Eilenberg–Zilberの定理

自然性は、面をとる操作が連続写像との合成と可換であることによる。次数 $0$ では $\operatorname{AW}(x,y)=x\otimes y$ なので正規化されている。鎖写像であることを示す。特異単体の集合を基底とする自由 $R$ 加群をとって得られる単体 $R$ 加群 $A=R[\operatorname{Sing}X]$、$B=R[\operatorname{Sing}Y]$ を考える（幾何学的実現 の定義「特異単体的集合」）。次数ごとのテンソル積 $(A\otimes_RB)_n=A_n\otimes_RB_n$ は $\operatorname{Sing}_nX\times\operatorname{Sing}_nY=\operatorname{Sing}_n(X\times Y)$ を基底とし、面写像も成分ごとなので、その非正規化複体は $C(X\times Y)$ である。$A$、$B$ の非正規化複体は $C(X)$、$C(Y)$ である。この同一視のもとで $\operatorname{AW}$ は Jacobi–Zariski完全列 の Alexander–Whitney 写像 $x\otimes y\mapsto x|_{\le p}\otimes y|_{\ge p}$ と同じ式であり、同じ記事の補題「Alexander–Whitney 写像は鎖写像」により鎖写像である。$\square$

連続性。$t_0<1$ の範囲で連続であることは式から明らかである。$\kappa(\Delta^r)$ はコンパクトなので $\|\kappa(s)-v\|\le M$ となる $M$ があり、$\| c(\kappa)(t)-v\|=(1-t_0)\|\kappa(\cdots)-v\|\le(1-t_0)M$ なので $e_0$ でも連続である。値は凸性により $K$ に入る。

面。$i$ 番目の余面写像 $d_i\colon\Delta^r\to\Delta^{r+1}$ は $i$ 番目に座標 $0$ を挿入する写像である。$i=0$ では $t_0=0$ なので $c(\kappa)\circ d_0=\kappa$ である。$r\ge1$、$1\le i\le r+1$ では、点 $s=(s_0,\dots,s_r)$ について $d_is$ の第 $0$ 座標は $s_0$ で、残りの座標を $1-s_0$ で割った点は $(s_1,\dots,s_r)/(1-s_0)$ の $i-1$ 番目に $0$ を挿入した点だから、$c(\kappa)\circ d_i=c(\kappa\circ d_{i-1})$ である。$r=0$ では $c(x)$ は $v$ から点 $x$ への線分で、$c(x)\circ d_0=x$、$c(x)\circ d_1=v$ である。

等式。$r\ge1$ では $\partial c(\kappa)=\kappa+\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^ic(\kappa\circ d_{i-1})=\kappa-c(\partial\kappa)$、つまり $(\partial c+c\partial)\kappa=\kappa$ である。$r=0$ では $\partial c(x)=x-v$ で $c\partial=0$ なので、$(\partial c+c\partial)x=x-\pi(x)$ である。$\square$

$a\in A_p$、$b\in B_q$ とする。$\pi(a)\ne0$ なら $p=0$ であり、次数 $0$ の元の $\partial$ は $0$ である。

$$\partial H(a\otimes b)=\partial c(a)\otimes b+(-1)^{p+1}c(a)\otimes\partial b+\pi(a)\otimes\partial c(b),$$

$$H\partial(a\otimes b)=c(\partial a)\otimes b+\pi(\partial a)\otimes c(b)+(-1)^p\bigl(c(a)\otimes\partial b+\pi(a)\otimes c(\partial b)\bigr).$$

$\pi\partial=0$ なので 2 式目の 2 項目は消え、$c(a)\otimes\partial b$ の 2 項は打ち消し合う。最後の項は $p=0$ のときだけ残り、符号は $+$ である。和は $(\partial c+c\partial)(a)\otimes b+\pi(a)\otimes(\partial c+c\partial)(b)=(a-\pi a)\otimes b+\pi(a)\otimes(b-\pi b)=a\otimes b-\pi(a)\otimes\pi(b)$ である。$\square$

1：$C_p(X)$ は特異 $p$ 単体を基底とする自由加群なので、$T_n(X,Y)$ は $p+q=n$ と特異単体の組 $(\sigma,\tau)$ ごとの $\sigma\otimes\tau=T(\sigma,\tau)(\iota_p\otimes\iota_q)$ を基底とし、組 $(p,q,\sigma,\tau)$ が違えば基底の元も違う。$P_n(X,Y)$ の基底は特異 $n$ 単体 $(\sigma_1,\sigma_2)\colon\Delta^n\to X\times Y$ の全体で、$(\sigma_1,\sigma_2)=(\sigma_1\times\sigma_2)\circ\delta_n=P(\sigma_1,\sigma_2)(\delta_n)$ であり、組 $(\sigma_1,\sigma_2)$ は単体からただ 1 つに決まる。

2：$\Delta^p$ と $\Delta^q$ は凸集合なので、lem-ez-cone の $c$、$\pi$（頂点 $e_0$ を $v$ にとる）は $C(\Delta^p)$、$C(\Delta^q)$ の上で lem-ez-tensor-contraction の仮定をみたす（$\pi\partial=0$ は $\varepsilon\partial=0$ による）。よって $T(M_{p,q})$ と $T^\tau(M_{p,q})$ には $\partial H+H\partial=1-\pi\otimes\pi$ となる $H$ がある。$\Delta^p\times\Delta^q\subset\mathbb R^{p+1}\times\mathbb R^{q+1}$ も凸集合なので、$P(M_{p,q})$ と $P^\tau(M_{p,q})$ には lem-ez-cone により $\partial c+c\partial=1-\pi$ となる $c$ がある。どちらの場合も、輪体 $z$ について $z=\partial(Hz)+(\pi\otimes\pi)z$（または $z=\partial(cz)+\pi z$）であり、$(\pi\otimes\pi)z$ と $\pi z$ は正の次数では $0$、次数 $0$ では $\varepsilon(z)$ と点の組の積である。よって正の次数の輪体と、$\varepsilon(z)=0$ となる次数 $0$ の元は境界である。点の組は $\varepsilon$ で $1$ に写るので、$\varepsilon$ は全射である。$\square$

自然な写像の決め方。各 $b\in B_n$ について $w_b\in G_m(M_b)$ を任意に選ぶ。基底の元 $F(h)(u_b)$ に $G(h)(w_b)$ を対応させて $R$ 線型に延ばした写像 $\Psi\colon F_n(X,Y)\to G_m(X,Y)$ は自然である。実際、射 $k\colon(X,Y)\to(X',Y')$ について $\Psi(F(k)F(h)u_b)=\Psi(F(kh)u_b)=G(kh)w_b=G(k)\Psi(F(h)u_b)$ である。逆に、自然な写像 $\Psi$ は $\Psi(F(h)u_b)=G(h)\Psi(u_b)$ をみたすので、値 $\Psi(u_b)$ たちで決まる。とくに、2 つの自然な写像 $F_n\to G_m$ は、すべての $u_b$ で値が一致すれば等しい。

1。次数 $0$ では、$\varepsilon_G$ が全射なので $\varepsilon_G(w_b)=\varepsilon_F(u_b)$ となる $w_b\in G_0(M_b)$ を選び、$\Phi_0(u_b)=w_b$ で $\Phi_0$ を定める。添加の自然性から $\varepsilon_G(G(h)w_b)=\varepsilon_G(w_b)=\varepsilon_F(u_b)=\varepsilon_F(F(h)u_b)$ なので、$\Phi_0$ は正規化されている。$n\ge1$ とし、$\Phi_0,\dots,\Phi_{n-1}$ が $\partial\Phi_k=\Phi_{k-1}\partial$（$1\le k\le n-1$）をみたすとする。$b\in B_n$ について $z_b:=\Phi_{n-1}(\partial u_b)\in G_{n-1}(M_b)$ とおく。$n\ge2$ なら $\partial z_b=\Phi_{n-2}(\partial\partial u_b)=0$ で、$z_b$ は正の次数の輪体である。$n=1$ なら $\varepsilon_G(z_b)=\varepsilon_F(\partial u_b)=0$ である。どちらの場合も非輪状性から $z_b=\partial w_b$ となる $w_b\in G_n(M_b)$ があり、$\Phi_n(u_b):=w_b$ で $\Phi_n$ を定める。$\partial\Phi_n$ と $\Phi_{n-1}\partial$ は自然で、$u_b$ での値はどちらも $z_b$ なので等しい。

2。$\Delta:=\Phi-\Phi'$ とおき、自然な $D_n\colon F_n\to G_{n+1}$ で $\partial D_n+D_{n-1}\partial=\Delta_n$（$D_{-1}:=0$）をみたすものを帰納的に作る。$b\in B_n$ について $z_b:=\Delta(u_b)-D_{n-1}(\partial u_b)$ とおく。$n=0$ では $z_b=\Delta(u_b)$ で、正規化から $\varepsilon_G(z_b)=0$ である。$n\ge1$ では、帰納法の仮定 $\partial D_{n-1}=\Delta_{n-1}-D_{n-2}\partial$ と $\Delta$ が鎖写像であることから $\partial z_b=\Delta(\partial u_b)-\Delta(\partial u_b)+D_{n-2}(\partial\partial u_b)=0$ であり、$z_b$ は正の次数の輪体である。どちらの場合も $z_b=\partial w_b$ となる $w_b$ があり、$D_n(u_b):=w_b$ とおく。$\partial D_n+D_{n-1}\partial$ と $\Delta_n$ は自然で、$u_b$ での値はどちらも $z_b+D_{n-1}(\partial u_b)=\Delta(u_b)$ なので等しい。$\square$

$R=F$ として thm-ez-main の 2 を使うと、$\mathrm{EZ}_*\colon H_n(C(X;F)\otimes_FC(Y;F))\to H_n(X\times Y;F)$ は自然な同型である。左辺は、Künnethの公式 の定理「体上の代数的な Künneth の定理」により、代数的なクロス積によって $\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)$ と同型である。2 つを合成したものが上の写像である。$\square$

1。$t$ が鎖写像であること：$\partial t(a\otimes b)=(-1)^{pq}\bigl(\partial b\otimes a+(-1)^qb\otimes\partial a\bigr)$、$t\partial(a\otimes b)=(-1)^{(p-1)q}b\otimes\partial a+(-1)^{p+p(q-1)}\partial b\otimes a$ で、符号は $(-1)^{pq+q}=(-1)^{pq-q}$、$(-1)^{pq}=(-1)^{p+pq-p}$ と一致する。$t$ は自然で、次数 $0$ で $t(x\otimes y)=y\otimes x$ である。よって 2 つの合成はどちらも自然で、点の組 $(x,y)$ を $y\otimes x$ に写すので正規化されている。prop-ez-free-acyclic により $P$ は模型の上で自由、$T^\tau$ は非輪状なので、lem-ez-acyclic-models の 2 から自然な鎖ホモトピー $D$ で $t\operatorname{AW}-\operatorname{AW}s_\sharp=\partial D+D\partial$ となるものがある。

2。余鎖 $\varphi\in C^p(X)$、$\psi\in C^q(X)$ について、$C(X)\otimes C(X)$ 上の $R$ 線型写像 $\varphi\otimes\psi$ を、$x\in C_p$、$y\in C_q$ なら $(\varphi\otimes\psi)(x\otimes y)=\varphi(x)\psi(y)$、ほかの次数の組では $0$ と定める。直接の計算で $(\varphi\otimes\psi)\circ\partial=\delta\varphi\otimes\psi+(-1)^p\varphi\otimes\delta\psi$、$(\psi\otimes\varphi)\circ t=(-1)^{pq}\,\varphi\otimes\psi$ である。対角写像を $\Delta\colon X\to X\times X$ とすると、カップ積 の定義「カップ積」から $(\varphi\smile\psi)(\sigma)=(\varphi\otimes\psi)\bigl(\operatorname{AW}(\Delta\circ\sigma)\bigr)$ である。$\varphi$、$\psi$ が余輪体なら $(\psi\otimes\varphi)\circ\partial=0$ なので、特異 $(p+q)$ 単体 $\sigma$ について、1 の等式を $\Delta_\sharp\sigma$ に当てて $\psi\otimes\varphi$ で評価すると、$s\circ\Delta=\Delta$ と $\partial\Delta_\sharp=\Delta_\sharp\partial$ から

$$(-1)^{pq}(\varphi\smile\psi)(\sigma)-(\psi\smile\varphi)(\sigma)=(\psi\otimes\varphi)\bigl(D\Delta_\sharp\partial\sigma\bigr)=(\delta w)(\sigma),\qquad w:=(\psi\otimes\varphi)\circ D\circ\Delta_\sharp$$

となる。$(-1)^{pq}$ を掛ければ主張を得る。$\square$