被約ホモロジー

次数 $-1$ だけに $\mathbb{Z}$ を置いた鎖複体を $\mathbb{Z}[-1]$ と書く。$\mathbb{Z}[-1]$ は $\tilde C_\bullet(X)$ の部分複体であり（$\mathbb{Z}$ から出る境界作用素は $0$）、商は $C_\bullet(X)$ である。鎖複体の短完全列 $0\to\mathbb{Z}[-1]\to\tilde C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)\to0$ のホモロジーの長完全列（長完全列 の記事の定理（複体の短完全列の長完全列）を、次数の上がる複体に添字を付け替えて適用する）を書くと、$\mathbb{Z}[-1]$ のホモロジーは次数 $-1$ の $\mathbb{Z}$ だけなので、
$$ 0\to\tilde H_0(X)\to H_0(X)\xrightarrow{\ \delta\ }\mathbb{Z}\to\tilde H_{-1}(X)\to0 $$
と、$n\ge1$ での同型 $\tilde H_n(X)\cong H_n(X)$ に分かれる。接続準同型 $\delta$ は、$H_0(X)$ の類の代表 $z\in C_0(X)$ を $\tilde C_0(X)$ に持ち上げ（同じ $z$）、その境界 $\varepsilon(z)\in\mathbb{Z}$ をとる写像なので、$\delta=\varepsilon_*$ である。$X\ne\emptyset$ なので点 $x_0$ について $\varepsilon(x_0)=1$ となり、$\varepsilon_*$ は全射である。完全性から $\tilde H_{-1}(X)=0$、$\tilde H_0(X)\cong\ker\varepsilon_*$ となり、1 と 2 の前半が示された。$\varepsilon_*=c_*$ と、$n\ne0$ で $H_n(\mathrm{pt})=0$ であることから 2 の後半が従う。
3：$c\circ i=\mathrm{id}_{\mathrm{pt}}$ なので $c_*\circ i_*=\mathrm{id}$ であり、短完全列 $0\to\ker c_*\to H_n(X)\xrightarrow{c_*}H_n(\mathrm{pt})\to0$ は $i_*$ によって分裂する。2 により $\ker c_*\cong\tilde H_n(X)$ である。
4：$n\ge1$ では $\tilde f_\sharp$ と $f_\sharp$ は同じ写像である。$n=0$ では、$\tilde H_0(X)\to H_0(X)$ は $0$ 次の輪体の包含 $\ker\varepsilon\subset C_0(X)$ が誘導する写像であり、$f_\sharp$ は $\ker\varepsilon$ を $\ker\varepsilon$ に写すので、鎖のレベルで正方形が可換である。よって主張が従う。

$Y_m$ は弧状連結である。実際、各点 $[x,t,j]$ は道 $s\mapsto[x,(1-s)t,j]$ で底の点 $[x,0,1]$ に結ばれ、底の 2 点 $[x,0,1]$、$[x',0,1]$ は頂点 $v_1$ を経由する道で結ばれる。よって $\tilde H_0(Y_m)=0$ である。以下 $k\ge0$ とし、$m$ に関する帰納法で示す。$m=1$ では $Y_1=CX$ は可縮なので両辺とも $0$ である。$m\ge2$ とし、$m-1$ では成り立つとする。
段 1（開被覆）． $Y_m$ の開集合
$$ U:=Y_m\setminus\{v_m\},\qquad V:=q\bigl(X\times(0,1]\times\{m\}\bigr) $$
をとる。$U\cup V=Y_m$、$U\cap V=q(X\times(0,1)\times\{m\})$ である。次の 4 つが成り立つ（詳細は下に折りたたむ）。

• (a) $V$ は可縮である。
• (b) $Y'_{m-1}:=C_1\cup\dots\cup C_{m-1}$ は $Y_{m-1}$ と同相であり、$U$ の強変位レトラクトである。そのレトラクション $r\colon U\to Y'_{m-1}$ は $r([x,t,m])=[x,0,1]$（$t<1$）を満たす。
• (c) $q$ は $X\times(0,1)\times\{m\}$ から $U\cap V$ への同相写像であり、$j\colon X\to U\cap V$、$j(x):=[x,\tfrac12,m]$ はホモトピー同値である。
• (d) 錐 $C_1$ は可縮である。

段 2（短完全列）． $U\cap V\ne\emptyset$ なので被約ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列（Mayer–Vietoris完全列 の記事の命題（被約ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列））
$$ \tilde H_{l}(U\cap V)\xrightarrow{\Phi}\tilde H_l(U)\oplus\tilde H_l(V)\to\tilde H_l(Y_m)\xrightarrow{\partial}\tilde H_{l-1}(U\cap V)\xrightarrow{\Phi}\cdots $$
が使える。(a) より $\tilde H_l(V)=0$ である。$\Phi$ の第 1 成分は包含 $U\cap V\hookrightarrow U$ が誘導する写像であり、(b) の $r$ で $\tilde H_l(U)\cong\tilde H_l(Y'_{m-1})$ と取り替えると $(r|_{U\cap V})_*$ になる。$r|_{U\cap V}$ の値は底に入り、底は $C_1$ に含まれるので、$r|_{U\cap V}$ は可縮な $C_1$（(d)）を経由する。よって $\Phi=0$ であり、
$$ 0\to\tilde H_{k+1}(U)\to\tilde H_{k+1}(Y_m)\xrightarrow{\partial}\tilde H_k(U\cap V)\to0 $$
は完全である。
段 3（分裂）． $Z:=C_1\cup C_m$ とし、$Z$ の開被覆 $U':=Z\cap U$、$V':=V$ を考える。$U'\cap V'=U\cap V$ である。(b) と同じ式で $U'$ は $C_1$ に強変位レトラクトするので（$r(U')\subset C_1$）、$\tilde H(U')=0$ であり、$Z$ の Mayer–Vietoris 完全列から接続準同型 $\partial_Z\colon\tilde H_{k+1}(Z)\to\tilde H_k(U\cap V)$ は同型である。包含 $\iota\colon Z\hookrightarrow Y_m$ は $U'$ を $U$ に、$V'$ を $V$ に写し、$U\cap V$ の上では恒等写像なので、Mayer–Vietoris 完全列の自然性（Mayer–Vietoris完全列 の記事の節「自然性」）により $\partial\circ\iota_*=\partial_Z$ である。したがって $\iota_*\circ\partial_Z^{-1}$ は $\partial$ の切断であり、段 2 の短完全列は分裂する：
$$ \tilde H_{k+1}(Y_m)\cong\tilde H_{k+1}(U)\oplus\tilde H_k(U\cap V)\cong\tilde H_{k+1}(Y_{m-1})\oplus\tilde H_k(X). $$
最後の同型は (b) と (c) による。帰納法の仮定から $\tilde H_{k+1}(Y_{m-1})\cong\tilde H_k(X)^{\oplus(m-2)}$ なので、主張が従う。