階数(線形代数)

$A$ の列 $a_1,\dots,a_n$ から、列空間の基底になるものを選ぶ（$a_1$ から順に、それまでに選んだものの線形結合でないものだけを残せばよい。残したものは線形独立 の記事の命題「一ベクトルの追加」により線形独立であり、残さなかった列は残したものの線形結合なので、残したものは列空間を張る）。その個数は列空間の次元 $r$ である。それらを並べた $m\times r$ 行列を $C=(c_1\ \cdots\ c_r)$ とする。各 $a_k$ は列空間に入るので $a_k=\sum_{j=1}^r\rho_{jk}c_j$ と書ける。$R:=(\rho_{jk})\in M_{r,n}(K)$ とおくと、$CR$ の第 $k$ 列は $\sum_j\rho_{jk}c_j=a_k$ であり、$A=CR$ である。$\square$

$A$ の列階数を $r$ とする。$r=0$ なら $A=O$ で行階数も $0$ である。$r\ge1$ とし、prop-rank-la-factorization により $A=CR$（$C\in M_{m,r}(K)$、$R\in M_{r,n}(K)$）と書く。$A$ の第 $i$ 行は
$$ (a_{i1},\dots,a_{in})=\sum_{j=1}^rc_{ij}\,(\rho_{j1},\dots,\rho_{jn}) $$
であり（$a_{ik}=\sum_jc_{ij}\rho_{jk}$）、$R$ の $r$ 本の行の線形結合である。よって行空間は $R$ の $r$ 本の行が張る空間に含まれ、その次元は $r$ 以下である（$r$ 本のベクトルで張られる空間では、その $r$ 本が生成系なので、基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 2 により次元は $r$ 以下であり、部分空間の次元はさらにそれ以下である（同命題の 3））。したがって「行階数 $\le$ 列階数」がすべての行列について成り立つ。これを $A^{\top}$ に使うと、$A^{\top}$ の行は $A$ の列、$A^{\top}$ の列は $A$ の行なので、「$A$ の列階数 $\le$ $A$ の行階数」を得る。2 つの不等式から両者は等しい。$\square$

$V$ の基底 $v_1,\dots,v_n$、$W$ の基底 $w_1,\dots,w_m$ に関する表現行列を $A$ とし、$W$ の座標写像を $\varphi\colon W\to K^m$ とする。$\varphi$ は線形な全単射である（線形代数学 の記事の定義「基底と次元」の後の段落）。$A$ の第 $j$ 列は $\varphi(T(v_j))$ なので、$A$ の列空間は $\varphi(\operatorname{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\})=\varphi(\operatorname{im}T)$ である。単射な線形写像は線形独立な族を線形独立な族に写す（線形独立 の記事の命題「単射線形写像による保存」）ので、$\operatorname{im}T$ の基底は $\varphi$ で $\varphi(\operatorname{im}T)$ の基底に写り、両者の次元は等しい。$\square$

1. $ABx=A(Bx)$ なので $AB$ の像は $A$ の像に含まれ、$\operatorname{rank}(AB)\le\operatorname{rank}A$ である（部分空間の次元は全体の次元以下。基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 3）。また $AB$ の像は $B$ の像 $U:=\operatorname{im}B$ を $L_A$ で写したもの $A(U)$ である。$L_A$ を $U$ に制限した線形写像 $U\to K^m$ に「次元定理」を使うと、$\dim A(U)=\dim U-\dim(U\cap\ker A)\le\dim U$ であり、$\operatorname{rank}(AB)\le\operatorname{rank}B$ である。
2. 1 により $\operatorname{rank}(PA)\le\operatorname{rank}A$、$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(P^{-1}PA)\le\operatorname{rank}(PA)$ なので等しい。$AQ$ についても同様に $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(AQQ^{-1})\le\operatorname{rank}(AQ)\le\operatorname{rank}A$ である。$\square$

$U:=\operatorname{im}B\subset K^n$ とおく。prf-rank-la-product の 1 と同じく $\operatorname{rank}(AB)=\dim A(U)=\dim U-\dim(U\cap\ker A)$ である。$U\cap\ker A$ は $\ker A$ の部分空間なので $\dim(U\cap\ker A)\le\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$（次元定理）である。よって
$$ \operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}B-(n-\operatorname{rank}A) $$
である。$\square$

$(A+B)x=Ax+Bx$ なので $\operatorname{im}(A+B)\subset\operatorname{im}A+\operatorname{im}B$ である。基底と次元 の記事の命題「部分空間の和と共通部分の次元」により $\dim(\operatorname{im}A+\operatorname{im}B)\le\dim\operatorname{im}A+\dim\operatorname{im}B$ である。$\square$

$r:=\operatorname{rank}A$ とする。
$s$ 次の小行列式が $0$ でないなら $s\le r$ であること。行 $I=\{i_1,\dots,i_s\}$、列 $J=\{j_1,\dots,j_s\}$ の小行列式が $0$ でないとし、その $s\times s$ 行列を $S$ とする。行列式 の記事の定理「正則性の判定」により $S$ の列は線形独立である。$A$ の列 $a_{j_1},\dots,a_{j_s}$ について $\sum_qx_qa_{j_q}=0$ とすると、第 $i_1,\dots,i_s$ 成分だけを見れば $S$ の列の線形関係 $\sum_qx_qs_q=0$（$s_q$ は $S$ の第 $q$ 列）が得られ、$x_1=\cdots=x_s=0$ である。よって $A$ の $s$ 本の列が線形独立であり、$s\le r$ である（基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 1 を列空間に使う）。
$0$ でない $r$ 次の小行列式が存在すること。prop-rank-la-factorization の証明のように、$A$ の列から列空間の基底 $a_{j_1},\dots,a_{j_r}$ を選び、これを並べた $m\times r$ 行列を $C$ とする。$C$ の列階数は $r$ なので、thm-rank-la-row-column により $C$ の行階数も $r$ である。$C$ の $m$ 本の行は $C$ の行空間を張るので、同じ方法で行空間の基底になる $r$ 本の行 $i_1<\cdots< i_r$ を選べる。これらの行からなる $r\times r$ 行列 $S$ は行が線形独立なので、「正則性の判定」により $\det S\ne0$ である。$S$ は $A$ の行 $i_1,\dots,i_r$ と列 $j_1,\dots,j_r$ から得られるので、$\det S$ は $A$ の $0$ でない $r$ 次の小行列式である。$\square$

$A$ の小行列式は成分の和と積で計算されるので、$K$ で計算しても $L$ で計算しても同じ元であり、$0$ かどうかも同じである。$A=O$ ならどちらでも階数は $0$ であり、そうでなければ thm-rank-la-minors により、どちらの階数も「$0$ でない小行列式の次数の最大値」に等しい。$\square$

$\operatorname{rank}A=1$ とすると、列空間は $0$ でないある $u$ で張られるので、各列は $a_j=v_ju$（$v_j\in K$）と書ける。$v:=(v_1,\dots,v_n)^{\top}$ とおくと $uv^{\top}$ の第 $j$ 列は $v_ju=a_j$ なので $A=uv^{\top}$ であり、$A\ne O$ なので $v\ne0$ である。逆に $A=uv^{\top}$（$u,v\ne0$）なら、第 $j$ 列は $v_ju$ なので列空間は $\operatorname{span}\{u\}$ に含まれ、$v_j\ne0$ となる $j$ の列 $v_ju$ は $0$ でないので、列空間は $1$ 次元である。$\square$

$r=0$ なら $A=O$ で $P=I_m$、$Q=I_n$ でよい。$r\ge1$ とする。次元定理により $\dim\ker A=n-r$ である。$\ker A$ の基底 $u_{r+1},\dots,u_n$ をとり、線形代数学 の記事の補題「部分空間の基底と基底の延長」の 2 により $u_1,\dots,u_r$ を付け加えて $K^n$ の基底 $u_1,\dots,u_n$ にする。$w_i:=Au_i$（$i=1,\dots,r$）とおく。$\operatorname{im}A$ の元は $A(\sum_ic_iu_i)=\sum_{i\le r}c_iw_i$ なので $w_1,\dots,w_r$ は $\operatorname{im}A$ を張り、$\dim\operatorname{im}A=r$ なので $\operatorname{im}A$ の基底である（基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 2）。これを $K^m$ の基底 $w_1,\dots,w_m$ に延長する。
$Q:=(u_1\ \cdots\ u_n)$、$R:=(w_1\ \cdots\ w_m)$ は列が基底をなすので正則である（正則行列 の記事の定理「正則性の同値条件」）。$AQ$ の列は $Au_1,\dots,Au_n=w_1,\dots,w_r,0,\dots,0$ であり、これは $R\begin{pmatrix}I_r&O\\O&O\end{pmatrix}$ の列と一致する。よって $P:=R^{-1}$ とおけば $PAQ=\begin{pmatrix}I_r&O\\O&O\end{pmatrix}$ である。
後半について。$B=PAQ$ なら prop-rank-la-product の 2 により $\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}A$ である。逆に階数が等しければ、前半により $A$ と $B$ はどちらも同じ行列 $\begin{pmatrix}I_r&O\\O&O\end{pmatrix}$ に $P_1AQ_1=P_2BQ_2$ の形で写るので、$B=(P_2^{-1}P_1)A(Q_1Q_2^{-1})$ である。$\square$

複素数の場合を示す（実数の場合は $A^*=A^{\top}$ である）。$Ax=0$ なら $A^*Ax=0$ である。逆に $A^*Ax=0$ なら、$y:=Ax$ について
$$ 0=x^*A^*Ax=(Ax)^*(Ax)=\sum_{i=1}^m|y_i|^2 $$
なので $y=0$、すなわち $Ax=0$ である。よって $\ker(A^*A)=\ker A$ であり、どちらも $n$ 列の行列なので、次元定理により $\operatorname{rank}(A^*A)=n-\dim\ker A=\operatorname{rank}A$ である。$AA^*$ については、$A^*$ に同じことを使って $\operatorname{rank}(AA^*)=\operatorname{rank}(A^{**}A^*)=\operatorname{rank}A^*$ であり、$\operatorname{rank}A^*=\operatorname{rank}A^{\top}=\operatorname{rank}A$ である（成分の共役をとっても列の線形関係は係数の共役をとって保たれ、転置は thm-rank-la-row-column による）。$\square$