Lefschetzの(1,1)定理

$\Delta(r)$ は中心について星型なので、Poincaréの補題 の定理「Poincaré の補題（$C^\infty$ 版）」により実の 1 形式 $\eta$ で $d\eta=\omega$ となるものがある。$\eta=\eta^{1,0}+\eta^{0,1}$ と型に分けると、$\eta$ が実なので $\eta^{1,0}=\overline{\eta^{0,1}}$ である。$d\eta$ の $(0,2)$ 成分は $\bar\partial\eta^{0,1}$ で、$\omega$ は型 $(1,1)$ なので $\bar\partial\eta^{0,1}=0$ である。Dolbeault–Grothendieckの補題 の定理「Dolbeault–Grothendieck の補題」（$p=0$、$q=1$）により、$\Delta(r')$ 上の複素数値関数 $f$ で $\bar\partial f=\eta^{0,1}$ となるものがある。共役をとって $\eta^{1,0}=\partial\bar f$ である。$\partial^2=\bar\partial^2=0$ と $\bar\partial\partial=-\partial\bar\partial$ から$$\omega=d\eta=(\partial+\bar\partial)(\partial\bar f+\bar\partial f)=\bar\partial\partial\bar f+\partial\bar\partial f=\partial\bar\partial(f-\bar f)=2i\,\partial\bar\partial\operatorname{Im}f$$であるから、$\varphi:=4\pi\operatorname{Im}f$ とおけばよい。$\square$

$(1,0)$ 形式 $\partial u$ は $d(\partial u)=\partial^2u+\bar\partial\partial u=-\partial\bar\partial u=0$ を満たす閉形式なので、仮定から $C^\infty$ 関数 $F$ で $dF=\partial u$ となるものがある。$dF$ は型 $(1,0)$ なので $\bar\partial F=0$、すなわち $F$ は正則である。$u$ が実なので $\overline{\partial u}=\bar\partial u$ であり、$d(F+\bar F)=\partial u+\bar\partial u=du$ となる。$U$ は連結なので $F+\bar F-u$ は実の定数 $c$ であり、$F$ を $F-c/2$ に取り替えれば $2\operatorname{Re}F=u$ である。$\square$

1：$U_{abc}$ 上で $2\operatorname{Re}(\delta f)_{abc}=(\varphi_c-\varphi_b)-(\varphi_c-\varphi_a)+(\varphi_b-\varphi_a)=0$ である。実部が $0$ の正則関数は、Cauchy–Riemann の方程式から微分が $0$ なので、連結な $U_{abc}$ の上で純虚数の定数である。そこで $(\delta f)_{abc}=2\pi i\,m_{abc}$（$m_{abc}\in\mathbb R$）と書ける。$\delta^2=0$ から $\delta m=0$ である。

2：$U_a$ 上の実の 1 形式 $A_a:=\frac{i}{4\pi}(\bar\partial\varphi_a-\partial\varphi_a)$ と、$U_{ab}$ 上の実数値関数 $\sigma_{ab}:=\frac{1}{2\pi}\operatorname{Im}f_{ab}$ を考える（$A_a$ が実であることは共役をとればわかる）。まず$$dA_a=\frac{i}{4\pi}(\partial\bar\partial\varphi_a-\bar\partial\partial\varphi_a)=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\varphi_a=\omega$$である。次に、$f_{ab}$ は正則なので $\partial f_{ab}=df_{ab}$、$\bar\partial\bar f_{ab}=d\bar f_{ab}$、$\bar\partial f_{ab}=\partial\bar f_{ab}=0$ であり、$\varphi_b-\varphi_a=f_{ab}+\bar f_{ab}$ から$$A_b-A_a=\frac{i}{4\pi}(\bar\partial-\partial)(f_{ab}+\bar f_{ab})=\frac{i}{4\pi}\,d(\bar f_{ab}-f_{ab})=\frac{1}{2\pi}\,d\operatorname{Im}f_{ab}=d\sigma_{ab}$$となる。また $(\delta\sigma)_{abc}=\frac1{2\pi}\operatorname{Im}(\delta f)_{abc}=m_{abc}$ である。

Čech–de Rham 複体 $K^{p,q}=C^p(\mathfrak U,\Omega^q)$ の全複体の微分は $D=\delta+(-1)^pd$ である（Čech–de Rham複体 の定義「Čech–de Rham 複体」）。$A=(A_a)\in K^{0,1}$、$\sigma=(\sigma_{ab})\in K^{1,0}$ について、上の 3 式から$$DA=\delta A+dA=d\sigma+r(\omega),\qquad D\sigma=\delta\sigma-d\sigma=i(m)-d\sigma$$であり、$D(A+\sigma)=r(\omega)+i(m)$ となる。よって全複体のコホモロジーで $r_*[\omega]=-i_*[m]$ であり、$\Psi_{\mathfrak U}[\omega]=i_*^{-1}r_*[\omega]=-[m]$ である。$\square$

1．$\alpha=c_1(L)$ なら、thm-lef11-general の 1 により $\alpha_{\mathbb C}$ は型 $(1,1)$ の閉形式 $\Theta_h$ で代表され、$H^{1,1}(X)$ に入る。逆に $\alpha_{\mathbb C}=[\eta]$（$\eta$ は型 $(1,1)$ の閉形式）とする。$H^2(X;\mathbb C)=H^2(X;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ の複素共役は形式の共役で与えられ、$\alpha_{\mathbb C}$ は実の類なので $[\bar\eta]=\alpha_{\mathbb C}$ である。$\omega:=\frac12(\eta+\bar\eta)$ は実の閉 $(1,1)$ 形式で $[\omega]=\alpha_{\mathbb C}$ であり、$H^2_{dR}(X;\mathbb R)\to H^2_{dR}(X;\mathbb C)$ は単射なので実係数でも $[\omega]=\alpha_{\mathbb R}$ である。thm-lef11-general の 2 により $\alpha$ は $c_1$ の像に入る。$H^2(X,\mathcal O_X)$ での像による言い換えは、def-lef11-integral の後の等式による。

2．$X$ はコンパクトなので有限の良い被覆 $\mathfrak U$ をもち、$H^2(X;\mathbb Z)\cong\check H^2(\mathfrak U,\mathbb Z)$ は有限生成自由アーベル群の複体のコホモロジーとして有限生成である。有限生成アーベル群の部分群は有限生成なので $\operatorname{NS}(X)$ も有限生成である。$\mathbb R$ は $\mathbb Z$ 上平坦なので、有限の Čech 複体について $\check H^2(\mathfrak U,\mathbb Z)\otimes\mathbb R\cong\check H^2(\mathfrak U,\mathbb R)$ であり、部分群 $\operatorname{NS}(X)$ について $\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb R\to H^2(X;\mathbb R)$ は単射である。その像は 1 により $H^{1,1}(X)\cap H^2(X;\mathbb R)$ に入る。Hodge 対称性（Hodge分解 の定理「Hodge 分解定理」の 2）により $H^{1,1}(X)$ は共役で閉じているので、その実の部分の実次元は $h^{1,1}(X)$ である。よって $\rho(X)\le h^{1,1}(X)$ である。

3．Hodge 分解は直和なので、$\alpha_{\mathbb C}\in H^{1,1}(X)$ は $\alpha^{2,0}=\alpha^{0,2}=0$ と同値である。$\alpha_{\mathbb C}$ は実の類なので Hodge 対称性から $\overline{\alpha^{0,2}}=\alpha^{2,0}$ であり、一方が $0$ なら他方も $0$ である。1 と合わせて主張を得る。$\square$

連結なコンパクト複素多様体の上の正則関数は、絶対値が最大になる点の近くで最大値の原理により定数になり、定数になる点の集合が開かつ閉なので定数である。よって $H^0(X,\mathcal O_X)=\mathbb C$、$H^0(X,\mathcal O_X^*)=\mathbb C^*$ で、$z\mapsto e^{2\pi iz}$ は $\mathbb C\to\mathbb C^*$ の全射である。指数完全列の長完全列 $H^0(\mathcal O_X)\to H^0(\mathcal O_X^*)\to H^1(X;\mathbb Z)\to H^1(X,\mathcal O_X)\to\operatorname{Pic}(X)\xrightarrow{c_1}H^2(X;\mathbb Z)$ から、$H^1(X;\mathbb Z)\to H^1(X,\mathcal O_X)$ は単射で、$\operatorname{Pic}^0(X)=\ker c_1\cong H^1(X,\mathcal O_X)/H^1(X;\mathbb Z)$ である。

層の包含 $\mathbb R\subset\mathbb C\subset\mathcal O_X$ が誘導する $H^1(X;\mathbb R)\to H^1(X,\mathcal O_X)$ は、de Rham の同型と Dolbeault の同型のもとで、実の閉 1 形式 $\xi$ の類をその $(0,1)$ 成分 $\xi^{0,1}$ の $\bar\partial$ コホモロジー類に送る写像になる（形式をその $(0,q)$ 成分に射影する写像が de Rham 分解から Dolbeault 分解への複体の射になることによる。Dem12 Lemma (9.4) の証明、p. 314）。Hodge 分解 $H^1(X;\mathbb C)=H^{1,0}(X)\oplus H^{0,1}(X)$ で、実の類 $\xi$ は $\xi^{1,0}=\overline{\xi^{0,1}}$ を満たすので、$\xi^{0,1}=0$ なら $\xi=0$ である。実次元はどちらも $b_1=h^{1,0}+h^{0,1}=2q$（Hodge 対称性）なので、この写像は実線型同型である。

thm-lef11-kahler の 2 の証明と同じく $H^1(X;\mathbb Z)$ は有限生成で $H^1(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb R\cong H^1(X;\mathbb R)$ である。$H^1(X;\mathbb Z)$ の捩れ元は単射 $H^1(X;\mathbb Z)\to H^1(X,\mathcal O_X)$ でベクトル空間の捩れ元に移るので $0$ であり、$H^1(X;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^{b_1}$ の基底は $H^1(X;\mathbb R)$ の基底に移る。よってその像は $H^1(X;\mathbb R)$ の格子であり、実線型同型で $H^1(X,\mathcal O_X)$ の格子に移る。格子による商は $q$ 次元の複素トーラスである（複素トーラス の定義「複素トーラス」）。$\square$