Chevalleyの定理

同義語：Chevalley's theoremシュヴァレーの定理

概要

前提知識: スキーム, 有限型射, Noetherスキーム, 構成可能集合(位相)

主張

Chevalleyの定理（Chevalley's theorem）は、適切な有限性をもつスキームの射が構成可能集合を構成可能集合へ送ることを述べる。この記事では、Noether スキームの間の有限型射に対する形を証明し、その系と逆向きの主張、仮定を外したときの反例を扱う。
スキーム $X$ の基礎位相空間を $|X|$ と書く。Noether スキームの基礎位相空間は Noether 空間であり、Noether 空間 $T$ の部分集合 $E$ が構成可能であるとは、$E$ が有限個の局所閉集合（開集合と閉集合の共通部分）の合併であることをいう。一般の位相空間での構成可能集合は遡コンパクトな開集合を用いて定義されるが、Noether 空間ではそれが「有限個の局所閉集合の合併」と一致する（構成可能集合(位相) の定理「Noether空間における特徴づけ」）。構成可能集合全体は有限合併・有限交叉・補集合で閉じている。

Chevalleyの定理（Noether版）

$X,Y$ をNoetherスキームとし、$f\colon X\to Y$ を有限型射とする。$C\subset |X|$ が構成可能集合ならば、集合としての像
$$ f(C)=\{f(x)\mid x\in C\}\subset |Y| $$
も構成可能集合である。特に $f(X)$ は $Y$ の構成可能集合である。

証明の構成

証明は下の節「Chevalleyの定理の証明」で行う。位相的な判定法で問題を既約閉集合ごとの主張に落とし、代数的な核心（優勢な射の像が空でない開集合を含むこと）を相対 Noether 正規化で示す。

この定理は「像が閉じている」とは述べない。有限型射の像は開でも閉でもないことがあるが、局所閉集合の有限合併という有限な記述は失われない。これは、多項式で定義された点をいくつかの変数を忘れて射影したとき、等式だけでは記述できなくなっても、等式と不等式の有限な組合せでは記述できるという消去理論の幾何学的な形である。
より一般に、準コンパクトかつ局所有限表示な射は局所構成可能集合を局所構成可能集合へ送る。これは Stacks054K Theorem 29.23.3（Tag 054K）の形であり、この記事では証明しない。Noetherスキームの間では有限型射は有限表示射であり、上の定理はこの一般形からも従う。この記事ではNoether版を、以下で独立に証明する。
アフィン有限表示版には、有限個の生成元を一つずつ加える因子分解と、係数環を閉部分と主開部分に分ける帰納法を用いる別証明もある。これは Stacks00FE Theorem 10.29.10（Tag 00FE）に記載されている。

証明の二つの準備

Noether空間での判定法

証明の位相的な部分には、構成可能集合(位相) の補題「既約閉集合による構成可能性の判定」を使う。すなわち、Noether 空間 $T$ の部分集合 $E$ について、次は同値である。

$E$ は構成可能である。
任意の既約閉集合 $Z\subset T$ に対し、$E\cap Z$ が $Z$ で稠密ならば、$E\cap Z$ は $Z$ の空でない開集合を含む。
2 から 1 を導く部分は、閉集合に関する Noether 帰納法である。稠密な部分が空でない開集合 $U$ を含むことを先に示し、その後で真の閉部分集合 $Z\setminus U$ に帰納法の仮定を適用する。したがって Chevalley の定理を示すには、像が既約閉集合で稠密なとき、その生成点の近傍を丸ごと含むことを示せばよい。以下の二つの主張がその代数的な部分である。

優勢射の像が開集合を含むこと

アフィン整スキーム上の生成点近傍

$A\hookrightarrow B$ を整域の単射で、$B$ を有限型 $A$-代数とする。このとき、ある $0\neq a\in A$ が存在して
$$ D(a)\subset\operatorname{Im}\bigl(\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A\bigr) $$
となる。

相対Noether正規化 Stacks07NA Lemma 10.115.7 により、ある整数 $d\geq0$、$B$ の部分 $A$-代数 $B'$、および $0\neq a\in A$ が存在して、単射の列
$$ A\longrightarrow A[y_1,\ldots,y_d]\longrightarrow B'\longrightarrow B $$
を得る。ここで $B'$ は多項式環 $A[y_1,\ldots,y_d]$ 上有限であり、局所化後には $B'_a\cong B_a$ である。
有限な単射は整拡大であり、局所化 $A_a[y_1,\ldots,y_d]\to B'_a$ も有限な単射なので、lying-over Stacks00GQ Lemma 10.36.17 により
$$ \operatorname{Spec}B'_a\longrightarrow \operatorname{Spec}A_a[y_1,\ldots,y_d] $$
は全射である。一方、任意の素イデアル $\mathfrak p\subset A_a$ に対して、多項式環の素イデアル $\mathfrak p A_a[y_1,\ldots,y_d]$ は $\mathfrak p$ の上にある（剰余環は整域 $(A_a/\mathfrak p)[y_1,\ldots,y_d]$ であり、$A_a$ との交わりは $\mathfrak p$ である）。従って
$$ \operatorname{Spec}A_a[y_1,\ldots,y_d]\longrightarrow\operatorname{Spec}A_a $$
も全射である。$B'_a\cong B_a$ を用いると、合成 $\operatorname{Spec}B_a\to\operatorname{Spec}A_a$ が全射である。$\operatorname{Spec}A_a$ は $\operatorname{Spec}A$ の開集合 $D(a)$ と同一視され、$\operatorname{Spec}B_a\subset\operatorname{Spec}B$ だから主張を得る。$\square$

有限型代数 $B$ の有限個の生成元は、相対Noether正規化により「多項式環」と「その上の有限な整拡大」へ同時に分けて処理される。前者の上では各点の上に点があることが明らかで、後者の上では lying-over が効く。$a$ を掛けて局所化するのは、一般の点では正規化が成り立たないためである。

優勢有限型射の像は生成点近傍を含む

$X,Y$ を既約なNoetherスキームとし、$f\colon X\to Y$ を優勢な有限型射とする。このとき $f(X)$ は $Y$ の空でない開集合を含む。

$Y$ の空でないアフィン開集合 $V$ を取る。優勢性により $f(X)$ は $Y$ で稠密だから $f(X)\cap V\neq\emptyset$、すなわち $f^{-1}(V)$ は空でない。有限型射は準コンパクトなので、$f^{-1}(V)$ は有限個の空でないアフィン開集合 $U_1,\ldots,U_r$ で覆われる。$f(X)\cap V=f(f^{-1}(V))$ は $V$ で稠密だから、$V$ における閉包について
$$ V=\overline{f(f^{-1}(V))} =\bigcup_{i=1}^r\overline{f(U_i)} $$
であり、$V$ は既約だから、ある $i$ について $f(U_i)$ は $V$ で稠密である。
$X,Y$ を被約化しても基礎位相と像は変わらないので、$X,Y$ は整スキームとしてよい。すると $U_i=\operatorname{Spec}B$、$V=\operatorname{Spec}A$ は整域のスペクトルであり、$f$ が有限型なので $B$ は有限型 $A$-代数である。像の閉包は環準同型 $A\to B$ の核の零点集合 $V(\ker)$ なので、稠密性は核が $0$ であることと同値である。lem-chevalley-affine-generic-open により、$f(U_i)$ はある空でない主開集合 $D(a)\subset V$ を含む。従って $f(X)$ も $Y$ の空でない開集合を含む。$\square$

Chevalleyの定理の証明

Noether空間の構成可能集合は有限個の局所閉集合の合併である。各局所閉集合には被約な局所閉部分スキームの構造を入れられ、その $X$ への射は有限型であり、Noether スキームからの有限型射との合成も有限型である。像は有限合併と両立するから、$C=X$ の場合、すなわち有限型射の像 $f(X)$ が構成可能であることを示せば十分である。
$E=f(X)$ とおく。判定法を適用するため、既約閉集合 $Z\subset Y$ で $E\cap Z$ が $Z$ に稠密なものを任意に取る。基礎位相だけを考えるので $Z$ には被約閉部分スキームの構造を入れる。基底変換
$$ X_Z=X\times_Y Z\longrightarrow Z $$
は有限型であり、$X_Z$ はNoetherスキームである。その像は集合として $E\cap Z$ に等しい。$X_Z$ の有限個の既約成分を $T_1,\ldots,T_m$ とすると
$$ E\cap Z=\bigcup_{i=1}^m f_Z(T_i) $$
である。この合併は $Z$ で稠密であり $Z$ は既約だから、ある $i$ について $f_Z(T_i)$ の閉包は $Z$ である。
$T_i$ を被約化すると、$T_i\to Z$ は既約なNoetherスキーム間の優勢有限型射になる。prop-chevalley-dominant-open により、その像は $Z$ の空でない開集合を含む。この開集合は $E\cap Z$ に含まれる。従って $E$ は判定法の条件2を満たし、$Y$ の構成可能集合である。
最初の帰着へ戻ると、$C$ の各局所閉成分の像は構成可能であり、その有限合併 $f(C)$ も構成可能である。$\square$

証明の流れをまとめると、位相的な Noether 帰納法が「どの既約閉集合でも、稠密なら生成点の近傍を含む」ことへ問題を落とし、基底変換と既約成分への分解が「優勢な射の像」へ落とし、相対 Noether 正規化と lying-over がその代数的な核心を処理する。

系と逆向きの主張

像は閉包の稠密な開集合を含む

$X,Y$ をNoetherスキーム、$f\colon X\to Y$ を有限型射とする。このとき像 $f(X)$ は、その閉包 $\overline{f(X)}$ の開集合であって $\overline{f(X)}$ で稠密なものを含む。

定理「Chevalleyの定理（Noether版）」により $f(X)$ は $|Y|$ の構成可能集合である。$|Y|$ は Noether 空間なので、構成可能集合(位相) の命題「閉包の稠密な開集合を含む」を $E=f(X)$ に適用すればよい。$\square$

特に $f$ が優勢で $Y$ が既約なら、$f(X)$ は $Y$ の空でない開集合を含む。これは上の命題「優勢有限型射の像は生成点近傍を含む」を、既約でない $X$ にも広げたものである。
逆向きに、Noether 環のスペクトルの構成可能集合は、すべて有限型射の像として現れる。

構成可能集合は有限型射の像

$R$ を Noether 環とし、$T\subset\operatorname{Spec}R$ とする。$T$ が構成可能であることと、ある有限生成 $R$-代数 $S$ について $T$ が $\operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}R$ の像になることは同値である。

$T$ がそのような像なら、$\operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}R$ は Noether スキームの間の有限型射なので、定理「Chevalleyの定理（Noether版）」により $T$ は構成可能である。
逆に $T$ を構成可能とすると、$T$ は有限個の局所閉集合 $U\cap V(I)$（$U$ は開集合、$I$ はイデアル）の合併である。$R$ は Noether 環なので $\operatorname{Spec}R\setminus U=V(J)$ となるイデアル $J$ は有限生成であり、$J=(f_1,\ldots,f_s)$ とすれば $U=D(f_1)\cup\cdots\cup D(f_s)$ である。したがって $T$ は $D(f)\cap V(I)$ の形の集合の有限合併である。
$D(f)\cap V(I)$ は $\operatorname{Spec}(R/I)_f\to\operatorname{Spec}R$ の像である。実際、$(R/I)_f$ の素イデアルは、$I$ を含み $f$ を含まない $R$ の素イデアル $\mathfrak p$ と一対一に対応し（Stacks00E5 Lemma 10.17.7 と局所化の素イデアルの対応）、$\mathfrak p$ へ写る。$(R/I)_f=R[x]/(I,fx-1)$ は有限生成 $R$-代数である。
$T=\bigcup_{j=1}^m\bigl(D(f_j)\cap V(I_j)\bigr)$ と書き、$S:=\prod_{j=1}^m(R/I_j)_{f_j}$ とおく。有限個の環の直積のスペクトルは各成分のスペクトルの直和であり（Stacks00ED Lemma 10.21.2）、$S$ は各成分の生成元と冪等元 $e_j$ で生成される有限生成 $R$-代数である。よって $\operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}R$ の像は $T$ である。$\square$

一般の環 $R$ では、同じ議論で「構成可能集合は有限表示 $R$-代数による像である」ことが示される（Stacks00F8 Lemma 10.29.4）。Chevalley の定理と合わせると、Noether 環のスペクトルの構成可能集合は、ちょうど有限型の代数で「パラメータを消去して得られる集合」である。

例と反例

開でも閉でもない像

$k$ を代数閉な無限体とし、
$$ f\colon\mathbb A_k^2\longrightarrow\mathbb A_k^2, \qquad (x,y)\longmapsto(x,xy) $$
を考える。標的の座標を $(u,v)$ とすると
$$ f(\mathbb A_k^2)=D(u)\cup\{(0,0)\}. $$
実際、$u\neq0$ なら $(u,v)=f(u,v/u)$ であり、$u=0$ の像は $(0,0)$ だけである。この像は主開集合と閉点の合併なので構成可能である。一方、$D(u)$ を含むため閉包は平面全体だが平面全体ではないので閉でない。また原点を含むが、原点のどのZariski開近傍も直線 $u=0$ 上の原点以外の点を含むため、開でもない。Chevalleyの定理の結論が「開」や「閉」ではなく「構成可能」である理由を示す例である。

上の等式は閉点について述べたものだが、スキームの点全体でも同じである。直線 $u=0$ の生成点 $\eta$ の上のファイバーは、$u=0$ から $x=0$、したがって $v=xy=0$ を要求するが、剰余体 $\kappa(\eta)=k(v)$ では $v\neq0$ なので空である。

双曲線の射影

$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy-1)$、$Y=\mathbb A^1_k=\operatorname{Spec}k[x]$ とし、$f\colon X\to Y$ を $x$ 座標への射影とする。このとき $f(X)=D(x)$ であり、像は開だが閉でない。

$Y$ の点 $\mathfrak p$ が像に入ることは、ファイバー $k[x,y]/(xy-1)\otimes_{k[x]}\kappa(\mathfrak p)=\kappa(\mathfrak p)[y]/(\bar xy-1)$ が零環でないことと同値である。$\bar x\neq0$ ならこれは $\kappa(\mathfrak p)$ と同型で零環でなく、$\bar x=0$ なら $-1=0$ となって零環である。$\bar x\neq0$ は $x\notin\mathfrak p$、すなわち $\mathfrak p\in D(x)$ を意味する。$D(x)$ は空でない開集合で $Y$ で稠密だが $Y$ 全体ではないので閉でない。$\square$

代数的には、方程式 $xy=1$ から $y$ を消去すると「$x\neq0$」という不等式が残る。等式だけでは像を書けないことが、構成可能集合という言葉が必要な理由である。

有限射の像

有限射は固有射であり（Stacks01WN Lemma 29.45.11）、特に閉写像である。従って有限射 $f\colon X\to Y$ では、閉集合の像は閉集合であり、特に構成可能である。Chevalleyの定理は、有限射より広い有限型射に対し、閉性を構成可能性へ弱めることで像を制御している。双曲線の射影は有限型だが有限ではなく（$k[x,y]/(xy-1)=k[x,x^{-1}]$ は $k[x]$ 上有限生成加群でない）、実際に像が閉でない。

以下は結論の限界を示す例である。最初の直和の例は、局所 Noether スキーム間の局所有限型射で準コンパクト性が欠ける例であり、Noether 版の仮定を一つだけ外した例ではない。

外す条件	反例	成り立たなくなること
局所有限型射の準コンパクト性（定義域は局所 Noether）	$\coprod_{n\ge0}\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k[t]$（標数 $0$、第 $n$ 成分を $t=n$ へ）	像は構成可能である
射の有限型性	$\operatorname{Spec}\mathbb Q\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$	像は構成可能である
標的の Noether 性（有限型は保つ）	$\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k[x_1,x_2,\ldots]$（原点）	像は構成可能である

反例：準コンパクト性を外す

$k$ を標数 $0$ の体、$Y=\operatorname{Spec}k[t]$ とし、
$$ X=\coprod_{n\geq0}\operatorname{Spec}k $$
の第 $n$ 成分を閉点 $(t-n)$ へ送る射 $f\colon X\to Y$ を取る。各成分は Noether スキームで、その上の射は有限型なので、$X$ は局所 Noether、$f$ は局所有限型である。$Y$ は準コンパクトだが $X=f^{-1}(Y)$ は無限個の開集合の非交和なので準コンパクトでなく、$f$ は準コンパクトでない。従って $X$ は Noether スキームではなく、$f$ は有限型でない。像
$$ E=\{(t-n)\mid n\geq0\} $$
は $Y$ で稠密である。実際、$E$ を含む閉集合が $V(g)$ なら、多項式 $g$ は無限個の相異なる元 $n\in k$ で消えるため $g=0$ である。しかし $E$ は $Y$ の空でない開集合を含まない。どの空でない開集合も生成点 $(0)$ を含む一方、$(0)\notin E$ だからである。判定法（$Z=Y$）により $E$ は構成可能でない。

反例：有限型性を外す

$f\colon\operatorname{Spec}\mathbb Q\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ を包含 $\mathbb Z\to\mathbb Q$ から来る射とする。両辺は Noether スキームで、$f$ はアフィンなので準コンパクトである。$\mathbb Q$ の唯一の素イデアル $(0)$ は $\mathbb Z$ の $(0)$ に写るので、像は $\{(0)\}$ である。構成可能集合(位相) の例「整数環のスペクトル」により $\{(0)\}$ は構成可能でない。実際 $f$ は有限型でない。$\mathbb Q=\mathbb Z[a_1/b_1,\ldots,a_n/b_n]$ と書けたとすると、右辺の元の分母の素因数は $b_1\cdots b_n$ の素因数に限られるが、$b_1\cdots b_n$ を割らない素数 $p$ について $1/p\in\mathbb Q$ であり、矛盾する。

反例：Noether性を外す

$k$ を体、$R=k[x_1,x_2,\ldots]$ を可算無限個の変数の多項式環、$\mathfrak m=(x_1,x_2,\ldots)$ とする。全射 $R\to R/\mathfrak m=k$ から来る射 $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}R$ は有限型（閉埋め込み）で準コンパクトだが、像 $\{\mathfrak m\}$ は $\operatorname{Spec}R$ の構成可能集合でない。

$\{\mathfrak m\}$ が構成可能なら、補集合 $U=\operatorname{Spec}R\setminus\{\mathfrak m\}$ も構成可能である。$\operatorname{Spec}R$ は準コンパクトなので、構成可能集合(位相) の命題「構成可能集合は遡コンパクト」により $U$ は準コンパクトになる。一方 $\mathfrak m$ は極大イデアルなので $V(\mathfrak m)=\{\mathfrak m\}$ であり、$U=\bigcup_{i\ge1}D(x_i)$ である。$\mathfrak p_n:=(x_1,\ldots,x_n)$ は $R/\mathfrak p_n\cong k[x_{n+1},x_{n+2},\ldots]$ が整域なので素イデアルで、$x_{n+1}\notin\mathfrak p_n$ だから $\mathfrak p_n\in U$ だが、$\mathfrak p_n\notin D(x_1)\cup\cdots\cup D(x_n)$ である。有限部分被覆はある $n$ について $D(x_1)\cup\cdots\cup D(x_n)$ に含まれるので $U$ を覆わず、$U$ は準コンパクトでない。これは矛盾である。$\square$

この射は有限型だが有限表示ではない（$\mathfrak m$ は有限生成でない）。一般形の定理で仮定が「局所有限表示」になっているのはこのためである。

仮定と一般形

Noether版: $X,Y$ がNoether、$f$ が有限型なら、構成可能集合の像は構成可能である。この記事で完全証明した形である。
一般形: $f$ が準コンパクトかつ局所有限表示なら、局所構成可能集合の像は局所構成可能である（Stacks054K）。
有限表示と有限型の差: 非Noether基底上では有限型代数の関係式が有限生成とは限らないため、有限型と有限表示は一致しない。上の反例「反例：Noether性を外す」のとおり、有限型だけを残した主張は一般には成り立たない。
有限射の場合: 像は構成可能であるだけでなく閉である。
逆向き: Noether 環のスペクトルの構成可能集合は、有限生成代数のスペクトルからの射の像としてすべて現れる。