非常に豊富な可逆層

1：はめ込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_A$ と同型 $\theta\colon i^*\mathcal{O}(1)\to\mathcal{L}$ があれば、$s_j:=\theta(i^*x_j)$ は $\mathcal{L}$ を生成し、射影空間への射の定理「射影空間への射と切断の組」の一意性により、組 $(\mathcal{L};s_0,\dots,s_n)$ に対応する射は $i$ である。逆は定義そのものである。2：前半は射影射の命題「固有射と非常に豊富な可逆層」である。後半：$X$ が射影的なら、閉埋め込み $X\to\mathbb{P}^n_A$ による $\mathcal{O}(1)$ の引き戻しは非常に豊富であり、射影射は固有である（固有射の定理「射影射の固有性」）。逆は前半による。$\square$

1：$i\colon X\to Y$ が開集合 $W\subset Y$ への閉埋め込み、$j\colon Y\to Z$ が開集合 $W'\subset Z$ への閉埋め込みを経るとする。$j$ は $Y$ を $W'$ の閉集合と同一視するので、$W=Y\cap W''$ となる開集合 $W''\subset W'$ がある。$Y\cap W''\to W''$ は閉埋め込み $Y\to W'$ の制限なので閉埋め込みで、$X\to W\to W''$ は閉埋め込みの合成（閉埋め込みの命題「閉埋め込みの合成」）である。$W''$ は $Z$ の開集合なので $j\circ i$ ははめ込みである。2：閉埋め込みの底変換は閉埋め込み（閉埋め込みの命題「閉埋め込みの底変換」）、開埋め込みの底変換は開埋め込みである。3：グラフ射は、対角射 $\Delta\colon\mathbb{P}^m_A\to\mathbb{P}^m_A\times_A\mathbb{P}^m_A$ の $\psi\times\mathrm{id}$ による底変換である。$\mathbb{P}^m_A$ は $A$ 上分離的（Proj(次数付き環の射影スキーム)の定理「構造射の分離性」）なので $\Delta$ は閉埋め込みであり、2 の証明と同じく底変換も閉埋め込みである。$\square$

$Y=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の場合を示せば、底変換で一般の $Y$ に移る。切断 $t_{kl}:=p^*x_k\otimes q^*y_l$ は、$U_{ij}:=D_+(x_i)\times D_+(y_j)$ の上で $t_{ij}$ が $\mathcal{O}(1,1)$ の基底になるので $\mathcal{O}(1,1)$ を生成し、$t_{ij}$ が消えない点の集合はちょうど $U_{ij}$ である。$U_{ij}$ の上で $t_{kl}/t_{ij}=(x_k/x_i)(y_l/y_j)$ なので、射影空間への射の定理「射影空間への射と切断の組」により組 $(\mathcal{O}(1,1);t_{kl})$ に対応する射は、$U_{ij}$ を $D_+(z_{ij})$ へ $z_{kl}/z_{ij}\mapsto(x_k/x_i)(y_l/y_j)$ で写す射である。これは $\sigma$ の定義そのもの（射影射の命題「Segre埋め込みは閉埋め込みである」）なので、同じ定理により $\sigma^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{O}(1,1)$、$\sigma^*z_{kl}\mapsto t_{kl}$ である。$\square$

どの場合も、$\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^m$ へのはめ込み $h$ を作り、$\sigma\circ h$ がlem-va-immersion の 1 によりはめ込みであることと、lem-va-segre により $(\sigma\circ h)^*\mathcal{O}(1)\cong h^*\mathcal{O}(1,1)$ であることを使う。
1：$Y$ 上のはめ込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_Y$、$j\colon X\to\mathbb{P}^m_Y$ で $i^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{L}$、$j^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{M}$ となるものをとる。$h:=(i,j)\colon X\to\mathbb{P}^n_Y\times_Y\mathbb{P}^m_Y$ は、対角射 $X\to X\times_YX$ と $i\times j=(i\times\mathrm{id})\circ(\mathrm{id}\times j)$ の合成である。対角射ははめ込みであり（分離射の命題「対角射はつねにはめ込みである」）、$i\times\mathrm{id}$ と $\mathrm{id}\times j$ ははめ込みの底変換なので、lem-va-immersion により $h$ ははめ込みである。$p\circ h=i$、$q\circ h=j$ なので $h^*\mathcal{O}(1,1)\cong\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}$ である。冪については 1 を繰り返せばよい。
2：$\mathcal{M}$ を生成する切断 $t_0,\dots,t_m$ に対応する射を $\psi\colon X\to\mathbb{P}^m_A$ とすると $\psi^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{M}$ である（射影空間への射）。$i\colon X\to\mathbb{P}^n_A$ をはめ込みとし、$h:=(i,\psi)$ をグラフ射 $X\to X\times_A\mathbb{P}^m_A$ と $i\times\mathrm{id}\colon X\times_A\mathbb{P}^m_A\to\mathbb{P}^n_A\times_A\mathbb{P}^m_A$ の合成として書く。前者は lem-va-immersion の 3 により閉埋め込み、後者ははめ込みの底変換なので、$h$ ははめ込みで $h^*\mathcal{O}(1,1)\cong\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}$ である。
3：$Y$ 上のはめ込み $i\colon X\to\mathbb{P}^n_Y$ と $Z$ 上のはめ込み $j\colon Y\to\mathbb{P}^m_Z$ をとる。$\mathbb{P}^n_Y=\mathbb{P}^n_Z\times_ZY$ であり、$\mathrm{id}\times j\colon\mathbb{P}^n_Z\times_ZY\to\mathbb{P}^n_Z\times_Z\mathbb{P}^m_Z$ は $j$ の底変換なのではめ込みである。$h:=(\mathrm{id}\times j)\circ i$ は $Z$ 上のはめ込みで、$p\circ h$ は $i$ と射影 $\mathbb{P}^n_Y\to\mathbb{P}^n_Z$ の合成、$q\circ h=j\circ f$ である。$\mathbb{P}^n_Y$ の $\mathcal{O}(1)$ は $\mathbb{P}^n_Z$ の $\mathcal{O}(1)$ の引き戻しなので、$h^*\mathcal{O}(1,1)\cong i^*\mathcal{O}(1)\otimes f^*j^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{L}\otimes f^*\mathcal{N}$ である。$\square$

アフィン部分 $z=1$ は $y^2=x^3-x$ で、右辺は相異なる根 $0,\pm1$ をもつので判別式は $0$ でなく、$(X,P_0)$ は楕円曲線であり（楕円曲線の命題「滑らかさと判別式」）、$X$ は種数 $1$ の非特異射影曲線である。
豊富であること：直線 $z=0$ と $X$ の交わりは $x^3=0$ より $P_0$ だけである。$P_0$ の近傍 $y\neq0$ で $u=x/y$、$v=z/y$ とおくと $X$ は $v=u^3-uv^2$、すなわち $v(1+uv)=u^3$ で与えられ、$P_0$ は原点である。$1+uv$ は原点で単元なので $v=u^3\cdot(\text{単元})$ であり、$u$ が $P_0$ での局所パラメータ（$X$ は $P_0$ で非特異で、接線は $v=0$）だから $\operatorname{ord}_{P_0}(v)=3$ である。よって切断 $z|_X\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X(1))$ の因子は $3P_0$ で、$\mathcal{O}_X(1)\cong\mathcal{O}_X(3P_0)=\mathcal{L}^{\otimes3}$ である。$\mathcal{O}_X(1)$ は閉埋め込みによる引き戻しなので非常に豊富であり、thm-va-ample により $\mathcal{L}$ は豊富である。
非常に豊富でないこと：$\Gamma(X,\mathcal{L})$ は $\operatorname{div}f+P_0\ge0$ となる有理関数 $f$ の空間 $L(P_0)$ と同一視される。種数 $1$ なので標準因子は次数 $0$ で $\ell(K)=1$ から $K\sim0$ であり、Riemann–Rochの定理により $\ell(P_0)-\ell(K-P_0)=\deg P_0+1-g=1$、$\ell(K-P_0)=\ell(-P_0)=0$ なので $\ell(P_0)=1$、すなわち $\Gamma(X,\mathcal{L})$ は定数関数 $1$ で張られる。この切断が定める有効因子は $P_0$ なので、$\mathcal{L}$ の大域切断はすべて $P_0$ で消え、$\mathcal{L}$ は大域切断で生成されない。prop-va-sections の 1 により、非常に豊富な可逆層は大域切断で生成されるので、$\mathcal{L}$ は非常に豊富でない。$\square$