像(圏論)

$X=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ とし、$\mathcal{O}$ を $X$ 上の正則関数の層（加法群の層）、$\mathcal{O}^{\times}$ を零点をもたない正則関数の層（乗法群の層）とする。層の射 $\varepsilon\colon\mathcal{O}\to\mathcal{O}^{\times}$ を $\varepsilon_U(g)=\exp g$ で定める。
$\varepsilon$ は層の圏のエピ射である。 層の射 $h\colon\mathcal{O}^{\times}\to\mathcal{G}$ が $h\circ\varepsilon=0$ を満たすとする。開集合 $U$ と $u\in\mathcal{O}^{\times}(U)$ をとる。各点 $z\in U$ に対し、$z$ を中心とする開円板 $D\subset U$ をとると、$u'/u$ は $D$ 上の正則関数なので、円板の上で原始関数 $g_0$ をもつ。$(u\,e^{-g_0})'=u'e^{-g_0}-u\,g_0'e^{-g_0}=0$ なので $u\,e^{-g_0}$ は $D$ 上の定数 $c\neq0$ であり、$c=e^{a}$ となる複素数 $a$ をとれば $u|_D=\exp(g_0+a)$ である。よって $h(u)|_D=h(\varepsilon(g_0+a))=0$ である。$U$ はこのような円板で覆われるので、層の局所性から $h(u)=0$ となる。ゆえに $h=0$ であり、$\varepsilon$ はエピ射である。
prop-imc-criteria の 1 により、層の圏における $\varepsilon$ の像は $\mathcal{O}^{\times}$ 全体である。
大域切断の像は $\mathcal{O}^{\times}(X)$ 全体ではない。 恒等写像 $z\mapsto z$ は $\mathcal{O}^{\times}(X)$ の元である。$z=\exp g$ となる $g\in\mathcal{O}(X)$ があったとすると、微分して $1=g'(z)\,e^{g(z)}=g'(z)\,z$、すなわち $g'(z)=1/z$ となる。しかし単位円周 $\gamma$ に沿って $\int_\gamma g'(z)\,dz=0$（導関数の閉曲線に沿った積分）である一方、$\int_\gamma dz/z=2\pi i\neq0$ なので矛盾する。よって $\varepsilon_X(\mathcal{O}(X))\subsetneq\mathcal{O}^{\times}(X)$ である。
すなわち開集合 $X$ における「切断の像」は、像の層の $X$ 上の切断の群より真に小さい。大域切断の関手 $F=\Gamma(X,-)$ で言えば、標準的な包含 $\operatorname{Im}F(\varepsilon)=\varepsilon_X(\mathcal{O}(X))\hookrightarrow\mathcal{O}^{\times}(X)=F(\operatorname{Im}\varepsilon)$ は同型でない。切断ごとの像を集めた前層 $P$（$P(U)=\varepsilon_U(\mathcal{O}(U))$）は層にならない。実際、上の議論により $X$ に含まれる各開円板 $D$ で $P(D)=\mathcal{O}^{\times}(D)$ なので、$P$ が層なら $z|_D\in P(D)$ たちが貼り合わさって $z\in P(X)$ となり、$z\notin\varepsilon_X(\mathcal{O}(X))$ に矛盾する。

捩れのない（位数有限の非零元をもたない）アーベル群と群準同型のなす圏 $\mathbf{Ab}_{\mathrm{tf}}$ を考える。これは加法圏であり、任意の射が核と余核をもつ。$f\colon A\to B$ の核は通常の核で、余核は $B$ から $(B/f(A))/T$（$T$ は $B/f(A)$ の捩れ部分群）への射影である（アーベル圏 の注意「反例：捩れなしアーベル群の圏」）。したがって
$$ \operatorname{Im}f=\{b\in B\mid nb\in f(A)\ \text{となる整数}\ n\ge1\ \text{がある}\} $$
である。実際、$b$ が余核で零に写ることは、$B/f(A)$ における $b$ の類が捩れ元であること、すなわちある $n\ge1$ で $nb\in f(A)$ となることである。この部分群は $B$ の部分群として捩れがないので、$\mathbf{Ab}_{\mathrm{tf}}$ の対象である。
とくに $\mu_2\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$、$x\mapsto2x$ では、すべての $b$ について $2b\in2\mathbb{Z}$ なので $\operatorname{Im}\mu_2=\mathbb{Z}$、すなわち $\operatorname{im}\mu_2=\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}$ である。一方 $\ker\mu_2=0$ なので余像は $\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}$ で、余像から像への標準射は $\mu_2$ そのものであり、同型射ではない。また $\mu_2$ は $n=\mu_2$ というモノ射を経由するが、像 $\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}$ は $\mu_2$ を経由しない（$\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}=2v$ となる準同型 $v$ はない）。$\mu_2$ はこの圏で核でないモノ射なので、thm-imc-universal の 2 の仮定を満たさない。

Banach空間と有界線形写像のなす圏 $\mathbf{Ban}$ は加法圏である。有界線形写像 $f\colon A\to B$ について、$Z=\overline{f(A)}$（値域の閉包）とおく。
余核は $B\to B/Z$ である。 $Z$ は閉部分空間なので、商ノルム $\|[b]\|=\inf_{z\in Z}\|b+z\|$ により $B/Z$ は Banach 空間になり、射影 $\pi\colon B\to B/Z$ は有界である。有界線形写像 $h\colon B\to Y$ が $h\circ f=0$ を満たせば、$h$ は $f(A)$ 上で零であり、連続性により $Z$ 上でも零である。よって $h=\bar h\circ\pi$ となる線形写像 $\bar h$ がただ一つあり、$\|\bar h([b])\|=\|h(b+z)\|\le\|h\|\,\|b+z\|$ の下限をとって $\|\bar h\|\le\|h\|$ である。
像は $Z\hookrightarrow B$ である。 $\pi$ の核は $Z$（$B$ のノルムを制限した Banach 空間）の包含である。したがって $\operatorname{Im}f=\overline{f(A)}$ であり、余像は $A/\ker f$ である。
具体的に、$\ell^2$ を二乗総和可能な数列の Hilbert 空間とし、$T\colon\ell^2\to\ell^2$ を $T(x_n)_n=(x_n/n)_n$ で定める。$T$ は単射で、値域は有限個の項を除いて零の数列をすべて含むので稠密であり、$\operatorname{Im}T=\ell^2$、$\operatorname{Coim}T=\ell^2$ である。余像から像への標準射は $T$ 自身である。しかし $(1/n)_n\in\ell^2$ は値域に入らない（逆像の候補 $(1,1,1,\dots)$ は $\ell^2$ に属さない）ので $T$ は全射でなく、有界な逆写像をもたない。よって余像から像への標準射は同型射ではない。$T$ は稠密な値域をもつのでエピ射でもあり（$h\circ T=0$ なら $h$ は稠密な部分空間上で零なので $h=0$）、$T=T\circ\operatorname{id}=\operatorname{id}\circ T$ はどちらもエピ射とモノ射への分解である。この二つを結ぶ射 $\theta$（$\operatorname{id}\circ\theta=T$、$\theta\circ\operatorname{id}=T$）は $T$ 自身しかなく、同型射ではない。

群と群準同型の圏 $\mathbf{Grp}$ は零対象（自明群）をもち、任意の射が核と余核をもつ。$f\colon H\to G$ の余核は、$f(H)$ の正規閉包 $N$ による商 $G\to G/N$ であり（余核 の例「群の圏での注意」）、その核は $N\hookrightarrow G$ である。よって $\ker(\operatorname{coker}f)$ は $N$ を表す。
$G=S_3$（対称群）、$H=\{e,(1\,2)\}$、$f$ を包含とする。$(1\,2)$ の共役は互換 $(1\,2),(1\,3),(2\,3)$ のすべてで、互換は $S_3$ を生成するので $N=S_3$ である。一方、$f$ はモノ射なので、$f$ が経由する最小の部分対象は $H$ 自身である。したがって $\mathbf{Grp}$ では
$$ \ker(\operatorname{coker}f)=S_3\neq H=(\text{部分対象としての像}) $$
となり、def-imc-image と def-imc-image-subobject は一致しない。$H\hookrightarrow S_3$ がどの射の核でもないこと（核 の例「反例：核でないモノ射」）が、thm-imc-universal の 3 の仮定が崩れる理由である。

アーベル群の圏で、$F=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},-)$ は左完全である。射影 $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の像は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 全体なので $F(\operatorname{Im}f)=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。一方 $F(\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$ なので $\operatorname{im}F(f)=0$ である。
$G=-\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は右完全である。$\mu_2\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ の像は $2\mathbb{Z}$ で、$G(2\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\neq0$ だが、$G(\mu_2)$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上の $2$ 倍写像すなわち零写像なので $\operatorname{im}G(\mu_2)=0$ である。どちらの場合も $F(\operatorname{Im}f)$ と $\operatorname{Im}F(f)$ は同型でない。