複比

要点：代表を定数倍しても 2 つの成分が同じ倍率で変わること、2 つの成分がともに $0$ になるのは 3 点が一致するときだけであることを確かめ、残りは括弧を座標で計算する。

方針：括弧は行列式なので、1 次変換で行列式倍されるだけである。2 は $d$ の代表ベクトルについて 1 次式であることから、3・4 は 2 から従う。
段 1（1）。$g$ を行列で表すと、$[g v,g w]=\det(gv\ gw)=\det g\cdot[v,w]$ である。複比の 2 つの成分はどちらも括弧 2 つの積なので、ともに $(\det g)^2$ 倍になり、比は変わらない。
段 2（2）。$a=[\alpha]$、$b=[\beta]$、$c=[\gamma]$ を固定し、$\eta\in k^2$ に
$$ L(\eta)=\bigl([\alpha,\eta][\beta,\gamma],\ [\alpha,\gamma][\beta,\eta]\bigr) $$
を対応させる。括弧は各変数について 1 次なので、$L$ は $k^2$ から $k^2$ への 1 次写像である。$L(\eta)=0$ なら、$[\beta,\gamma]\ne0$、$[\alpha,\gamma]\ne0$ から $[\alpha,\eta]=[\beta,\eta]=0$ で、$\eta$ は $\alpha$ にも $\beta$ にも平行である。$\alpha,\beta$ は平行でないので $\eta=0$ である。よって $L$ は可逆で、$\varphi_{a,b,c}([\eta])=[L(\eta)]$ は $\mathrm{PGL}_2(k)$ の元である。$a,b,c$ の行き先は prop-cr-well-defined の 3 による。
段 3（3）。$g$ があれば 1 から複比は等しい。逆に複比が等しいとき、$g=\varphi_{a',b',c'}^{-1}\circ\varphi_{a,b,c}$ は $\mathrm{PGL}_2(k)$ の元で、$a,b,c$ を $\infty,0,1$ を経て $a',b',c'$ に移し、
$$ g(d)=\varphi_{a',b',c'}^{-1}\bigl((a,b;c,d)\bigr)=\varphi_{a',b',c'}^{-1}\bigl((a',b';c',d')\bigr)=d' $$
である。
段 4（4）。相異なる 3 点 $a,b,c$ を 1 組固定する。$f$ は全単射なので $fa,fb,fc$ も相異なる。任意の $d$ について、仮定から $\varphi_{fa,fb,fc}(fd)=(fa,fb;fc,fd)=(a,b;c,d)=\varphi_{a,b,c}(d)$ なので、$f=\varphi_{fa,fb,fc}^{-1}\circ\varphi_{a,b,c}$ で、これは $\mathrm{PGL}_2(k)$ の元である。$\square$

要点：左辺は $\alpha$ について 1 次で、$\alpha=\beta,\gamma,\eta$ のときに $0$ になる。

段 0。4 点が相異なるので、def-cr-cross-ratio の 2 つの成分はどちらも $0$ でなく、$\lambda\ne0,\infty$ である。$\lambda=1$ なら thm-cr-main の 2 の $\varphi_{a,b,c}$ が単射であることから $d=c$ となるので、$\lambda\ne1$ である。
段 1（1）。$\lambda=\dfrac{[\alpha,\gamma][\beta,\eta]}{[\alpha,\eta][\beta,\gamma]}$ で $a\leftrightarrow b$、$c\leftrightarrow d$ を同時に入れ替えると $\dfrac{[\beta,\eta][\alpha,\gamma]}{[\beta,\gamma][\alpha,\eta]}=\lambda$ である。$a\leftrightarrow c$、$b\leftrightarrow d$ では $\dfrac{[\gamma,\alpha][\eta,\beta]}{[\gamma,\beta][\eta,\alpha]}$ となり、分子・分母でそれぞれ 2 回符号が変わるので $\lambda$ である。$a\leftrightarrow d$、$b\leftrightarrow c$ も同じである。
段 2（2）。$a\leftrightarrow b$ では $\dfrac{[\beta,\gamma][\alpha,\eta]}{[\beta,\eta][\alpha,\gamma]}=\dfrac1\lambda$ である。$b\leftrightarrow c$ では、lem-cr-plucker の $[\alpha,\beta][\gamma,\eta]=[\alpha,\gamma][\beta,\eta]-[\alpha,\eta][\beta,\gamma]$ を使って
$$ (a,c;b,d)=\frac{[\alpha,\beta][\gamma,\eta]}{[\alpha,\eta][\gamma,\beta]}=\frac{[\alpha,\gamma][\beta,\eta]-[\alpha,\eta][\beta,\gamma]}{-[\alpha,\eta][\beta,\gamma]}=1-\lambda $$
である。
段 3（3）。1 の 3 つの入れ替えと恒等置換は 4 元の部分群 $V$（Klein の四元群）をなし、複比を変えない。24 個の並べ方は $V$ の作用で 4 個ずつの 6 組に分かれ、同じ組の並べ方は同じ値をとる。$\sigma(\lambda)=1/\lambda$ と $\tau(\lambda)=1-\lambda$ を合成すると、$\sigma\tau(\lambda)=\dfrac1{1-\lambda}$、$\tau\sigma(\lambda)=\dfrac{\lambda-1}\lambda$、$\sigma\tau\sigma(\lambda)=\dfrac\lambda{\lambda-1}$ となり、恒等写像と合わせて 6 つの写像が得られる。$a\leftrightarrow b$ と $b\leftrightarrow c$ は $V$ とともに 4 点の置換の群 $S_4$ を生成するので、どの並べ方の複比も、この 6 つの写像のどれかを $\lambda$ に施したものである。1・2 の式はどの相異なる 4 点についても成り立つので、並べ方 $\pi$ の複比が $h(\lambda)$ のとき、$\pi$ で並べた 4 点の 1 番目と 2 番目（2 番目と 3 番目）を入れ替えた並べ方の複比は $\sigma(h(\lambda))$（$\tau(h(\lambda))$）である。よって 6 つの写像はどれもある組の値として現れ、組は 6 つなので、6 組と 6 つの写像は 1 対 1 に対応する。$\square$

要点：$\lambda$ がほかの 5 つの値と一致する条件を解き、値の個数を「$\lambda$ を動かさない写像の個数で 6 を割ったもの」として数える。

要点：$J$ が $\sigma$ と $\tau$ で変わらないことを計算し、逆は $J$ の値を根にもつ 6 次多項式の根が $\lambda$ の 6 つの値に限ることから示す。

$L=\mathbb P(W)$、$O=[o]$ とする。$w\in W$ に 1 次式 $\ell_w(x)=\det(o\ w\ x)$（3 つの列ベクトルを並べた行列の行列式）を対応させる。$\ell_w$ は $x=o$ と $x=w$ で $0$ になるので、$w\ne0$ なら $\ell_w$ は直線 $O[w]$ の 1 次式である（$o\notin W$ なので $o$ と $w$ は平行でなく、$\ell_w\ne0$）。$w\mapsto\ell_w$ は $W$ から $V_O$ への 1 次写像で、$w\ne0$ なら $\ell_w\ne0$ なので単射、次元が 2 で等しいので可逆である。上で見たとおり可逆な 1 次写像は複比を保つので、$p_i$ の複比は直線 $Op_i$ の複比に等しい。
透視については、$p\in L$ と、その行き先 $p'=Op\cap L'$ について直線 $Op$ と $Op'$ は同じである（$O\notin L'$ なので $Op\ne L'$ で、交点は 1 点に決まる）。前半を $L$ と $L'$ に使うと、$p_i$ の複比も $p_i'$ の複比も直線 $Op_i$ の複比に等しい。$\square$

段 1（$s\in k$ の場合）。1 次式 $A=-sx_1+x_2$ と $B=sx_0-x_1$ はどちらも $\nu(s)=[1:s:s^2]$ で $0$ になり、平行でないので $V_P$ の基底である。$t\in k$ について
$$ \ell_t=A+tB=st\,x_0-(s+t)\,x_1+x_2 $$
とおくと、$\ell_t(\nu(t))=st-(s+t)t+t^2=0$ である。また $B$ は $\nu(\infty)=[0:0:1]$ で $0$ になる。よって $t\ne s$ なら $[\ell_t]$（$t=\infty$ なら $[B]$）は直線 $P\nu(t)$ である。$t=s$ のとき、$\ell_s(\nu(t))=s^2-2st+t^2=(s-t)^2$ は $t=s$ でだけ $0$ で、$\ell_s([0:0:1])=1\ne0$ なので、$[\ell_s]$ は $C$ と $P$ だけで交わる $P$ を通る直線、つまり接線である（$P$ を通るほかの直線 $[\ell_t]$、$t\ne s$ は $\nu(t)\ne P$ も通るので、接線はこれだけである）。こうして $m_P(\nu(t))=[u_0A+u_1B]$（$t=[u_0:u_1]$）で、$(u_0,u_1)\mapsto u_0A+u_1B$ は $k^2$ から $V_P$ への可逆な 1 次写像なので、4 本の直線の複比は $(t_1,t_2;t_3,t_4)$ に等しい。
段 2（$s=\infty$ の場合）。座標の入れ替え $[x_0:x_1:x_2]\mapsto[x_2:x_1:x_0]$ は $C$ を $C$ に移し、$\nu([u_0:u_1])$ を $\nu([u_1:u_0])$ に移す。この変換は $k^3$ の可逆な 1 次写像から来るので、直線束の複比を保つ（prf-cr-perspective と同じ理由）。パラメータの入れ替え $[u_0:u_1]\mapsto[u_1:u_0]$ は $\mathrm{PGL}_2(k)$ の元なので、thm-cr-main の 1 によりパラメータの複比も保つ。$P=\nu(\infty)$ は $\nu(0)$ に移るので、段 1 に帰着する。$\square$

双曲幾何学 の補題「2 点を虚軸の上へ移す」により、実数係数で行列式 $1$ の 1 次分数変換 $T$ と $Y>1$ で $T(z)=i$、$T(w)=iY$ となるものがある。$T$ は双曲距離を保ち（同 命題「1 次分数変換は双曲的な長さを保つ」）、双曲直線を双曲直線に移すので、$z,w$ を通る双曲直線を虚軸に移す。$T$ は双曲直線の上の点の並び順を保つので、$z$ から $w$ へ進んだ先の端 $u$ は $i$ から $iY$ へ進んだ先の端 $\infty$ に、$v$ は $0$ に移る。Möbius 変換は複比を保つ（thm-cr-main の 1）ので、$\infty$ を含む因子を消して
$$ (z,w;u,v)=(i,iY;\infty,0)=\frac{iY-0}{i-0}=Y $$
である。一方、双曲幾何学 の定理「距離の公式と測地線」の段 1 から $d(z,w)=d(i,iY)=\log Y$ である。$\square$