p=q$ であり、$px=xp$ がすべての $x$ で成り立つ。$p=p_0+p_1i+p_2j+p_3k$ が $i$ と可換なら $p_2=p_3=0$、$j$ と可換なら $p_1=0$ なので、$p$ は実数で、$N(p)=1$ から $p=\pm1$ である。逆に $R(-1,-1)=R(1,1)=I$ である。
2：核 $\{\pm(1,1)\}$ は中心的で位数 $2$ である。二重被覆群 の命題「中心的な位数 2 の部分群による商」により商写像は二重被覆準同型で、$R$ が誘導する連続な全単射は、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので同相写像である（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」）。よって $R$ は二重被覆準同型である。$S^3$ は単連結で（Hat02 Proposition 1.14、p. 35）、弧状連結な空間の積の基本群は積である（同書 Proposition 1.12、p. 34）ので、$S^3\times S^3$ は単連結である。二重被覆群 の命題「基本群との関係」により $\pi_1(\mathrm{SO}(4))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。
3：$\mathrm{Spin}(4)$ は単連結で $\rho$ は二重被覆準同型である（Spin群 の定理「Spin 群による回転群の二重被覆」と系「$\mathrm{Spin}(n)$ の単連結性」）。被覆空間の一意性により、同相写像 $f$ で $\rho\circ f=R$、$f(1,1)=1$ を満たすものがある。