局所連結空間

1. $\Rightarrow$ (2)：$U$ を開集合、$x\in U$ とする。$U$ は $x$ の近傍なので、局所連結性により連結な開集合 $V$ で $x\in V\subset U$ となるものがある。よって $U$ は連結な開集合の和であり、連結な開集合の全体は開基である。(2) $\Rightarrow$ (1)：$x\in X$ とし、$U$ を $x$ の近傍とする。$x$ を内点にもつ開集合 $W\subset U$ をとると、開基の定義により連結な開集合 $V$ で $x\in V\subset W\subset U$ となるものがある。$\square$

1. $\Rightarrow$ (2)：連結な開集合 $V$ で $x\in V\subset U$ となるものは、$x$ の連結な近傍である。
2. $\Rightarrow$ (3)：$U$ を開集合、$C$ を $U$ の連結成分、$x\in C$ とする。$U$ は $x$ の近傍なので、(2) により $x$ の連結な近傍 $V\subset U$ がある。$V$ は $x$ を含む $U$ の連結部分集合であり、$C$ は $x$ を含む $U$ の連結部分集合のうち最大のものだから、$V\subset C$ である。$V$ は $x$ の近傍なので $x$ は $C$ の内点である。$x\in C$ は任意だったから、$C$ はそのすべての点を内点にもち、$X$ の開集合である。
3. $\Rightarrow$ (1)：$x\in X$ とし、$U$ を $x$ の近傍、$W\subset U$ を $x$ を含む開集合とする。$W$ の連結成分のうち $x$ を含むものを $V$ とすると、$V$ は連結であり、(3) により $X$ の開集合であり、$x\in V\subset W\subset U$ である。よって $X$ は $x$ で局所連結である。
   最後の主張：$X$ は自身の開集合なので、(3) により $X$ の連結成分は開である。連結成分が閉であることは記事 連結空間 の命題による。$\square$

$A$ を $x$ を含む $X$ の開かつ閉集合とする。$C_x\cap A$ と $C_x\setminus A$ はともに $C_x$ の相対位相について開かつ閉であり、前者は $x$ を含むので非空である。$C_x$ は連結なので $C_x\setminus A=\emptyset$、すなわち $C_x\subset A$ である。$A$ は任意だったから $C_x\subset Q_x$ である。$X$ が局所連結ならば、thm-locally-connected-space-components により $C_x$ 自身が $x$ を含む開かつ閉集合なので、$Q_x\subset C_x$ となり $C_x=Q_x$ である。$\square$

1. $U$ の開集合は $X$ の開集合でもある（$U$ が $X$ で開なので）。$W\subset U$ を $U$ の開集合とすると、$W$ の連結成分は $X$ の開集合 $W$ の連結成分なので thm-locally-connected-space-components により $X$ で開であり、したがって $U$ でも開である。同じ定理により $U$ は局所連結である。
2. $V$ を $Y$ の開集合、$C$ を $V$ の連結成分とする。thm-locally-connected-space-components により $p^{-1}(C)$ が $X$ で開であることを示せばよい。$x\in p^{-1}(C)$ とし、$X$ の開集合 $p^{-1}(V)$ の連結成分のうち $x$ を含むものを $D$ とする。$X$ は局所連結なので $D$ は開である。$p(D)$ は連結集合の連続像なので連結であり（記事 連結空間 の「連続像は連結」）、$p(D)\subset V$ かつ $p(x)\in p(D)\cap C$ なので、$C$ の最大性により $p(D)\subset C$、すなわち $D\subset p^{-1}(C)$ である。よって $p^{-1}(C)$ はその各点の開近傍を含み、開である。$p$ は商写像なので $C$ は $Y$ で開である。連続な開写像による全射は商写像である（$p^{-1}(A)$ が開なら $A=p(p^{-1}(A))$ が開）から、最後の主張も従う。$\square$

十分性：$x=(x_\lambda)\in X$ とし、$U$ を $x$ の近傍とする。直積位相の定義により、有限集合 $F\subset\Lambda$ と各 $\lambda\in F$ について $x_\lambda$ の開近傍 $U_\lambda$ が存在して、$x\in\prod_\lambda U_\lambda\subset U$（$\lambda\notin F$ では $U_\lambda=X_\lambda$）となる。$X_\lambda$ が連結でない $\lambda$ の全体を $F'$ とすると仮定により $F'$ は有限である。$\lambda\in F\cup F'$ については、$X_\lambda$ の局所連結性により連結な開集合 $V_\lambda$ で $x_\lambda\in V_\lambda\subset U_\lambda$ となるものをとり、$\lambda\notin F\cup F'$ については $V_\lambda:=X_\lambda$ とおく（これは仮定により連結である）。$V:=\prod_\lambda V_\lambda$ は有限個の座標以外が全体である開集合の積なので $X$ の開集合であり、連結空間の直積なので連結であり（記事 連結空間 の直積の連結性の定理）、$x\in V\subset U$ を満たす。
必要性：各射影 $\pi_\lambda\colon X\to X_\lambda$ は連続な開写像であり、すべての $X_\mu$ が非空なので全射である（$\Lambda$ が無限のとき直積が非空であることは選択公理による）。よって prop-locally-connected-space-quotient により各 $X_\lambda$ は局所連結である。次に、$x\in X$ をとり、局所連結性により $x$ を含む連結な開集合 $V$ をとる。$V$ は基本開集合 $\prod_\lambda U_\lambda$（有限集合 $F$ の外では $U_\lambda=X_\lambda$）で $x$ を含むものを含む。$\lambda\notin F$ については $\pi_\lambda(V)\supset U_\lambda=X_\lambda$ であり、$\pi_\lambda(V)$ は連結集合の連続像として連結なので、$X_\lambda$ は連結である。したがって連結でない $X_\lambda$ は $F$ の中にしかなく、有限個である。$\square$

弧状連結な空間は連結である（記事 連結空間 の「弧状連結ならば連結」）ので、弧状連結な開集合 $V$ は連結な開集合である。$\square$

$I_o^2$ は最小上界性をもち、任意の二元 $a< b$ の間に元をもつ全順序集合（線形連続体）であり、線形連続体は順序位相について連結で、その区間もまた連結である（$I_o^2$ が線形連続体であることと合わせて Mun00 §24 の Example 1 と Theorem 24.1 を引用する）。順序位相の開基は開区間 $(a,b)$ と半開区間 $[\min,b)$、$(a,\max]$ からなり、これらは区間なので連結である。よって $I_o^2$ は連結であり、prop-locally-connected-space-base により局所連結である。
弧状連結でないことを示す。$p=(0,0)$ と $q=(1,1)$ を結ぶ道 $f\colon[0,1]\to I_o^2$（道、すなわち $f(0)=p$、$f(1)=q$ となる連続写像）があったとする。像 $f([0,1])$ は連結で $p,q$ を含む。連結な部分集合は順序に関して凸である（$a< c< b$ で $a,b$ が属し $c$ が属さなければ、$(-\infty,c)$ と $(c,\infty)$ による分離が生じる）から、$f([0,1])=I_o^2$ である。各 $x\in[0,1]$ について、集合 $U_x:=\{x\}\times(0,1)$ は $I_o^2$ の開区間 $((x,0),(x,1))$ であり非空なので、$f^{-1}(U_x)$ は $[0,1]$ の非空な開集合である。$x\ne x'$ ならば $U_x\cap U_{x'}=\emptyset$ なので、$\{f^{-1}(U_x)\}_{x\in[0,1]}$ は $[0,1]$ の互いに交わらない非空な開集合の非可算族である。各 $f^{-1}(U_x)$ は有理数を含み、異なる $x$ には異なる有理数が対応するので、$[0,1]$ の有理数が非可算個存在することになり矛盾する。よって $I_o^2$ は弧状連結でない。
最後に、非空で連結かつ局所弧状連結な空間は弧状連結である（記事 弧状連結空間 の「連結性からの回復」の定理）ので、連結で弧状連結でない $I_o^2$ は局所弧状連結でない。$\square$