位相的K理論

前提知識: ベクトル束, Grothendieck群, ベクトル束の直和・テンソル積, 部分束・商束・双対束

位相的K理論（topological K-theory）は、コンパクト空間 $X$ の上の複素ベクトル束の同型類に、直和を足し算として「引き算」を許して作った環 $K(X)$ を調べる理論である。ベクトル束は直和について打ち消しが効かない（$E\oplus G\cong F\oplus G$ でも $E\cong F$ とは限らない）が、$K(X)$ ではその違いを「自明束を足せば同型になる」という安定同型の範囲で忘れる。その代わりに $K$ は計算しやすい関手になり、懸垂と組み合わせると、特異コホモロジーの次元公理以外の公理を満たす一般コホモロジー論になる。中心にある Bott の周期性定理は、球面の $K$ 群を $\widetilde K(S^{2n})\cong\mathbb{Z}$、$\widetilde K(S^{2n+1})=0$ と決定する。
位相的 K 理論は、Hopf 不変量 1 の写像の非存在（実数体の上の割り算のできる有限次元代数は次元 $1,2,4,8$ に限ること）や球面上のベクトル場の個数の決定に使われ、楕円型作用素の記号の類を通じて Atiyah–Singerの指数定理 の位相的な側を与える。環の代数的 K 群との関係は 代数的K理論 の記事が扱う。

定義

この記事では、$X$ はコンパクト Hausdorff 空間とし、ベクトル束は特に断らなければ複素ベクトル束とする。ベクトル束 の記事の定義では階数は一定だが、ここでは階数が局所定数であるもの、すなわち $X$ を有限個の開かつ閉な集合に分け、それぞれの上で階数一定のベクトル束を並べたものも許す（コンパクト性により分け方は有限個で済む）。直和・テンソル積・引き戻しは各片の上で定める。$\varepsilon^n:=X\times\mathbb{C}^n$ を自明束と書く。
ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「標準同型」により、同型類の集合 $\operatorname{Vect}(X)$ は $\oplus$ を加法、$\otimes$ を乗法、$\varepsilon^0$ を零元、$\varepsilon^1$ を単位元とする可換半環である。

連続写像 $f\colon Y\to X$ は引き戻しにより環準同型 $f^*\colon K(X)\to K(Y)$ を与える（Grothendieck群 の定理「Grothendieck群の普遍性」）。$X$ が 1 点なら、ベクトル束は次元で決まるベクトル空間なので $\operatorname{Vect}(\mathrm{pt})=\mathbb{N}$、$K(\mathrm{pt})=\mathbb{Z}$ である。$X$ に基点 $x_0$ をとり、$i\colon\{x_0\}\to X$ を包含とするとき、$\widetilde K(X):=\ker(i^*\colon K(X)\to\mathbb{Z})$ を簡約 K 群という。定値写像 $c\colon X\to\{x_0\}$ について $i^*c^*=\mathrm{id}$ なので、$K(X)=\widetilde K(X)\oplus\mathbb{Z}$ である。実ベクトル束で同じ構成をしたものを $KO(X)$、$\widetilde{KO}(X)$ と書く（Hus94 第 9 章 Definition 3.4・3.5、pp. 116–117）。
$f_0,f_1\colon Y\to X$ がホモトピックなら、ベクトル束 の定理「ホモトピー不変性と分類」の 1（コンパクト Hausdorff 空間はパラコンパクト Hausdorff）を各片に当てて $f_0^*E\cong f_1^*E$ なので、$f_0^*=f_1^*$ である。とくに可縮なコンパクト空間 $X$ では $\widetilde K(X)=0$ である。

補束と安定同型

3 は Hus94 第 9 章 Theorem 3.8（p. 117）の形である。安定同型は同型より弱い（ex-ktop-table の 3 行目）。

低い次元の球面

実ベクトル束では事情が異なる。$\mathrm{GL}_r(\mathbb{R})$ は行列式の符号で 2 つの成分に分かれ、$S^1$ 上の Möbius 束 $M$ は $\varepsilon^k$ を足しても自明にならない（ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「Möbius 束は安定的にも自明でない」）。cor-ktop-stable の 3 により $[M]-1\ne0$ であり、実際 $\widetilde{KO}(S^1)\cong\mathbb{Z}/2$ である（Hus94 第 9 章 Corollary 5.2、p. 121）。
$\mathbb{C}\mathrm{P}^1=S^2$ の上では、トートロジー直線束 $\gamma=\{(\ell,v)\mid v\in\ell\}\subset\varepsilon^2$（Chern類 の定義「複素射影空間の超平面類」の $\gamma_1=\mathcal{O}(-1)$）が基本の束である。

$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ は 2 次元球面と同相なので、$x$ は $\widetilde K(S^2)$ の元を与える。次の Bott の周期性定理によれば、$x$ は $\widetilde K(S^2)$ の生成元である。

一般コホモロジー論として

基点つきコンパクト空間 $X$ の簡約懸垂を $\Sigma X$ とし、$n\ge0$ について
$$ \widetilde K^{-n}(X):=\widetilde K(\Sigma^nX),\qquad K^{-n}(X):=\widetilde K^{-n}(X_+) $$
とおく（$X_+$ は $X$ に離れた基点を付け加えた空間）。閉部分空間 $A\subset X$ については $K(X,A):=\widetilde K(X/A)$ と定める。$(X,A)$ が有限 CW 複体とその部分複体の対なら、
$$ \widetilde K(X/A)\to\widetilde K(X)\to\widetilde K(A) $$
は完全であり、懸垂を使って左へ延ばした長完全列が得られる（Hus94 第 10 章 Proposition 2.1、p. 125、Theorem 2.8、p. 127）。Bott の周期性定理により、$x=[\gamma]-1$ との積 $\widetilde K(X)\to\widetilde K(\Sigma^2X)$ は同型である（Hus94 第 11 章 Theorem 1.3、p. 141）。そこで $K^{n}:=K^{n-2}$ によりすべての整数 $n$ に $K^n$ を延ばすと、周期 $2$ の理論 $K^*$ が得られる。こうして $K^*$ は、特異コホモロジーの Eilenberg–Steenrod の公理（特異コホモロジー）のうち次元公理以外を満たし、1 点の値は $K^0(\mathrm{pt})=\mathbb{Z}$、$K^{-1}(\mathrm{pt})=\widetilde K(S^1)=0$ である（Fre21 §2.4、p. 9）。この意味で K 理論は一般コホモロジー論の代表例であり、Brownの表現可能性定理 の意味で表現される。実際、有限連結 CW 複体 $X$ について
$$ \widetilde K(X)\cong[X,BU],\qquad K(X)\cong[X,\mathbb{Z}\times BU] $$
である。ここで $BU=\bigcup_n\mathrm{Gr}_n(\mathbb{C}^{2n})$ であり、対応は分類写像による引き戻しで与えられる（Hus94 第 9 章 Theorem 4.5・Remark 4.6、pp. 119–120。$\mathrm{Gr}_n$ の上の普遍束は Stiefel多様体 の記事の系「分類空間の模型」）。周期性はスペクトルの言葉では スペクトル(ホモトピー論) の例「K 理論のスペクトル」の形になる。

演算と応用

Chern 指標　Chern類 の注意「Chern指標・Todd類の性質とRiemann–Roch」のとおり、Chern 指標 $\operatorname{ch}$ は直和を和に、テンソル積を積に送るので、環準同型 $\operatorname{ch}\colon K(X)\to H^{\mathrm{even}}(X;\mathbb{Q})$ に延びる。球面 $S^{2n}$（$n\ge1$）では $\operatorname{ch}$ は $\widetilde K(S^{2n})$ を $H^{2n}(S^{2n};\mathbb{Z})\subset H^{2n}(S^{2n};\mathbb{Q})$ の上へ同型に写す（Hus94 第 20 章 Theorem 9.6、p. 308）。$S^2$ では $\operatorname{ch}(x)=c_1(\gamma)$ であり、thm-ktop-cp1 の $x\ne0$ はこの $n=1$ の場合にあたる。
λ 環と Adams 演算　外冪 $\lambda^k[E]:=[\bigwedge^kE]$ により $K(X)$ は λ 環になり（λ環 の定理「ベクトル束の $K$ 群は $\lambda$ 環」）、そこから Adams 演算 $\psi^k$ が定まる（同記事の定義「Adams演算の定義」）。

一般に $\psi^k$ は $\widetilde K(S^{2n})$ の上で $k^n$ 倍として働く（Hus94 第 13 章 Theorem 11.2、p. 188）。この $k^n$ という係数と $\psi^2\psi^3=\psi^3\psi^2$ のような関係式を組み合わせると、Adams と Atiyah による次の定理が得られる：$S^{2m-1}\to S^m$ で Hopf 不変量が $1$ の写像があるのは $m=2,4,8$ のときに限る（Hus94 第 15 章 Theorem 4.3、p. 215。この記事では証明しない）。系として、正の次元の球面で H 空間の構造をもつのは $S^1,S^3,S^7$ に限り、$\mathbb{R}^n$ に零因子のない双線形な積があるのは $n=1,2,4,8$ に限る（同 Corollary 4.4・4.5、pp. 215–216）。後者の 4 つの次元は $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、四元数、八元数で実現される。
指数定理　閉多様体 $X$ 上の楕円型作用素の記号は、余接束の単位円板束を単位球面束で割った空間の簡約 K 群 $K^0(T^*X,T^*X\setminus0)$ の元を定める。指数をこの元の関数として位相的に書く公式が Atiyah–Singerの指数定理 であり、その証明の一方の道筋は K 理論の Thom 同型と Bott の周期性に基づく。

反例

関連項目

• 前提: ベクトル束, Grothendieck群, ベクトル束の直和・テンソル積, 部分束・商束・双対束
• 基本例: n次元球面, 射影空間, Möbiusの帯
• 比較: 代数的K理論, 特異コホモロジー, λ環
• 直後に読む: Chern類, 分類空間, Stiefel多様体
• 発展: Atiyah–Singerの指数定理, スペクトル(ホモトピー論), Hopfファイブレーション