特殊相対論

光的なベクトル $N$ をとる。$\varphi$ で $X$ と $X+N$ に写る 2 つの事象は、原理 2 により光の信号で結べる。$\varphi'$ ではこれらは $F(X)$ と $F(X+N)$ に写るので、原理 2 を $\varphi'$ に使うと $F(X+N)-F(X)=LN$ は光的である。よって $L$ は光的なベクトルの全体を光的なベクトルの全体に写す線形同型である。空間の次元は $3\ge2$ なので、Minkowski空間 の定理「光錐を保つ線形写像」により $L=\lambda\Lambda$（$\lambda>0$、$\Lambda\in\mathrm{O}(1,3)$）である。$\square$

1．thm-sr-poincare により $L=\lambda\Lambda$（$\lambda>0$、$\Lambda\in\mathrm{O}(1,3)$）である。標準配置の 3 から $\Lambda e_2=(\alpha/\lambda)e_2$ で、$\langle\Lambda e_2,\Lambda e_2\rangle=\langle e_2,e_2\rangle=1$ から $\alpha=\lambda$ である。同様に $\alpha'=\lambda$ である。また $\Lambda$ は $(x^0,x^1)$ 平面 $P$ をそれ自身に写す。
$w:=\Lambda e_0\in P$ は $\langle w,w\rangle=-1$ をみたし、標準配置の 4 から $w^0>0$ なので、$(w^0)^2-(w^1)^2=1$ より $w=(\cosh\phi,\sinh\phi)$ となる $\phi\in\mathbb{R}$ がただ 1 つある。$\Lambda e_1\in P$ は $w$ と直交し $\langle\Lambda e_1,\Lambda e_1\rangle=1$ をみたす。$P$ の中で $w$ に直交するベクトルは $(\sinh\phi,\cosh\phi)$ の実数倍で、その長さの条件から $\Lambda e_1=\pm(\sinh\phi,\cosh\phi)$ であり、標準配置の 4 から符号は $+$ である。よって
$$ x'^0=\lambda(\cosh\phi\,x^0+\sinh\phi\,x^1),\qquad x'^1=\lambda(\sinh\phi\,x^0+\cosh\phi\,x^1) $$
である。標準配置の 2 から、$(x^0,x^1)=(ct,vt)$ に対し $x'^1=\lambda t(c\sinh\phi+v\cosh\phi)=0$ がすべての $t$ で成り立つので、$\tanh\phi=-v/c$ である。$\tanh$ の値は $(-1,1)$ に入るので $|v|< c$ であり、$\cosh\phi=\gamma$、$\sinh\phi=-\beta\gamma$ となる。これを代入すると $L=\lambda B(v)$ を得る。
2．$B(v)$ は $\phi=-\operatorname{artanh}\beta$ の双曲回転なので、$\cosh$・$\sinh$ の加法定理から $B(-v)B(v)=I$ である。相反性から $I=L(-v)L(v)=\lambda(-v)\lambda(v)I$、すなわち $\lambda(v)\lambda(-v)=1$ である。等方性と合わせて $\lambda(v)^2=1$ で、$\lambda(v)>0$ から $\lambda(v)=1$ である。$\square$

1 は $t'=\gamma(t-vx/c^2)$ に $t$ を固定して $x_1,x_2$ を代入すればよい。2 は逆変換 $t=\gamma(t'+vx'/c^2)$ で $x'$ を固定すれば $\Delta t=\gamma\Delta t'$ である。3 は $x'=\gamma(x-vt)$ で $t$ を固定すれば $\Delta x'=\gamma\Delta x$、すなわち $\ell_0=\gamma\ell$ である。$\square$

$m^2=|p|^2=-\langle p,p\rangle=E^2-|\boldsymbol{p}|^2$ である。後半は $(1-x)^{-1/2}=1+\frac12x+O(x^2)$ に $x=|\boldsymbol{v}|^2$ を代入すればよい。$\square$

$p=(a,\boldsymbol{a})$、$q=(b,\boldsymbol{b})$ と書くと、仮定は $a\ge|\boldsymbol{a}|$、$b\ge|\boldsymbol{b}|$、$a,b>0$ である。
1．Cauchy–Schwarz の不等式から $-\langle p,q\rangle=ab-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\ge ab-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\ge0$ である。さらに
$$ \bigl(ab-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\bigr)^2-\bigl(a^2-|\boldsymbol{a}|^2\bigr)\bigl(b^2-|\boldsymbol{b}|^2\bigr)=\bigl(a|\boldsymbol{b}|-b|\boldsymbol{a}|\bigr)^2\ge0 $$
で、両辺の正の平方根をとると $ab-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\ge|p||q|$ を得る。
2．$a>|\boldsymbol{a}|$、$b=|\boldsymbol{b}|>0$ なので $ab-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|=b(a-|\boldsymbol{a}|)>0$ である。
3．$a+b\ge|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|\ge|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ かつ $a+b>0$ なので $p+q$ は未来向きの時間的または光的である。1 から
$$ |p+q|^2=|p|^2+|q|^2-2\langle p,q\rangle\ge|p|^2+|q|^2+2|p||q|=(|p|+|q|)^2 $$
である。最後の主張は 3 を $k$ についての帰納法で使えばよい。$\square$

1．$p_1=(E,\boldsymbol{p}_1)$、$p_2=(m_2,\boldsymbol{0})$ なので $\langle p_1,p_2\rangle=-m_2E$ であり、$s=-\langle p_1+p_2,p_1+p_2\rangle=m_1^2+m_2^2-2\langle p_1,p_2\rangle=m_1^2+m_2^2+2m_2E$ である。
2．（必要性）そのような $q_i$ があれば、lem-sr-causal により $\sqrt s=|P|=|q_1+\dots+q_k|\ge M_1+\dots+M_k=M$ である。
（十分性）$s\ge M^2$ とする。$P$ は lem-sr-causal の 3 により未来向きで、$|P|^2=s\ge M^2>0$ なので時間的である。$P/|P|$ は未来向きで $\langle\ ,\ \rangle$ の値が $-1$ のベクトルなので、これを $e_0$ に写す順時 Lorentz 変換 $\Lambda$ がある（Minkowski空間 の定理「Lorentz 群の連結成分」の証明の 1 で作った boost の逆）。$\Lambda P=(\sqrt s,\boldsymbol{0})$ である（重心系）。$\rho\ge0$ の関数
$$ f(\rho):=\sqrt{M_1^2+\rho^2}+\sqrt{M_2^2+\rho^2}+M_3+\dots+M_k $$
は連続で、$f(0)=M\le\sqrt s$、$\rho\to\infty$ で $f(\rho)\to\infty$ なので、中間値の定理 により $f(\rho)=\sqrt s$ となる $\rho$ がある。重心系で
$$ q'_1:=\bigl(\sqrt{M_1^2+\rho^2},\rho\boldsymbol{n}\bigr),\quad q'_2:=\bigl(\sqrt{M_2^2+\rho^2},-\rho\boldsymbol{n}\bigr),\quad q'_i:=(M_i,\boldsymbol{0})\ (i\ge3) $$
とおく（$\boldsymbol{n}$ は空間の単位ベクトル）。これらは未来向きの時間的で $|q'_i|=M_i$、和は $(\sqrt s,\boldsymbol{0})=\Lambda P$ である。$q_i:=\Lambda^{-1}q'_i$ とおけば、$\Lambda^{-1}$ は $\langle\ ,\ \rangle$ と未来向きを保つので、$q_i$ が求めるものである。
最後の主張は 1 と 2 から $m_2E\ge\frac12(M^2-m_1^2-m_2^2)$ を書き直したものである。$\square$

$p+k=p'$ なら、$\langle k,k\rangle=0$ と lem-sr-causal の 2 から $m^2=|p'|^2=|p|^2-2\langle p,k\rangle>m^2$ となり矛盾する。$p=p'+k$ のときは $p'$ と $k$ について同じ議論をすればよい。$\square$