八元数
概要
八元数（octonion）とは、四元数の組 $(a,b)$ に $(a,b)(c,d)=(ac-\bar db,\ da+b\bar c)$ で積を入れた実 8 次元の多元環 $\mathbb O$ の元である。積は可換でも結合的でもないが、絶対値が積を保ち（$|xy|=|x||y|$）、2 つの元から生成される部分は結合的（交代性）で、$0$ でない元で割り算ができる。単位元をもち絶対値が積を保つ有限次元の実多元環は実数・複素数・四元数・八元数に限る（Hurwitz の定理）。単位球面 $S^7$ の平行化、7 次元のベクトル積、Hopf 束 $S^7\to S^{15}\to S^8$、例外 Lie 群 $G_2$ に現れる。
複素数は実数の組 $(a,b)$ に掛け算を入れたもの、四元数は複素数の組に掛け算を入れたものとみなせる。同じ手順をもう一度、四元数の組に当てはめると、8 次元の 八元数（octonion）が得られる。八元数の積は可換でも結合的でもないが、絶対値は積を保ち（$|xy|=|x||y|$）、$0$ でない元で割り算ができる。単位元をもち絶対値が積を保つ有限次元の実多元環は、実数・複素数・四元数・八元数の 4 つしかない（Hurwitz の定理）。八元数はその最後のものであり、7 次元のベクトル積、7 次元球面 $S^7$ の平行化、Hopf 束 $S^7\to S^{15}\to S^8$、例外型の Lie 群 $G_2$ などに現れる。
この記事では、四元数の組として八元数を定義し、絶対値が積を保つこと、結合法則の弱い形（交代性）が成り立つこと、割り算ができることを完全に証明する。応用として、$S^7$ の平行化と 7 次元のベクトル積を導く。分類定理や例外 Lie 群との関係は引用にとどめる。
定義
四元数 の記事の記号に従い、$\mathbb H$ を四元数の全体、$\bar q$ を共役、$|q|$ を絶対値、$\mathrm{Re}\,q$ を実部とする。$\mathbb H$ は結合的で、$\overline{pq}=\bar q\bar p$、$q\bar q=\bar qq=|q|^2$、$|pq|=|p||q|$ をみたす（四元数 の定理「四元数は斜体である」）。$\mathrm{Re}(p\bar q)$ は $\mathbb H\cong\mathbb R^4$ の標準内積であり、積の公式 $pq=(ab-v\cdot w)+(\cdots)$（$p=a+v$、$q=b+w$）から $\mathrm{Re}(pq)=\mathrm{Re}(qp)$ である（同記事の命題「スカラー部とベクトル部による積の公式」）。
実 8 次元ベクトル空間 $\mathbb O:=\mathbb H\times\mathbb H$ に、双線形な積
$$
(a,b)(c,d):=(ac-\bar d\,b,\ da+b\,\bar c)\qquad(a,b,c,d\in\mathbb H)
$$
を入れたものを 八元数（octonion、Cayley 数）の多元環という。$x=(a,b)$ について、共役を $\bar x:=(\bar a,-b)$、絶対値を $|x|:=\sqrt{|a|^2+|b|^2}$、実部を $\mathrm{Re}\,x:=\mathrm{Re}\,a$ と定める。
$|x|$ は $\mathbb O=\mathbb R^8$ の標準のノルムで、対応する内積は $\langle(a,b),(c,d)\rangle=\mathrm{Re}(a\bar c)+\mathrm{Re}(b\bar d)$ である。$\mathrm{Re}\,x=\langle x,1\rangle$ である。
- $1:=(1,0)$ は両側の単位元である：$(1,0)(c,d)=(c,d)$、$(a,b)(1,0)=(a,b)$。
- $a\mapsto(a,0)$ により $\mathbb H\subset\mathbb O$ とみなせる。$(a,0)(c,0)=(ac,0)$ なので積も一致する。実数 $r$ は $(r,0)(c,d)=(rc,dr)=(c,d)(r,0)$ をみたし、スカラー倍と一致する。
- $\ell:=(0,1)$ とおくと $(a,0)\ell=(0,a)$ なので、$(a,b)=a+b\ell$ と書ける。
同じ式を $\mathbb R$ の組に当てはめると $\mathbb C$、$\mathbb C$ の組に当てはめると $\mathbb H$ が得られる。この倍々の構成を Cayley–Dickson 構成という。共役の置き方が違う式を使う文献もある（Bae02 §2.2, pp. 8–9）。
基底と掛け算の表
$e_0:=1$、$e_1:=i$、$e_2:=j$、$e_3:=k$、$e_4:=\ell$、$e_5:=i\ell$、$e_6:=j\ell$、$e_7:=k\ell$ とおくと、$e_0,\dots,e_7$ は $\mathbb O$ の正規直交基底である。定義の式から計算すると、$e_a^2=-1$（$1\le a\le7$）であり、$a\ne b$ のとき $e_ae_b=-e_be_a=\pm e_c$ となる。$e_ae_b=e_c$ となる 3 つ組 $(a,b,c)$ は
$$
(1,2,3),\ (1,4,5),\ (1,7,6),\ (2,4,6),\ (2,5,7),\ (3,4,7),\ (3,6,5)
$$
とその巡回置換で尽くされ、順序を逆にすると符号が変わる。たとえば $e_2e_4=(j,0)(0,1)=(0,j)=e_6$、$e_4e_2=(0,1)(j,0)=(0,\bar j)=-e_6$ である。7 つの 3 つ組は、7 点からなる Fano 平面（$\mathbb F_2$ 上の射影平面）の 7 本の直線にあたる（Bae02 §2.1, pp. 6–7 は別の番号付けで同じ形の図を与える）。
| $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | $e_4$ | $e_5$ | $e_6$ | $e_7$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $e_1$ | $-1$ | $e_3$ | $-e_2$ | $e_5$ | $-e_4$ | $-e_7$ | $e_6$ |
| $e_2$ | $-e_3$ | $-1$ | $e_1$ | $e_6$ | $e_7$ | $-e_4$ | $-e_5$ |
| $e_3$ | $e_2$ | $-e_1$ | $-1$ | $e_7$ | $-e_6$ | $e_5$ | $-e_4$ |
| $e_4$ | $-e_5$ | $-e_6$ | $-e_7$ | $-1$ | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ |
| $e_5$ | $e_4$ | $-e_7$ | $e_6$ | $-e_1$ | $-1$ | $-e_3$ | $e_2$ |
| $e_6$ | $e_7$ | $e_4$ | $-e_5$ | $-e_2$ | $e_3$ | $-1$ | $-e_1$ |
| $e_7$ | $-e_6$ | $e_5$ | $e_4$ | $-e_3$ | $-e_2$ | $e_1$ | $-1$ |
（行の元 × 列の元の値。）
主定理
すべての $x,y\in\mathbb O$ について $|xy|=|x||y|$ である。
$x=(a,b)$、$y=(c,d)$ とする。$\mathbb H$ の標準内積は $\langle p,q\rangle=\mathrm{Re}(p\bar q)$ なので、$|p\pm q|^2=|p|^2+|q|^2\pm2\,\mathrm{Re}(p\bar q)$ である。$\overline{\bar db}=\bar bd$、$\overline{b\bar c}=c\bar b$ と $|pq|=|p||q|$ を使うと
$$
|ac-\bar db|^2=|a|^2|c|^2+|b|^2|d|^2-2\,\mathrm{Re}(ac\bar bd),\qquad |da+b\bar c|^2=|a|^2|d|^2+|b|^2|c|^2+2\,\mathrm{Re}(dac\bar b)
$$
である。$\mathbb H$ は結合的で $\mathrm{Re}(pq)=\mathrm{Re}(qp)$ なので、$p=d$、$q=ac\bar b$ として $\mathrm{Re}(d\,ac\bar b)=\mathrm{Re}(ac\bar b\,d)$ となり、交差項は打ち消し合う。よって
$$
|xy|^2=|a|^2|c|^2+|b|^2|d|^2+|a|^2|d|^2+|b|^2|c|^2=(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2)=|x|^2|y|^2
$$
である。$\blacksquare$
絶対値が積を保つことだけから、内積と積の関係がいくつも出る。次の補題は、単位元をもち $|xy|=|x||y|$ をみたす有限次元の実多元環ならどれでも同じ証明で成り立つ。
$x,y,z,w\in\mathbb O$ について次が成り立つ。
- $\langle xy,xz\rangle=|x|^2\langle y,z\rangle$、$\langle yx,zx\rangle=\langle y,z\rangle|x|^2$。
- $\langle xy,wz\rangle+\langle wy,xz\rangle=2\langle x,w\rangle\langle y,z\rangle$。
- $\bar x=2\langle x,1\rangle1-x$ であり、$\langle xy,z\rangle=\langle y,\bar xz\rangle$、$\langle yx,z\rangle=\langle y,z\bar x\rangle$。
1：thm-oct-norm より $|x(y+z)|^2=|x|^2|y+z|^2$ である。積の双線形性で左辺を展開すると $|xy|^2+|xz|^2+2\langle xy,xz\rangle$、右辺は $|x|^2(|y|^2+|z|^2+2\langle y,z\rangle)$ であり、$|xy|=|x||y|$、$|xz|=|x||z|$ を引くと第 1 式を得る。第 2 式は $|(y+z)x|^2=|y+z|^2|x|^2$ から同様に得る。
2：1 の第 1 式で $x$ を $x+w$ に替えると $\langle(x+w)y,(x+w)z\rangle=|x+w|^2\langle y,z\rangle$ である。両辺を展開し、1 の第 1 式（$x$ の場合と $w$ の場合）を引くと $\langle xy,wz\rangle+\langle wy,xz\rangle=2\langle x,w\rangle\langle y,z\rangle$ を得る。
3：$x=(a,b)$ について $\langle x,1\rangle=\mathrm{Re}\,a$ であり、$\mathbb H$ では $a+\bar a=2\,\mathrm{Re}\,a$ なので $2\langle x,1\rangle1-x=(\bar a,-b)=\bar x$ である。2 で $w=1$ とし $y,z$ の役を入れ替えると $\langle xy,z\rangle+\langle xz,y\rangle=2\langle x,1\rangle\langle y,z\rangle$ となり、
$$
\langle xy,z\rangle=\langle y,\ 2\langle x,1\rangle z-xz\rangle=\langle y,\bar xz\rangle
$$
である。1 の第 2 式で $x$ を $x+w$ に替えて同じく偏極すると $\langle yx,zw\rangle+\langle yw,zx\rangle=2\langle y,z\rangle\langle x,w\rangle$ を得る。$w=1$ とおけば $\langle yx,z\rangle=\langle y,2\langle x,1\rangle z-zx\rangle=\langle y,z\bar x\rangle$ である。$\blacksquare$
$x,y\in\mathbb O$ について次が成り立つ。
- $\bar x(xy)=|x|^2y=(yx)\bar x$。とくに $x\bar x=\bar xx=|x|^2$ である。
- （交代性）$x(xy)=(xx)y$、$(yx)x=y(xx)$。
- $x\neq0$ なら、$y\mapsto xy$ と $y\mapsto yx$ は $\mathbb O$ の線形同型であり、$x^{-1}:=\bar x/|x|^2$ について $x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}$ が成り立つ。とくに $\mathbb O$ には零因子がない（$xy=0$ なら $x=0$ または $y=0$）。
1：任意の $z$ について、lem-oct-inner の 3 を $\bar x$ に使い（$\bar{\bar x}=x$）、続けて 1 を使うと
$$
\langle\bar x(xy),z\rangle=\langle xy,xz\rangle=|x|^2\langle y,z\rangle
$$
である。内積は非退化なので $\bar x(xy)=|x|^2y$ である。$\langle(yx)\bar x,z\rangle=\langle yx,zx\rangle=|x|^2\langle y,z\rangle$ から $(yx)\bar x=|x|^2y$ も同様である。$y=1$ とおくと $\bar xx=x\bar x=|x|^2$ である。
2：$\bar x=2\langle x,1\rangle-x$ を 1 の $\bar x(xy)=|x|^2y$ に代入すると
$$
x(xy)=2\langle x,1\rangle\,xy-|x|^2y
$$
である。$y=1$ とおくと $xx=2\langle x,1\rangle x-|x|^2$ であり、右から $y$ を掛けると $(xx)y=2\langle x,1\rangle\,xy-|x|^2y$ となる。2 式を比べて $x(xy)=(xx)y$ を得る。$(yx)\bar x=|x|^2y$ から同様に $(yx)x=y(xx)$ を得る。
3：thm-oct-norm により $|xy|=|x||y|$ なので、$x\neq0$ なら $y\mapsto xy$ は単射な線形写像であり、$\mathbb O$ は有限次元なので同型である。$y\mapsto yx$ も同じである。$x^{-1}(xy)=\bar x(xy)/|x|^2=y$、$(yx)x^{-1}=y$ は 1 による。$\blacksquare$
結合法則は成り立たない。$x=i=(i,0)$、$y=j=(j,0)$、$z=\ell=(0,1)$ とすると
$$
(xy)z=(k,0)(0,1)=(0,k),\qquad x(yz)=(i,0)(0,j)=(0,ji)=(0,-k)
$$
であり、$(ij)\ell=-i(j\ell)$ となる。可換法則も成り立たない（$ij=k=-ji$）。
交代性は「2 つの元から生成される部分多元環は結合的である」ことと同値である（Artin の定理。Bae02 §1.1, p. 4。この記事では証明しない）。上の例は 3 つの元 $i,j,\ell$ を使っており、交代性と矛盾しない。とくに 1 つの元 $x$ の冪 $x^n$ は括弧の付け方によらず定まる。
単位八元数と 7 次元球面
絶対値 $1$ の八元数の全体 $S^7=\{x\in\mathbb O\mid|x|=1\}$ は、thm-oct-norm により積で閉じている。積は多項式で書けるので連続であり、$1\in S^7$ は両側の単位元である。したがって $S^7$ は（単位元を厳密にもつ）H 空間である（Hat02 §3.C, pp. 281–282）。しかし $(e_1e_2)e_4=-e_1(e_2e_4)$ なので、この積で $S^7$ は群にならない。$S^1\subset\mathbb C$ と $S^3\subset\mathbb H$ は同じ積で群になる。$(-x)y=-(xy)=x(-y)$ なので、この積は $\pm$ の同一視と両立し、$\mathbb{RP}^7=S^7/\{\pm1\}$ にも連続な積を誘導する。
$x\in S^7$ と $1\le a\le7$ について $v_a(x):=e_ax$ とおく。$v_1(x),\dots,v_7(x)$ は $x$ における $S^7$ の接空間 $\{v\in\mathbb O\mid\langle v,x\rangle=0\}$ の正規直交基底であり、$x$ について連続である。したがって $S^7$ の接束は自明である。
lem-oct-inner の 1 の第 2 式により、$\langle e_ax,e_bx\rangle=\langle e_a,e_b\rangle|x|^2=\delta_{ab}$、$\langle e_ax,x\rangle=\langle e_ax,1x\rangle=\langle e_a,1\rangle|x|^2=0$ である。よって 7 つのベクトルは接空間（7 次元）の中で正規直交であり、基底をなす。積は連続なので $v_a$ は連続なベクトル場である。$\blacksquare$
同じ構成を $\mathbb C$、$\mathbb H$ で行うと $S^1$、$S^3$ の平行化が得られる。球面 $S^n$ が平行化可能なのは $n=0,1,3,7$ に限る（n次元球面、Hat02 §4.B, p. 428。この記事では証明しない）。
虚部と 7 次元のベクトル積
実部が $0$ の八元数、すなわち $1$ に直交する元の全体を $\mathrm{Im}\,\mathbb O\cong\mathbb R^7$ と書く。$u\in\mathrm{Im}\,\mathbb O$ なら $\bar u=-u$ である。
$u,v\in\mathrm{Im}\,\mathbb O$ について
$$
uv=-\langle u,v\rangle+u\times v,\qquad u\times v:=\tfrac12(uv-vu)\in\mathrm{Im}\,\mathbb O
$$
と書け、$u\times v$ は $u$ と $v$ に直交し、$|u\times v|^2=|u|^2|v|^2-\langle u,v\rangle^2$ をみたす。
lem-oct-inner の 3 により $\mathrm{Re}(uv)=\langle uv,1\rangle=\langle v,\bar u\rangle=-\langle u,v\rangle$ である。$\mathrm{Re}(vu)$ も同じ値である。$w\in\mathrm{Im}\,\mathbb O$ について $ww=-w\bar w=-|w|^2$（thm-oct-alternative の 1）なので、$(u+v)^2$ を展開すると $uv+vu=-|u+v|^2+|u|^2+|v|^2=-2\langle u,v\rangle$ である。よって $uv$ の虚部を $c$ とおくと、$vu$ の虚部は $-c$ であり、$c=\frac12(uv-vu)=u\times v$、$uv=-\langle u,v\rangle+u\times v$ である。lem-oct-inner の 1 から $\langle uv,u\rangle=\langle uv,u1\rangle=|u|^2\langle v,1\rangle=0$、$\langle uv,v\rangle=\langle uv,1v\rangle=\langle u,1\rangle|v|^2=0$ なので、$\langle u\times v,u\rangle=\langle uv,u\rangle+\langle u,v\rangle\langle1,u\rangle=0$、同様に $\langle u\times v,v\rangle=0$ である。最後に $|u|^2|v|^2=|uv|^2=\langle u,v\rangle^2+|u\times v|^2$ である。$\blacksquare$
これは ベクトル積 の定理「双線形なベクトル積が存在する次元」の $n=7$ の場合の存在にあたる。$\mathbb H$ の純部で同じことをすると 3 次元の通常のベクトル積が得られる（四元数 の命題「スカラー部とベクトル部による積の公式」）。
分類と位置づけ
ここからは引用である。この節の主張はこの記事では証明しない。
- Hurwitz の定理。 単位元をもち $|xy|=|x||y|$ をみたす有限次元の実多元環は、$\mathbb R$、$\mathbb C$、$\mathbb H$、$\mathbb O$ に限る（Bae02 §1.1 Theorem 1, p. 5）。単位元をもつ交代的な実多元体も同じ 4 つに限る（同 Theorem 2）。零因子のない有限次元の実多元環の次元は、単位元を仮定しなくても $1,2,4,8$ に限る（Kervaire、Bott–Milnor。Hat02 p. 173・p. 428。単位元をもつ場合は Bae02 Theorem 3, p. 5）。
- Hopf 束と射影平面。 $\mathbb O^2$ の単位球面 $S^{15}$ から $S^8$ への Hopf 写像が定まり、$S^7\to S^{15}\to S^8$ はファイバー束になる（Hat02 Example 4.47, p. 378、Hopf束）。$S^8$ にこの写像で 16 胞体を貼ると八元数射影平面 $\mathbb{OP}^2$ が得られるが、結合法則がないため $n\ge3$ の $\mathbb{OP}^n$ は同じ方法では作れない（同 p. 379）。$\mathbb{OP}^2$ の整数係数のコホモロジー環は $\mathbb Z[\alpha]/(\alpha^3)$（$|\alpha|=8$）で、その貼り付け写像の Hopf 不変量は $\pm1$ である（同 p. 427）。
- 例外 Lie 群。 $\mathbb O$ の多元環としての自己同型群は、例外型の単純 Lie 群のうち最小の $G_2$ である（Bae02 §4.1, p. 35）。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 積の結合法則 | $\mathbb O$ の単位球面 $S^7$ | 絶対値 $1$ の元の全体が積で群になること（$\mathbb C$、$\mathbb H$ では成り立つ） |
| 次元が $8$ 以下であること（Cayley–Dickson 構成を $\mathbb O$ にもう一度行う） | 16 次元の多元環 $\mathbb O\times\mathbb O$ | 零因子がないこと、絶対値が積を保つこと |
| Cayley–Dickson 構成で倍にするもとの多元環の可換法則 | 可換でない $\mathbb H$ の組から作った $\mathbb O$ | 倍にした多元環が結合的になること（可換な $\mathbb C$ の組から作った $\mathbb H$ は結合的） |
- $e_1,e_2,e_4\in S^7$ について $(e_1e_2)e_4=e_3e_4=e_7$、$e_1(e_2e_4)=e_1e_6=-e_7$ である（掛け算の表）。積が結合的でない集合は群にならない。
- Cayley–Dickson の式を $\mathbb O$ の組に当てはめた 16 次元の多元環で、$x:=(e_1,e_2)$、$y:=(e_4,-e_7)$ とおく。$\overline{-e_7}=e_7$、$\overline{e_4}=-e_4$ なので、掛け算の表から
$$ xy=\bigl(e_1e_4-e_7e_2,\ (-e_7)e_1+e_2(-e_4)\bigr)=(e_5-e_5,\ e_6-e_6)=(0,0) $$
である。$x,y\neq0$ なので零因子があり、$|xy|=|x||y|$ も成り立たない（左辺 $0$、右辺 $2$）。この 16 次元の多元環にも零因子があることは Bae02 §2.2（p. 10）が述べている。 - 一般に、もとの多元環が可換かつ結合的であることは、Cayley–Dickson 構成で倍にした多元環が結合的であることと同値である（Bae02 §2.2 Proposition 3, p. 9。Baez の式は $(a,b)\mapsto(a,\bar b)$ で本記事の式に移る。この記事では証明しない）。$\mathbb C$ は可換なので、$\mathbb C$ の組から同じ式で作った $\mathbb H$ は結合的である。$\mathbb H$ は可換でないので、その組から作った $\mathbb O$ では本文の例 $(ij)\ell=-i(j\ell)$ のように結合法則が破れる。ここで破れる仮定は「もとの多元環の可換性」だけである（$\mathbb H$ 自身は結合的）。
補足
Cayley–Dickson 構成、Fano 平面による掛け算の覚え方、Hurwitz の定理、Artin の定理、$G_2$ は Bae02（§1.1, §2.1, §2.2, §4.1）にある。$S^7$ の H 空間の構造、Hopf 束、$\mathbb{OP}^2$ は Hat02 §3.C・§4.2・§4.B にある。thm-oct-norm の計算は、四元数の性質から直接組み立てたものである。lem-oct-inner・thm-oct-alternative・prop-oct-parallel・prop-oct-cross の証明は、絶対値が積を保つことだけから組み立てたものである。
関連項目
参考文献
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