laxコンマ圏

2射の演算は成分ごとなので、2射の垂直合成の結合律・単位律、水平合成の結合律、交換法則は $\mathcal A$ と $\mathcal B$ の対応する法則から成分ごとに従う。また 1射の合成の $u,v$ 成分は $\mathcal A,\mathcal B$ の合成なので、あとは $\theta$ に関わる次の 5 点を確かめればよい。これが済めば射影が 2関手であることも成分の取り出しから明らか。
(1) 合成は 1射である。 上で見たとおり、$(\theta'\,Fu)\cdot(Gv'\,\theta)$ は $G(v'v)\alpha\Rightarrow\alpha''F(u'u)$ の 2射である。ここで $F,G$ が 1射の合成を保つこと $F(u'u)=(Fu')(Fu)$ を使った。
(2) 1射の合成は結合的で、$(1_a,1_b,1_\alpha)$ が単位である。 $(u'',v'',\theta'')$ を加えて両方の括弧の付け方の 2射を計算すると、ひげ付けが垂直合成を保つことにより、どちらも
$$ (\theta''\,Fu'\,Fu)\cdot(Gv''\,\theta'\,Fu)\cdot(Gv''\,Gv'\,\theta) $$
になる。単位については $(1_{\alpha'}\,Fu)\cdot(G1_{b'}\,\theta)=\theta$、$(\theta\,F1_a)\cdot(Gv\,1_\alpha)=\theta$ である。
(3) 垂直合成は 2射である。 $(\sigma,\omega)\colon\theta\Rightarrow\theta_1$、$(\sigma',\omega')\colon\theta_1\Rightarrow\theta_2$（1射 $(u,v,\theta)$ などを $\theta$ と略記）について、条件を 2 回使うと
$$ (\alpha'F(\sigma'\cdot\sigma))\cdot\theta=(\alpha'F\sigma')\cdot(\alpha'F\sigma)\cdot\theta=(\alpha'F\sigma')\cdot\theta_1\cdot(G\omega\,\alpha)=\theta_2\cdot(G\omega'\,\alpha)\cdot(G\omega\,\alpha)=\theta_2\cdot(G(\omega'\cdot\omega)\,\alpha). $$
恒等 2射 $(1_u,1_v)$ が条件を満たすことは明らか。
(4) 水平合成は 2射である。 $(\sigma,\omega)\colon(u,v,\theta)\Rightarrow(u_1,v_1,\theta_1)$ を $(a,b,\alpha)\to(a',b',\alpha')$ の間に、$(\sigma',\omega')\colon(u',v',\theta')\Rightarrow(u'_1,v'_1,\theta'_1)$ を $(a',b',\alpha')\to(a'',b'',\alpha'')$ の間に取る。示すべきは
$$ \bigl(\alpha''F(\sigma'*\sigma)\bigr)\cdot(\theta'\,Fu)\cdot(Gv'\,\theta)=(\theta'_1\,Fu_1)\cdot(Gv'_1\,\theta_1)\cdot\bigl(G(\omega'*\omega)\,\alpha\bigr) $$
である。左辺で $F(\sigma'*\sigma)=(F\sigma'\,Fu_1)\cdot(Fu'\,F\sigma)$ とすべらせ、続けて交換法則
$$ (\alpha''Fu'\,F\sigma)\cdot(\theta'\,Fu)=\theta'*F\sigma=(\theta'\,Fu_1)\cdot(Gv'\alpha'\,F\sigma) $$
を使うと、左辺は
$$ \bigl(((\alpha''F\sigma')\cdot\theta')\,Fu_1\bigr)\cdot\bigl(Gv'\,((\alpha'F\sigma)\cdot\theta)\bigr) $$
になる。ここで $(\sigma',\omega')$ と $(\sigma,\omega)$ の条件を代入すると
$$ (\theta'_1\,Fu_1)\cdot(G\omega'\,\alpha'Fu_1)\cdot(Gv'\,\theta_1)\cdot(Gv'G\omega\,\alpha) $$
となる。中央の 2 つは交換法則で $(G\omega'\,\alpha'Fu_1)\cdot(Gv'\,\theta_1)=G\omega'*\theta_1=(Gv'_1\,\theta_1)\cdot(G\omega'\,Gv_1\alpha)$ と入れ替えられ、最後に $(G\omega'\,Gv_1)\cdot(Gv'\,G\omega)=G\omega'*G\omega=G(\omega'*\omega)$ をまとめると右辺に一致する。
(5) 合成は関手である。 1射の合成と 2射の水平合成が上のように定まり、2射の演算は成分ごとなので、合成 $(F\Downarrow G)(y,z)\times(F\Downarrow G)(x,y)\to(F\Downarrow G)(x,z)$ が恒等 2射と垂直合成を保つことは、$\mathcal A,\mathcal B$ の合成関手がそれを保つことから従う。以上で $(F\Downarrow G)$ は 2圏である。$\square$

$H$ が与えられたとき、$P=\pi_{\mathcal A}H$、$Q=\pi_{\mathcal B}H$ は 2関手の合成なので 2関手である（thm-lax-comma-category-2-category）。$H(t)$ の第 3 成分を $\lambda_t\colon FPt\to GQt$、$H(f)$ の第 3 成分を $\lambda_f$ と置く。$H(f)$ が $H(t)\to H(t')$ の 1射であることから $\lambda_f\colon(GQf)\lambda_t\Rightarrow\lambda_{t'}(FPf)$ であり、これは lax 自然変換 $FP\Rightarrow GQ$ に要る向きである。条件を順に確かめる。

• $H$ は恒等 1射を保つので $H(1_t)=(1_{Pt},1_{Qt},1_{\lambda_t})$、すなわち $\lambda_{1_t}=1_{\lambda_t}$（条件 1）。
• $H$ は 1射の合成を保つ。$H(gf)=H(g)\circ H(f)$ の第 3 成分を合成の定義で比べると $\lambda_{gf}=(\lambda_g\,FPf)\cdot(GQg\,\lambda_f)$（条件 2）。
• 2射 $\sigma\colon f\Rightarrow f'$ の像 $H(\sigma)=(P\sigma,Q\sigma)$ が $(F\Downarrow G)$ の 2射であるという条件は、$(\lambda_{t'}\,FP\sigma)\cdot\lambda_f=\lambda_{f'}\cdot(GQ\sigma\,\lambda_t)$（条件 3）にほかならない。
  逆に $(P,Q,\lambda)$ が与えられたとき、上の式で $H$ を定める。条件 3 は $H(\sigma)$ が 2射であること、条件 1・2 は $H$ が恒等 1射と 1射の合成を保つことと同値である（上の 3 項目を逆に読む）。2射の恒等・垂直合成・水平合成は成分ごとなので、$P,Q$ が 2関手であることから $H$ はそれらを保つ。2 つの構成は成分をそのまま受け渡すので互いに逆である。
  最後の主張：$H$ の値が擬コンマ圏（厳密コンマ圏）に入ることは、すべての $H(f)$ の第 3 成分 $\lambda_f$ が可逆（恒等）であることと同じである。$\square$

$\theta=1$、$\theta'=1$ なら合成の 2射は $(1\,Fu)\cdot(Gv'\,1)=1$ であり、恒等 1射の 2射も $1_\alpha$ である。可逆な場合も、可逆な 2射のひげ付けと垂直合成は可逆なので閉じる。