Gabriel–Popescuの定理

右 $R$ 加群 $M$ に対し、完全列 $\bigoplus_JR\xrightarrow{\varphi}\bigoplus_IR\xrightarrow{\pi_0}M\to0$（表示）を 1 つ選び、$F(M):=\operatorname{coker}(\varphi_G\colon\bigoplus_JG\to\bigoplus_IG)$ とおく。余核の定義から、各 $A$ について
$$ 0\to\operatorname{Hom}(F(M),A)\to\operatorname{Hom}\Bigl(\bigoplus_IG,A\Bigr)\xrightarrow{\varphi_G^*}\operatorname{Hom}\Bigl(\bigoplus_JG,A\Bigr) $$
は完全であり、$\operatorname{Hom}_R(-,T(A))$ の左完全性から
$$ 0\to\operatorname{Hom}_R(M,T(A))\to\operatorname{Hom}_R\Bigl(\bigoplus_IR,T(A)\Bigr)\xrightarrow{\varphi^*}\operatorname{Hom}_R\Bigl(\bigoplus_JR,T(A)\Bigr) $$
も完全である。$(\star)$ により 2 つの列の右 2 項は $A$ について自然に同一視され、$\varphi_G^*$ と $\varphi^*$ が対応するので、核どうしの自然な全単射 $\Phi_{M,A}\colon\operatorname{Hom}(F(M),A)\cong\operatorname{Hom}_R(M,T(A))$ が得られる。
すなわち各 $M$ について関手 $\operatorname{Hom}_R(M,T(-))$ は $F(M)$ で表現される。$R$ 線形写像 $u\colon M\to M'$ に対し、米田の補題（系「米田埋め込み」）により、$\Phi$ を $M$ についても自然にする射 $F(u)\colon F(M)\to F(M')$ がただ一つあり、この一意性から $F$ は関手になる。よって $F$ は $T$ の左随伴である。
表示として $\bigoplus_IR$ 自身（$J=\emptyset$）をとれば $F(\bigoplus_IR)=\bigoplus_IG$ で、$\Phi$ は $(\star)$ そのものになる。このとき $F(\varphi)$ は「$\Phi$ で $\varphi$ との合成に対応する合成を与える射」として一意に決まり、上の計算から $\varphi_G$ がその性質をもつので $F(\varphi)=\varphi_G$。左随伴は余極限、とくに直和と余核を保つ（随伴関手の記事の命題「随伴による保存」）。$\blacksquare$

段 1（有限の場合）：$R$ 線形写像 $\varphi\colon R^n\to M$（$n$ は有限）について、$G^n$ の部分対象として $\ker(f^\flat\circ F(\varphi))=\ker F(\varphi)$ であることを示す。$v\colon G\to G^n$ が $f^\flat\circ F(\varphi)\circ v=0$ を満たすとする。$f^\flat\circ F(\varphi)=(f\circ\varphi)^\flat$ は $(\star)$ で $f\circ\varphi$ に対応するので、$(\star\star)$ により $f^\flat\circ F(\varphi)\circ v=f(\varphi(x_v))$ である。これが $0$ で $f$ は単射だから $\varphi(x_v)=0$。同様に $F(\varphi)=(\eta_M\circ\varphi)^\flat$ に $(\star\star)$ を使うと $F(\varphi)\circ v=\eta_M(\varphi(x_v))=0$。
こうして「$f^\flat F(\varphi)v=0$ なら $F(\varphi)v=0$」がすべての $v\colon G\to G^n$ で成り立つ。$k\colon K\to G^n$ を $f^\flat F(\varphi)$ の核とする。$F(\varphi)\circ k\neq0$ なら、$G$ は生成対象なので $F(\varphi)\circ k\circ h\neq0$ となる $h\colon G\to K$ があるが、$v:=k\circ h$ は $f^\flat F(\varphi)v=0$ を満たすので矛盾する。よって $F(\varphi)\circ k=0$、すなわち $K\subseteq\ker F(\varphi)$ で、逆の包含は明らかである。
段 2（(AB5) による極限移行）：全射 $\pi_0\colon\bigoplus_IR\to M$ を 1 つとり、$\pi:=F(\pi_0)\colon\bigoplus_IG\to F(M)$ とおく。$F$ は余核を保つので全射を全射に写し、$\pi$ はエピ射である。有限部分集合 $J\subset I$ について $\bigoplus_JG$ を $\bigoplus_IG$ の部分対象とみなすと、$\pi$ の制限は $F(\pi_0|_{R^J})$ に等しい（lem-gabriel-popescu-left-adjoint の $F(\varphi)=\varphi_G$）。段 1 を $\varphi=\pi_0|_{R^J}$ に使うと
$$ \ker(f^\flat\pi)\wedge\bigoplus_JG=\ker\bigl(f^\flat\pi|_{\bigoplus_JG}\bigr)=\ker\bigl(\pi|_{\bigoplus_JG}\bigr)=\ker\pi\wedge\bigoplus_JG . $$
部分対象の族 $(\bigoplus_JG)_J$ は有向で、その和は $\bigoplus_IG$ 全体である（Grothendieck圏の記事の命題「(AB5) なら直和はモノ射を保つ」の証明の中で示したことと同じ）。(AB5) の分配律を $B=\ker(f^\flat\pi)$ と $B=\ker\pi$ に使うと
$$ \ker(f^\flat\pi)=\bigvee_J\Bigl(\ker(f^\flat\pi)\wedge\bigoplus_JG\Bigr)=\bigvee_J\Bigl(\ker\pi\wedge\bigoplus_JG\Bigr)=\ker\pi . $$
段 3（$f^\flat$ はモノ射）：$u\colon X\to F(M)$ が $f^\flat\circ u=0$ を満たすとする。$\pi$ の $u$ に沿った引き戻し $P$ と射影 $p\colon P\to X$、$p'\colon P\to\bigoplus_IG$（$u\circ p=\pi\circ p'$）をとる。アーベル圏ではエピ射の引き戻しはエピ射なので $p$ はエピ射である（KS06 Lemma 8.3.11、p. 180）。$f^\flat\circ\pi\circ p'=f^\flat\circ u\circ p=0$ だから $p'$ は $\ker(f^\flat\pi)=\ker\pi$ を経由し、$\pi\circ p'=0$、すなわち $u\circ p=0$。$p$ はエピ射なので $u=0$。とくに $f^\flat$ の核の包含に当てれば、$f^\flat$ の核は $0$ である。$\blacksquare$

(i) $T$ は充満忠実：まず余単位 $\varepsilon_A\colon FT(A)\to A$ が同型射であることを示す。

• モノ射であること：$\varepsilon_A=(\operatorname{id}_{T(A)})^\flat$ で、$\operatorname{id}_{T(A)}$ は単射だから lem-gabriel-popescu-mono による。
• エピ射であること：$h\colon G\to A$ を任意にとり、$\lambda_h\colon R\to T(A)$ を $1\mapsto h$ で定める。$(\star)$（$I$ が 1 点）により $\lambda_h^\flat\colon F(R)=G\to A$ は $h$ に等しく、$\lambda_h=\operatorname{id}_{T(A)}\circ\lambda_h$ から $h=\lambda_h^\flat=\varepsilon_A\circ F(\lambda_h)$。よって余核への射 $q\colon A\to\operatorname{coker}\varepsilon_A$ はすべての $h\colon G\to A$ について $q\circ h=0$ を満たし、$G$ が生成対象なので $q=0$。$q$ はエピ射だから $\operatorname{coker}\varepsilon_A=0$ で、$\varepsilon_A$ はエピ射である。
  アーベル圏でモノ射かつエピ射の射は同型射なので、$\varepsilon_A$ は同型射である。
  次に、$X,Y\in\mathcal A$ について、$T$ が与える写像 $\operatorname{Hom}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_R(TX,TY)$ と全単射 $\Phi^{-1}\colon\operatorname{Hom}_R(TX,TY)\to\operatorname{Hom}(FTX,Y)$ の合成は、余単位の自然性により $g\mapsto(T(g))^\flat=\varepsilon_Y\circ FT(g)=g\circ\varepsilon_X$ である。$\varepsilon_X$ は同型射なので $g\mapsto g\circ\varepsilon_X$ は全単射であり、したがって $T$ が与える写像も全単射である。よって $T$ は充満忠実である。

(ii) $F$ は完全：$F$ は左随伴なので余核を保ち、右完全である。あとはモノ射を保つことを示せばよい。

• 自由加群の部分加群の場合：$P=\bigoplus_IR$ とその部分加群 $k\colon K\hookrightarrow P$ をとる。$R$ 線形写像 $j\colon P\to T(\bigoplus_IG)$ を $e_i\mapsto\iota_i$ で定める。$\sum_i\iota_i\circ r_i=0$（有限和）なら、$i_0$ 成分への射影 $\rho\colon\bigoplus_IG\to G$（$\rho\iota_i$ は $i=i_0$ で $\operatorname{id}$、他で $0$）を合成して $r_{i_0}=0$ となるので、$j$ は単射である。$(\star)$ により $j^\flat\colon F(P)=\bigoplus_IG\to\bigoplus_IG$ は $j^\flat\circ\iota_i=\iota_i$ を満たす射、すなわち恒等射である。lem-gabriel-popescu-mono を単射 $j\circ k$ に使うと、$(j\circ k)^\flat=j^\flat\circ F(k)=F(k)$ はモノ射である。
• 一般の場合：単射 $m\colon M'\to M$ に対し、全射 $p\colon P\to M$（$P$ は自由）をとり、$P':=p^{-1}(m(M'))$、$K:=\ker p$ とおく。$p$ の $P'$ への制限は全射 $p'\colon P'\to M'$ を与え（$m$ を通して同一視）、$m$ が単射なので $\ker p'=K$ である。2 つの短完全列 $0\to K\to P'\to M'\to0$ と $0\to K\to P\to M\to0$ の間に、$(\operatorname{id}_K,\ P'\hookrightarrow P,\ m)$ が射を与える。$F$ を施すと、右完全性と上の場合（$K\subset P$、$P'\subset P$ はどちらも自由加群の部分加群）から、行が完全な図式
  $$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & F(K) \ar[r] \ar@{=}[d] & F(P') \ar[r] \ar[d]_{F(j')} & F(M') \ar[r] \ar[d]^{F(m)} & 0 \\ 0 \ar[r] & F(K) \ar[r] & F(P) \ar[r] & F(M) \ar[r] & 0 } $$
  が得られる（$j'\colon P'\hookrightarrow P$。上の行の左端の単射性は、合成 $F(K)\to F(P')\to F(P)$ が単射であることから従う）。蛇の補題の記事の定理「蛇の補題」により $0\to\ker\operatorname{id}\to\ker F(j')\to\ker F(m)\to\operatorname{coker}\operatorname{id}$ は完全で、$\ker F(j')=0$、$\operatorname{coker}\operatorname{id}=0$ なので $\ker F(m)=0$。よって $F(m)$ はモノ射である。

商圏との同値：$\mathcal S:=\{M\mid F(M)=0\}$ は局所化する部分圏であり、$F$ は Serre 商を経由する完全関手 $\bar F\colon\mathrm{Mod}\text{-}R/\mathcal S\to\mathcal A$ を与える。$\bar F$ が忠実・本質的全射・充満であることを示す。

$G$ は生成対象であるから、Grothendieck圏の記事の定義により $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(G,-)\colon\mathcal A\to\mathbf{Ab}$ は忠実である。$T$ はこの関手に $R$ 加群としての追加構造を与えたものにすぎず、台となるアーベル群の間の写像は $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(G,-)$ が与えるものとまったく同じであるから、$T$ もまた忠実である。$\blacksquare$