局所連結空間

概要

定義

局所連結性は、ある点の「十分近く」がどのような形状をしているかを規定する概念である。

局所連結性の定義

位相空間 $X$ が局所連結（locally connected）であるとは、$X$ の各点 $x$ が、連結な開近傍からなる基本近傍系を持つことをいう。
すなわち、任意の点 $x \in X$ とその任意の開近傍 $U$ に対して、ある連結な開集合 $V$ が存在し、
$$x \in V \subseteq U$$
を満たすことである。
これは、「$X$ の開集合系が、連結な開集合からなる基底を持つ」と言い換えることもできる。

直感的理解と連結性との独立性

「連結性」が大域的（global）な性質であるのに対し、「局所連結性」は局所的（local）な性質である。これらは互いに独立しており、一方の性質が他方を保証するものではない。
この関係を整理すると、以下の4つのパターンすべてが存在する。

	連結である	連結ではない
局所連結である	$\mathbb{R}^n$、円周 $S^1$	$(0, 1) \cup (2, 3)$
局所連結ではない	位相幾何学者の正弦曲線	$\mathbb{Q}$（有理数全体の集合）

非連結だが局所連結な例:
互いに離れた2つの開区間 $(0, 1) \cup (2, 3)$ は、全体としてはつながっていない（非連結）が、どの点を取ってもその周囲は小さな区間（連結）で切り取れるため、局所連結である。
連結だが局所連結ではない例:
これが位相空間論における直感の落とし穴である。全体としてはつながっているのに、ある点にズームインすると、近傍が「粉々」になっていたり、無数の線に分かれていたりする場合がある。

局所連結性が崩れる具体例

局所連結でない空間の代表例は、境界付近で激しい振動や集積が起こっているものである。

(位相幾何学者の正弦曲線)

平面 $\mathbb{R}^2$ 上の集合
$$S = \left\{ \left( x, \sin \frac{1}{x} \right) \;\middle|\; 0 < x \le 1 \right\} \cup \{ (0, y) \mid -1 \le y \le 1 \}$$
は、連結であるが局所連結ではない。

理由: $y$ 軸上の点（例えば原点）の小さな近傍を考えると、そこにはサインカーブの無限回の振動が含まれる。この近傍内のサインカーブ部分は、無数の線分（切断されたグラフの一部）の集まりのように見え、近傍内で $y$ 軸部分とつながることができないため、連結な近傍を取り出すことができない。

くし空間 (Comb space)

$$C = ([0, 1] \times \{0\}) \cup (\{0\} \times [0, 1]) \cup \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( \left\{\frac{1}{n}\right\} \times [0, 1] \right)$$
この空間も連結であるが、点 $(0, 1)$ において局所連結ではない。
$y$ 軸上の点 $(0, 1)$ の近傍は、無数の「歯」によって分断されており、その近傍内で $(0, 1)$ と右側の歯をつなぐ道は、一度 $x$ 軸 ($y=0$) まで降りてから登るしかなく、小さな近傍内に収まらないためである。

重要な性質

局所連結空間においては、連結成分の位相的性質が非常に良くなる。これは解析学や幾何学で局所連結性が仮定される主な理由の一つである。

連結成分の開集合性

位相空間 $X$ が局所連結であるための必要十分条件は、$X$ の任意の開集合 $U$ の連結成分が、すべて（$X$ の）開集合となることである。

通常の位相空間では、連結成分は常に「閉集合」であるが、「開集合」であるとは限らない（例：有理数集合 $\mathbb{Q}$ の連結成分は一点集合であり、開集合ではない）。局所連結空間では、開集合の連結成分が再び開集合になることが保証される。

準連結成分の一致

局所連結空間において、各点の連結成分と準連結成分（quasicomponent）は一致する。

局所弧状連結との関係

より強い概念である「局所弧状連結性」との関係も重要である。

包含関係

一般に、以下の関係が成り立つ。
$$\text{局所弧状連結} \implies \text{局所連結}$$
多くの幾何学的対象（多様体やCW複体）は局所弧状連結であり、したがって局所連結でもある。

しかし、逆は成立しない。「局所連結だが局所弧状連結ではない」という奇妙な空間も存在する。
これは「連結だが弧状連結ではない空間」の例を無限個用意し、一点に集積させるような操作で構成することができる。

局所連結空間

概要

定義

直感的理解と連結性との独立性

局所連結性が崩れる具体例

重要な性質

局所弧状連結との関係

関連項目