沈め込み
概要
沈め込み（submersion）とは、可微分多様体の間の $C^\infty$ 級写像 $F\colon M\to N$ で、各点 $p$ で微分 $dF_p$ が全射であるもののことであり、局所的には座標を取り替えると直積の射影になる。沈め込みであることは、各点が滑らかな局所切断の像に入ることと同値であり、全射な沈め込みによる商はファイバーの分け方だけで微分同相を除いて一意に定まる。コンパクトな多様体から連結な多様体への沈め込みは全射であり、沈め込みと任意の写像のファイバー積は閉部分多様体で、その射影はまた沈め込みになる。ベクトル束の射影、正則値定理、Ehresmann の補題によるファイバー束の構成などの基礎となる。
平面から直線への射影 $(x,y)\mapsto x$ は、各点で平面の動きを直線の動きとして漏れなく拾う写像である。多様体の間の写像 $F\colon M\to N$ で、各点の微分 $dF_p$ が全射であるものを沈め込みという。沈め込みは局所的には直積の射影と同じ形をしており、そのファイバーは部分多様体になる。この記事では、沈め込みを局所切断によって特徴づけ、全射な沈め込みによる商が一意であること、コンパクトな多様体からの沈め込みが全射になること、沈め込みと任意の写像のファイバー積が多様体になることを証明する。
定義
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な $C^\infty$ 級多様体（可微分多様体）とし、写像は $C^\infty$ 級とする。$M$ を $m$ 次元、$N$ を $n$ 次元の多様体とする。
$F\colon M\to N$ を $C^\infty$ 級写像とする。点 $p\in M$ で微分 $dF_p\colon T_pM\to T_{F(p)}N$（接空間）が全射であるとき、$F$ は $p$ で沈め込みであるという。すべての点で沈め込みであるとき、$F$ を沈め込み（submersion）という。
座標で書けば、$F$ が $p$ で沈め込みであることは、局所表示の Jacobi 行列（$n\times m$ 行列）の階数が $n$ であることである。とくに $M$ が空でなければ $m\ge n$ である。沈め込みであることは 正則値定理 の記事の定義（正則点・正則値・沈め込み）の言葉では「すべての点が正則点」であることであり、沈め込みの各ファイバー $F^{-1}(q)$ は空集合か $m-n$ 次元の閉部分多様体である（同記事の系（沈め込みの逆像））。
連続写像 $F\colon X\to Y$ について、$X$ の各点 $x$ に対し $F(x)$ の開近傍 $W$ と連続写像 $\sigma\colon W\to X$ で $F\circ\sigma=\mathrm{id}_W$、$\sigma(F(x))=x$ となるものがあるとき、$F$ を位相的な沈め込みという（Lee13 p. 89）。thm-subm-local-section により滑らかな沈め込みは位相的な沈め込みであるが、逆は成り立たない（ex-subm-cube）。代数幾何学では、沈め込みにあたる概念は滑らかな射（滑らかな射）である。
直感
沈め込みの基本形は直積の射影 $\mathrm{pr}_1\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^{m-n}\to\mathbb{R}^n$ である。正則値定理 の記事の定理（沈め込みの局所標準形）によれば、沈め込みは各点の近くで座標を取り替えるとこの射影になる。つまり沈め込みは、$M$ を局所的に「$N$ の開集合とファイバー方向の開集合の直積」に分け、ファイバー方向をつぶす写像である。
この見方から、沈め込みの性質の多くが出てくる。射影には逆向きの写像（$x\mapsto(x,0)$ のような切断）がたくさんあるので、沈め込みは局所切断をもち、開写像である。全射な沈め込みは「ファイバーをつぶす」商写像の滑らかな版である。また、射影は条件「$y$ 成分がこの値」を自由に課せるので、沈め込みと別の写像の値が一致する点の集合（ファイバー積）は、方程式の個数どおりの次元の多様体になる。
$F\colon M\to N$ が点 $p$ で沈め込みなら、$p$ の開近傍 $U$、$F(p)$ の開近傍 $W$、$\mathbb{R}^{m-n}$ の開集合 $B$、微分同相写像 $\kappa\colon U\to W\times B$ で、$\mathrm{pr}_1\circ\kappa=F|_U$ となるものが存在する。
正則値定理 の記事の定理（沈め込みの局所標準形）により、$p$ のまわりの座標近傍 $(U_0,\varphi)$ と $F(p)$ のまわりの座標近傍 $(V,\psi)$ で、$\varphi(p)=0$、$\psi(F(p))=0$、$F(U_0)\subset V$ であり、$\psi\circ F\circ\varphi^{-1}(x,z)=x$（$x\in\mathbb{R}^n$、$z\in\mathbb{R}^{m-n}$）となるものがある。$\varphi(U_0)$ は $0$ を含む開集合なので、$0$ を中心とする開立方体 $A\subset\mathbb{R}^n$、$B\subset\mathbb{R}^{m-n}$ で $A\times B\subset\varphi(U_0)$ となるものがとれる。$(x,z)\in A\times B$ なら $x=\psi(F(\varphi^{-1}(x,z)))\in\psi(V)$ なので $A\subset\psi(V)$ である。$U:=\varphi^{-1}(A\times B)$、$W:=\psi^{-1}(A)$ とおき、
$$
\kappa(u):=\bigl(\psi^{-1}(x),\ z\bigr)\qquad((x,z):=\varphi(u))
$$
と定める。$\kappa$ は $C^\infty$ 級で、逆写像 $(w,z)\mapsto\varphi^{-1}(\psi(w),z)$ も $C^\infty$ 級なので、$\kappa$ は $U$ から $W\times B$ への微分同相写像である。局所標準形により $\psi^{-1}(x)=F(\varphi^{-1}(x,z))=F(u)$ なので、$\mathrm{pr}_1\circ\kappa=F|_U$ である。$\square$
- 沈め込み $F\colon M\to N$、$G\colon N\to P$ の合成 $G\circ F$ は沈め込みである。
- 沈め込み $F_i\colon M_i\to N_i$（$i=1,2$）の直積 $F_1\times F_2\colon M_1\times M_2\to N_1\times N_2$ は沈め込みである。とくに直積の射影 $\mathrm{pr}_1\colon M_1\times M_2\to M_1$ は沈め込みである。
- 沈め込みの開集合への制限は沈め込みである。$m=n$ のとき、沈め込みであることは局所微分同相写像であることと同値である。
1：接空間 の記事の定理（連鎖律）により $d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p$ は全射の合成なので全射である。2：直積の座標近傍に関する $F_1\times F_2$ の局所表示の Jacobi 行列は、$F_1$、$F_2$ の Jacobi 行列を対角に並べたブロック行列であり、階数は $n_1+n_2$ である。射影は恒等写像 $M_1\to M_1$ と 1 点への写像 $M_2\to\{\ast\}$ の直積である。3：前半は微分が点の近くだけで決まることによる。$m=n$ なら $dF_p$ が全射であることと同型であることは同値であり、逆関数定理 により $F$ は $p$ の近くで微分同相写像である。$\square$
例
$\pi\colon E\to B$ を滑らかなベクトル束（ベクトル束）とすると、$\pi$ は沈め込みである。実際、局所自明化 $\phi_U\colon\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{R}^r$ は微分同相写像で $\mathrm{pr}_1\circ\phi_U=\pi$ を満たすので、$\pi|_{\pi^{-1}(U)}=\mathrm{pr}_1\circ\phi_U$ は沈め込みの合成である（prop-subm-operations）。とくに接束の射影 $TM\to M$ は沈め込みである。
一般線形群 $GL(n,\mathbb{R})$（$M_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n^2}$ の開集合）上の行列式 $\det\colon GL(n,\mathbb{R})\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ は沈め込みである。正則値定理 の記事の例（特殊線形群）の公式 $D\det(A)H=\det A\cdot\operatorname{tr}(A^{-1}H)$ で $H:=A$ とおくと $D\det(A)A=n\det A\neq0$ となり、$D\det(A)$ は $\mathbb{R}$ への全射だからである。ファイバー $\det^{-1}(c)=\{A\mid\det A=c\}$ はすべて $n^2-1$ 次元の閉部分多様体であり、$c=1$ のファイバーが $SL(n,\mathbb{R})$ である。
$\nu\colon\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n$、$\nu(x):=x/\|x\|$ は沈め込みである。$x_0\in\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ に対し $\sigma(y):=\|x_0\|\,y$（$y\in S^n$）とおくと、$\sigma$ は $C^\infty$ 級で、$\nu(\sigma(y))=y$、$\sigma(\nu(x_0))=x_0$ である。よって各点が局所切断（ここでは大域的な切断）の像に入るので、thm-subm-local-section により $\nu$ は沈め込みである。ファイバーは原点から出る開半直線である。Hopf 写像 $S^3\to\mathbb{CP}^1$ も沈め込みである（Ehresmannの補題 の記事の例（Hopf ファイブレーション））。
$F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$F(x):=x^3$ は $C^\infty$ 級の同相写像で、全射かつ開写像であり、連続な逆写像 $\sigma(y)=y^{1/3}$ が切断になるので位相的な沈め込みでもある。しかし $F'(0)=0$ なので $x=0$ で沈め込みでない。このとき、$G\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$G(y):=y^{1/3}$ について $G\circ F=\mathrm{id}_\mathbb{R}$ は $C^\infty$ 級だが、$G$ は $0$ で微分可能でない。満たす性質は「$C^\infty$ 級の全射な開写像で、連続な局所切断をもつ」、満たさない性質は「$0$ で沈め込み」であり、破る含意は「全射 $F$ について $G\circ F$ が $C^\infty$ 級なら $G$ も $C^\infty$ 級」（正則値定理 の記事の命題（沈め込みの局所切断と開写像性）の 3）である。
局所切断による特徴づけ
$F\colon M\to N$ の局所切断とは、$N$ の開集合 $W$ 上の $C^\infty$ 級写像 $\sigma\colon W\to M$ で $F\circ\sigma=\mathrm{id}_W$ を満たすものをいう。
$C^\infty$ 級写像 $F\colon M\to N$ が沈め込みであるための必要十分条件は、$M$ の各点 $p$ が $F$ のある局所切断の像に属すること、すなわち $F(p)$ の開近傍 $W$ と局所切断 $\sigma\colon W\to M$ で $\sigma(F(p))=p$ となるものが存在することである。
必要性は 正則値定理 の記事の命題（沈め込みの局所切断と開写像性）の 1 である（prop-subm-local-product の形で言えば、$\sigma(w):=\kappa^{-1}(w,z_0)$、$z_0$ は $\kappa(p)$ の第 2 成分とすればよい）。
十分性を示す。$p\in M$ とし、$q:=F(p)$、$\sigma\colon W\to M$ を $\sigma(q)=p$ を満たす局所切断とする。$F\circ\sigma=\mathrm{id}_W$ の両辺の $q$ での微分をとると、接空間 の記事の定理（連鎖律）により
$$
dF_p\circ d\sigma_q=d(\mathrm{id}_W)_q=\mathrm{id}_{T_qN}
$$
となる。右辺は全射なので $dF_p$ は全射である。$p$ は任意なので $F$ は沈め込みである。$\square$
十分性の証明では、局所切断が $C^\infty$ 級であること（微分がとれること）が本質的に使われている。ex-subm-cube のように切断が連続なだけでは、沈め込みとは限らない。Lee13 Theorem 4.26（p. 88）が同じ主張である。
全射な沈め込みと商
全射な沈め込み $F\colon M\to N$ は開写像なので商写像であり、写像 $G\colon N\to P$ が $C^\infty$ 級であることは $G\circ F$ が $C^\infty$ 級であることと同値である（正則値定理 の記事の命題（沈め込みの局所切断と開写像性）の 2、3）。したがって、$M$ 上の $C^\infty$ 級写像 $H\colon M\to P$ が $F$ の各ファイバー上で一定なら、$H=G\circ F$ となる写像 $G$ がただ一つあり、$G$ は $C^\infty$ 級である。次の定理は、商として得られる多様体が、ファイバーの分け方だけで微分同相を除いて決まることを述べる。
$F_1\colon M\to N_1$、$F_2\colon M\to N_2$ を全射な沈め込みとし、ファイバーの分け方が同じ、すなわち $x,x'\in M$ について
$$
F_1(x)=F_1(x')\iff F_2(x)=F_2(x')
$$
が成り立つとする。このとき微分同相写像 $\Theta\colon N_1\to N_2$ で $\Theta\circ F_1=F_2$ となるものがただ一つ存在する。
$y\in N_1$ に対し、$F_1$ は全射なので $F_1(x)=y$ となる $x$ がある。$\Theta(y):=F_2(x)$ と定める。別の $x'$ で $F_1(x')=y$ なら仮定により $F_2(x')=F_2(x)$ なので、$\Theta$ は $x$ の選び方によらない。定義から $\Theta\circ F_1=F_2$ であり、右辺は $C^\infty$ 級なので、上に引いた命題により $\Theta$ は $C^\infty$ 級である。$F_1$ と $F_2$ の役割を入れ替えて、$C^\infty$ 級写像 $\Lambda\colon N_2\to N_1$ で $\Lambda\circ F_2=F_1$ となるものを得る。
$$
(\Lambda\circ\Theta)\circ F_1=\Lambda\circ F_2=F_1,\qquad(\Theta\circ\Lambda)\circ F_2=\Theta\circ F_1=F_2
$$
であり、$F_1$、$F_2$ は全射なので $\Lambda\circ\Theta=\mathrm{id}_{N_1}$、$\Theta\circ\Lambda=\mathrm{id}_{N_2}$ である。よって $\Theta$ は微分同相写像である。$\Theta'$ も $\Theta'\circ F_1=F_2$ を満たせば、$F_1$ の全射性により $\Theta'=\Theta$ である。$\square$
Lee13 Theorem 4.31（pp. 90–91）が同じ主張で、同書では証明は演習とされている。たとえば、Lie 群 $G$ が多様体 $M$ に自由かつ固有に作用するとき、軌道空間 $M/G$ には商写像 $M\to M/G$ が沈め込みとなる多様体の構造がただ一つ入る（Lee13 Theorem 21.10、pp. 544–545。この記事では証明しない）。一意性の部分は、上の定理を軌道への分け方に当てたものにあたる。
コンパクトな多様体からの沈め込み
$M$ を空でないコンパクトな多様体、$N$ を連結な多様体、$F\colon M\to N$ を沈め込みとする。このとき $F$ は全射であり、$N$ はコンパクトである。
- 空でないコンパクトな多様体から $\mathbb{R}^n$（$n\ge1$）への沈め込みは存在しない。
- 空でないコンパクトな多様体 $M$ 上の $C^\infty$ 級関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ は、少なくとも 1 つの臨界点（$df_p=0$ となる点）をもつ。
1：$\mathbb{R}^n$ は連結でコンパクトでないので、thm-subm-compact に反する。2：$f$ が臨界点をもたなければ、各点で $df_p\neq0$ であり、値域が 1 次元なので $df_p$ は全射である。すると $f$ は $\mathbb{R}$ への沈め込みになり、1 に反する。$\square$
2 は「コンパクト集合上の連続関数は最大値をとり、最大点で微分が $0$ になる」ことからも従うが、上の証明は値域の位相（連結でコンパクトでない）だけを使っている。同じ議論により、コンパクトな多様体から連結な非コンパクト多様体への沈め込みは存在しない。
ファイバー積
$F\colon M\to N$、$G\colon P\to N$ を $C^\infty$ 級写像とする。
$$
M\times_NP:=\{(x,y)\in M\times P\mid F(x)=G(y)\}
$$
を $F$ と $G$ のファイバー積（fiber product）という。$G$ が 1 点 $\{q\}$ の包含写像なら $M\times_NP$ はファイバー $F^{-1}(q)$ と同じものであり、$G$ が部分多様体 $Z\subset N$ の包含写像なら $F^{-1}(Z)$ と同じものである。
$F\colon M\to N$ を沈め込み、$G\colon P\to N$ を $C^\infty$ 級写像とし、$p:=\dim P$、$Z:=M\times_NP$ とおく。
- $Z$ は空集合であるか、$M\times P$ の $m+p-n$ 次元の閉部分多様体である。
- 点 $(x,y)\in Z$ で、$T_{(x,y)}(M\times P)$ を $d(\mathrm{pr}_M)$ と $d(\mathrm{pr}_P)$ により $T_xM\oplus T_yP$ と同一視すると、$T_{(x,y)}Z=\{(v,w)\mid dF_x(v)=dG_y(w)\}$ である。
- 射影の制限 $\mathrm{pr}_P|_Z\colon Z\to P$ は沈め込みである。
- $C^\infty$ 級写像 $a\colon Q\to M$、$b\colon Q\to P$ が $F\circ a=G\circ b$ を満たせば、$(a,b)\colon Q\to Z$ は $C^\infty$ 級である。
$Z$ は連続写像 $F\times G\colon M\times P\to N\times N$ による対角線 $\{(q,q)\}$（$N$ は Hausdorff なので閉集合）の逆像なので、閉集合である。
1 と 2：$(x_0,y_0)\in Z$、$q_0:=F(x_0)=G(y_0)$ とし、$q_0$ のまわりの座標近傍 $(V,\psi)$ をとる。開集合 $O:=F^{-1}(V)\times G^{-1}(V)$ は $(x_0,y_0)$ を含み、その上で
$$
\Phi(x,y):=\psi(F(x))-\psi(G(y))\in\mathbb{R}^n
$$
と定める。$\psi$ は単射なので $O\cap Z=\Phi^{-1}(0)$ である。$\Phi$ が沈め込みであることを示す。$(x,y)\in O$ のまわりの座標近傍 $(U_1,\varphi)$、$(U_2,\chi)$ をとると、直積の座標近傍 $\varphi\times\chi$ に関する $\Phi$ の局所表示は $(a,b)\mapsto\psi F\varphi^{-1}(a)-\psi G\chi^{-1}(b)$ であり、その Jacobi 行列はブロック表示で $\begin{pmatrix}A&-B\end{pmatrix}$（$A$、$B$ はそれぞれ $\psi F\varphi^{-1}$、$\psi G\chi^{-1}$ の Jacobi 行列）である。$F$ は沈め込みなので $A$ の階数は $n$ であり、したがって $\begin{pmatrix}A&-B\end{pmatrix}$ の階数も $n$ である。よって $\Phi$ は沈め込みで、正則値定理 の記事の定理（正則値定理）により $O\cap Z$ は $O$ の $(m+p)-n$ 次元部分多様体であり、その接空間は $\ker d\Phi$ である。$O$ は開集合なので $O\cap Z$ のスライス座標は $Z$ の $M\times P$ でのスライス座標でもあり、このような $O$ は $Z$ を覆うので、$Z$ は $M\times P$ の部分多様体である。直積の座標近傍では $\mathrm{pr}_M$、$\mathrm{pr}_P$ の Jacobi 行列は単位行列のブロックなので、$(d\mathrm{pr}_M,d\mathrm{pr}_P)$ は同型 $T_{(x,y)}(M\times P)\to T_xM\oplus T_yP$ である。$O$ 上で $\Phi=\psi\circ F\circ\mathrm{pr}_M-\psi\circ G\circ\mathrm{pr}_P$ なので、連鎖律により $d\Phi(v,w)=d\psi(dF_x(v))-d\psi(dG_y(w))$ であり、$d\psi$ は単射なので $\ker d\Phi=\{(v,w)\mid dF_x(v)=dG_y(w)\}$ である。
3：$\mathrm{pr}_P|_Z$ の $(x,y)$ での微分は、2 の同一視で $(v,w)\mapsto w$ である。$w\in T_yP$ を任意にとると、$dF_x$ は全射なので $dF_x(v)=dG_y(w)$ となる $v$ があり、$(v,w)\in T_{(x,y)}Z$ である。よって微分は全射である。
4：$(a,b)\colon Q\to M\times P$ は $C^\infty$ 級で、仮定により像は $Z$ に含まれる。はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の記事の命題（終域を部分多様体に制限する）により、$Z$ への写像としても $C^\infty$ 級である。$\square$
3 は「沈め込みは引き戻しで保たれる」ことを述べている。$G$ を部分多様体 $Z'\subset N$ の包含写像にとると、1 は 正則値定理 の記事の系（沈め込みの逆像）の 2 を含む。$G=F$ とすると、$M\times_NM=\{(x,x')\mid F(x)=F(x')\}$ は $M\times M$ の $2m-n$ 次元閉部分多様体であり、ファイバーの分け方を表す同値関係そのものが多様体になる。
$F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$F(x):=x^2$ と $G\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$G(y):=y^2$ のファイバー積は $\{(x,y)\mid x^2=y^2\}=\{y=x\}\cup\{y=-x\}$ であり、原点で 2 本の直線が交わる。原点の近くでこの集合はどの次元の部分多様体でもない（座標を線形に取り替えれば十字 $\{uv=0\}$ になり、正則値定理 の記事の例（反例：十字）の議論がそのまま通る）。満たす性質は「$C^\infty$ 級写像のファイバー積」、満たさない性質は「$F$ が $0$ で沈め込み」であり、破る含意は thm-subm-fiber-product の 1 である。
反例の一覧
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $F$ が沈め込み | $x\mapsto x^3$ | $G\circ F$ が $C^\infty$ 級なら $G$ も $C^\infty$ 級 |
| $F$ が沈め込み | $x\mapsto x^2$ と $y\mapsto y^2$ のファイバー積 | ファイバー積が部分多様体 |
| $M$ がコンパクト | 包含 $(0,1)\hookrightarrow\mathbb{R}$ | 沈め込みが全射 |
| $N$ が連結 | 2 つの円周の非交和 $S^1\sqcup S^1$ の一方の成分への包含 $S^1\hookrightarrow S^1\sqcup S^1$ | 沈め込みが全射 |
| $F$ が固有 | $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$、$(x,y)\mapsto y$ | ファイバーが互いに微分同相 |
3 行目・4 行目の包含は局所微分同相写像なので沈め込みである（prop-subm-operations の 3）。最後の行は Ehresmannの補題 の記事の注意（反例：固有性と沈め込み性は落とせない）が扱っている。
補足
沈め込みが固有（固有写像）なら局所自明なファイバー束であり、$N$ が連結ならファイバーはすべて互いに微分同相である（Ehresmannの補題 の記事の定理（Ehresmann の補題））。沈め込みの各点で、接空間をファイバー方向（$\ker dF_p$）とそれ以外に分けることができ、計量を保つように分けたものが Riemann沈め込み である。沈め込みと対になる概念は、各点で微分が単射な写像であるはめ込みである。両者を含む「階数が一定の写像」の局所標準形は階数定理が与える。
関連項目
参考文献
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