単体的集合

単体圏で対応する余面写像・余退化写像を各元に適用すれば、両辺が同じ順序写像であることが直接確認できる。例えば $i< j$ のとき、$\delta^j\delta^i$ と $\delta^i\delta^{j-1}$ はともに $[n-2]$ を $[n]$ の $i,j$ 以外の元へ順序同型で写すので等しい。反変関手 $X$ を適用すると合成順序が逆転し、$d_i d_j=d_{j-1}d_i$ を得る。他の四種類も、重ねる値と飛ばす値を場合分けすれば同様に従う。$\blacksquare$

単体的写像 $u\colon\Delta^n\to X$ に対し、$n$ 次成分で恒等写像 $\operatorname{id}_{[n]}\in(\Delta^n)_n$ を評価して
$$ u\longmapsto u_n(\operatorname{id}_{[n]}) $$
とする。逆に $x\in X_n$ から、各 $m$ と $\alpha\colon[m]\to[n]$ に対し
$$ u_m(\alpha)=X(\alpha)(x) $$
と定める。関手性から $u$ は自然変換である。自然性を恒等写像に適用すれば、任意の $\alpha$ における $u_m(\alpha)$ は $u_n(\operatorname{id}_{[n]})$ から上式で復元される。従って二つの対応は互いに逆である。これは米田の補題の $\Delta$ への適用でもある。$\blacksquare$

前定理で $X=\Delta^n$ と置けばよい。$\blacksquare$

$\alpha\colon[m]\to[n]$ が全射でなく、$\beta\colon[\ell]\to[m]$ が順序写像なら、$\alpha\circ\beta$ の像は $\alpha$ の像に含まれるので全射でない。従って境界の条件は前合成で保たれる。
また $[n]\setminus\{i\}\not\subseteq\alpha([m])$ なら、ある $j\ne i$ が $\alpha([m])$ に入らない。$\alpha\circ\beta$ の像も $j$ を含まないため、ホーンの条件も前合成で保たれる。さらにこの条件を満たす $\alpha$ は $j$ を値に取らないので全射でない。よって各次数で $\Lambda_i^n\subseteq\partial\Delta^n\subseteq\Delta^n$ であり、構造写像とも両立する。$\blacksquare$

$j\leq i$ なら $\theta'(j)=\theta(j)$、$j>i$ なら $\theta'(j)=\theta(j+1)$ とおく。$\theta'$ は順序を保つ。$j\leq i$ なら $\sigma^i(j)=j$ なので $\theta'\sigma^i(j)=\theta(j)$ である。$j=i+1$ なら $\sigma^i(j)=i$ で $\theta'(i)=\theta(i)=\theta(i+1)$ である。$j>i+1$ なら $\sigma^i(j)=j-1>i$ で $\theta'(j-1)=\theta(j)$ である。よって $\theta=\theta'\circ\sigma^i$ であり、$\theta$ の像と $\theta'$ の像は等しいので、全射性も保たれる。
最後の主張について、$k< m$ なので $\pi$ は単射でなく、順序写像だから $\pi(i)=\pi(i+1)$ となる $i$ がある。前半により $\pi=\pi'\circ\sigma^i$ と書け、$\pi^*(w)=(\sigma^i)^*(\pi'^*(w))=s_i(\pi'^*(w))$ は退化単体である。$\square$

存在を $n$ についての帰納法で示す。$x$ が非退化なら $(\mathrm{id}_{[n]},x)$ を取る。$x$ が退化なら $x=s_i(x')=(\sigma^i)^*(x')$ となる $x'\in X_{n-1}$ がある。帰納法の仮定から $x'=\sigma'^*(y)$（$\sigma'$ は全射、$y$ は非退化）と書け、$x=(\sigma^i)^*\sigma'^*(y)=(\sigma'\circ\sigma^i)^*(y)$ であり、$\sigma'\circ\sigma^i$ は全射である。$n=0$ では $0$ 単体はどれも非退化である（$s_i$ の値は次数 $1$ 以上）。
一意性を示す。$x=\sigma^*(y)=\tau^*(z)$ とし、$\sigma\colon[n]\to[m]$、$\tau\colon[n]\to[p]$ は全射、$y,z$ は非退化とする。
段 1．全射な順序写像 $\sigma$ は順序写像の切断 $\delta\colon[m]\to[n]$（$\sigma\circ\delta=\mathrm{id}$）をもつ。実際、各 $\sigma^{-1}(j)$ は $[n]$ の空でない区間で、$j< j'$ なら $\sigma^{-1}(j)$ の元は $\sigma^{-1}(j')$ の元より小さいので、各区間から一つずつ選んだ点を $\delta(j)$ とすれば順序を保つ。さらに、与えられた $i\in[n]$ について $\delta(\sigma(i))=i$ となるように選べる。
段 2．$\delta$ を $\sigma$ の任意の切断とすると、$y=(\sigma\delta)^*(y)=\delta^*\sigma^*(y)=\delta^*\tau^*(z)=(\tau\delta)^*(z)$ である。順序写像 $\tau\delta\colon[m]\to[p]$ を、像への全射 $\pi\colon[m]\to[k]$ と単射 $\iota\colon[k]\to[p]$ の合成 $\tau\delta=\iota\circ\pi$ に分ける。$y=\pi^*(\iota^*(z))$ であり、$k< m$ なら補題により $y$ は退化単体となって仮定に反する。よって $k=m$、$\pi=\mathrm{id}$ であり、$\tau\delta=\iota$ は単射なので $m\leq p$ である。$y$ と $z$ の役割を入れ替えると $p\leq m$ であり、$m=p$ となる。$[m]$ から $[m]$ への単射な順序写像は恒等写像なので $\tau\delta=\mathrm{id}$、したがって $y=z$ である。
段 3．$i\in[n]$ を任意に取り、段 1 により $\delta(\sigma(i))=i$ となる切断 $\delta$ を選ぶ。段 2 から $\tau\delta=\mathrm{id}$ なので、$\tau(i)=\tau(\delta(\sigma(i)))=\sigma(i)$ である。よって $\sigma=\tau$ である。$\square$

$\mathbf{sSet}=\operatorname{Fun}(\Delta^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})$ は関手圏である。集合の側で各 $[n]$ ごとに極限を取り、$\alpha\colon[m]\to[n]$ による構造写像を極限錐の普遍性から定めると、$\Delta^{\mathrm{op}}$ 上の関手が得られる。その錐から任意の単体的集合への自然変換は各次数で一意に定まるため、関手圏での極限の普遍性を満たす。余極限も、各次数の余極限余錐とその普遍性を用いて同様に構成できる。$\blacksquare$